Semiring - Semiring

En álgebra abstracta , un semiring es una estructura algebraica similar a un anillo , pero sin el requisito de que cada elemento deba tener un inverso aditivo .

El término equipo de perforación se utiliza también de vez en cuando-este originó como una broma, lo que sugiere que las plataformas son ri n gs sin n elementos egative, similar al uso de rng para significar ar i ng sin un multiplicativo i dentity.

Los semirríos tropicales son un área activa de investigación que vincula variedades algebraicas con estructuras lineales por partes .

Definición

Un semiring es un conjunto equipado con dos operaciones binarias y llamado suma y multiplicación, tal que: ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \, + \,}$ ${\ Displaystyle \, \ cdot, \,}$

${\ Displaystyle (R, +)}$ $(R, +)$ es un monoide conmutativo con elemento de identidad : ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle 0}$
- ${\ Displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}$
- ${\ Displaystyle 0 + a = a = a + 0}$
- ${\ Displaystyle a + b = b + a}$
${\ Displaystyle (R, \, \ cdot \,)}$ ${\ Displaystyle (R, \, \ cdot \,)}$ es un monoide con elemento de identidad : ${\ Displaystyle 1}$ $1$
- ${\ Displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}$
- ${\ Displaystyle 1 \ cdot a = a = a \ cdot 1}$
La multiplicación a la izquierda y a la derecha se distribuye sobre la suma:
- ${\ Displaystyle a \ cdot (b + c) = (a \ cdot b) + (a \ cdot c)}$
- ${\ Displaystyle (a + b) \ cdot c = (a \ cdot c) + (b \ cdot c)}$
Multiplicación por aniquila
: ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle R}$ $R$
- ${\ Displaystyle 0 \ cdot a = 0 = a \ cdot 0}$

El símbolo generalmente se omite de la notación; es decir, se acaba de escribir. De igual manera, se acepta un Orden de operaciones , según el cual se aplica antes ; eso es, es ${\ Displaystyle \, \ cdot \,}$ ${\ Displaystyle a \ cdot b}$ ${\ displaystyle ab.}$ ${\ Displaystyle \, \ cdot \,}$ ${\ Displaystyle \, + \,}$ ${\ Displaystyle a + bc}$ ${\ Displaystyle a + (bc).}$

Comparado con un anillo , un semirrígido omite el requisito de inversas bajo adición; es decir, solo requiere un monoide conmutativo , no un grupo conmutativo . En un anillo, el requisito inverso aditivo implica la existencia de un cero multiplicativo, por lo que aquí debe especificarse explícitamente. Si la multiplicación de un semiring es conmutativa , entonces se llama semiring conmutativo .

Hay algunos autores que prefieren dejar de lado el requisito de que un semirrígido tenga un 0 o un 1. Esto hace que la analogía entre ring y semiring por un lado y grupo y semigrupo por el otro funcione de forma más fluida. Estos autores suelen utilizar rig para el concepto definido aquí.

Teoría

Se puede generalizar la teoría de álgebras (asociativas) sobre anillos conmutativos directamente a una teoría de álgebras sobre semirríos conmutativos.

Un semiring en el que cada elemento es un idempotente aditivo (es decir, para todos los elementos ) se llama un ${\ Displaystyle a + a = a}$ ${\ Displaystyle a}$ semirando idempotente . Los semirrings idempotentes son específicos de la teoría del semiring, ya que cualquier semiring idempotente que también sea un anillo es de hechotrivial. Se puede definir unorden parcial en un semiring idempotente estableciendosiempre(o, de manera equivalente, si existetal que). Elelemento menorcon respecto a este orden es elsignificado de quepara todas lasSumas y multiplicaciones respetan el ordenamiento en el sentido queimplicayy ${\ Displaystyle \, \ leq \,}$ ${\ Displaystyle a \ leq b}$ ${\ Displaystyle a + b = b}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle a + x = b}$ ${\ Displaystyle 0,}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq a}$ ${\ Displaystyle a.}$ ${\ Displaystyle a \ leq b}$ ${\ Displaystyle ac \ leq bc}$ ${\ Displaystyle ca \ leq cb}$ ${\ Displaystyle (a + c) \ leq (b + c).}$

Aplicaciones

Los semirríos tropicales y sobre los reales se utilizan a menudo en la evaluación del rendimiento en sistemas de eventos discretos. Los números reales entonces son los "costos" o la "hora de llegada"; la operación "max" corresponde a tener que esperar todos los prerrequisitos de un evento (tomando así el tiempo máximo) mientras que la operación "min" corresponde a poder elegir la mejor opción, menos costosa; y + corresponde a la acumulación a lo largo del mismo camino. ${\ Displaystyle (\ max, +)}$ ${\ Displaystyle (\ min, +)}$

El algoritmo de Floyd-Warshall para las rutas más cortas puede reformularse así como un cálculo sobre un álgebra. De manera similar, el algoritmo de Viterbi para encontrar la secuencia de estado más probable correspondiente a una secuencia de observación en un modelo de Hidden Markov también se puede formular como un cálculo sobre un álgebra de probabilidades. Estos algoritmos de programación dinámica se basan en la propiedad distributiva de sus semirings asociados para calcular cantidades sobre un número grande (posiblemente exponencial) de términos de manera más eficiente que enumerando cada uno de ellos. ${\ Displaystyle (\ min, +)}$ ${\ Displaystyle (\ max, \ times)}$

Ejemplos de

Por definición, cualquier anillo es también un semirrígido. Un ejemplo motivador de semiring es el conjunto de números naturales (incluido el número cero ) bajo la suma y la multiplicación ordinarias. Del mismo modo, los números racionales no negativos y los números reales no negativos forman semirrings. Todos estos semirrings son conmutativos. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

En general

El conjunto de todos los ideales de un anillo dado forma un semirriado idempotente bajo la suma y la multiplicación de ideales.
Cualquier cuantale unital es un semiring idempotente bajo unión y multiplicación.
Cualquier enrejado distributivo acotado es un semirrígido conmutativo idempotente bajo join and meet.
En particular, un álgebra de Boole es un semiring. Un anillo booleano es también un semiring (de hecho, un anillo) pero no es idempotente bajo la adición . Un semiring booleano es un semiring isomorfo a un subsemiring de un álgebra booleana.
Un entramado de sesgo normal en un anillo es un semirreado idempotente para las operaciones multiplicación y nabla, donde la última operación está definida por ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle a \ nabla b = a + b + ba-aba-bab.}$
Cualquier c-semiring es también un semiring, donde la adición es idempotente y se define sobre conjuntos arbitrarios.
Las clases de isomorfismo de objetos en cualquier categoría distributiva , bajo operaciones de coproducto y producto , forman un semirrígido conocido como plataforma Burnside. Una plataforma de Burnside es un anillo si y solo si la categoría es trivial .

Semiring de conjuntos

Un semiring ( de conjuntos ) es una colección no vacía de subconjuntos de tales que ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ varnothing \ in S.}$
Si y luego ${\ Displaystyle E \ in S}$ ${\ Displaystyle F \ in S}$ ${\ Displaystyle E \ cap F \ in S.}$
Si y entonces existe un número finito de conjuntos mutuamente disjuntos para tal que ${\ Displaystyle E \ in S}$ ${\ Displaystyle F \ in S}$ ${\ Displaystyle C_ {i} \ in S}$ ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ Displaystyle E \ setminus F = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} C_ {i}.}$

Las condiciones (2) y (3) junto con implican que tales semiconductores se utilizan en la teoría de la medida . Un ejemplo de semirecolado de conjuntos es la colección de intervalos reales semiabiertos y semicerrados. ${\ Displaystyle S \ neq \ varnothing}$ ${\ Displaystyle \ varnothing \ in S.}$ ${\ Displaystyle [a, b) \ subconjunto \ mathbb {R}.}$

A semialgebra ones un semiring que tienecomo elemento. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$

Ejemplos específicos

Las fracciones terminales (no negativas) en un sistema numérico posicional a una base dada Tenemos ‍ if divide Además, es el anillo de todas las fracciones terminales a la base y es denso en para ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}}: = \ left \ {mb ^ {- n}: m, n \ en \ mathbb {N} _ {0} \ right \}}$ ${\ Displaystyle b \ in \ mathbb {N}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}} \ subseteq {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} { c ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}}}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle c.}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {Z} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {Z} _ {0}}}}: = {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} { b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}} \ cup \ left (- {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}} }\Derecha)}$ ${\ Displaystyle b,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle | b |> 1.}$
Los números naturales extendidos con suma y multiplicación extendidos (y ). ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ Displaystyle 0 \ cdot \ infty = 0}$
Dado un semiring, el semiring de matriz de las matrices cuadradas forma un semiring bajo la suma y multiplicación ordinarias de matrices, y este semiring de matrices es generalmente no conmutativo aunque puede ser conmutativo. Por ejemplo, las matrices con entradas no negativas, forman una matriz semirrígida. ${\ Displaystyle S,}$ ${\ Displaystyle M_ {n} (S)}$ ${\ Displaystyle n {\ text {por}} n}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle M_ {n} (\ mathbb {N}),}$
Si es un monoide conmutativo, el conjunto de endomorfismos casi forma un semifilar, donde la suma es una suma puntual y la multiplicación es una composición de funciones . El morfismo cero y la identidad son los respectivos elementos neutrales. Esto no es un verdadero semiring porque la composición no se distribuye en la suma puntual sobrante: si es el monoide aditivo de números naturales obtenemos el semiring de números naturales como y si con un semiring, obtenemos (después de asociar cada morfismo a una matriz ) el semiring de matrices cuadradas con coeficientes en ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Fin} (A)}$ ${\ Displaystyle f: A \ to A}$ ${\ Displaystyle a \ cdot (b + c) \ neq (a \ cdot b) + (a \ cdot c).}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Fin} (A),}$ ${\ Displaystyle A = S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle n {\ text {por}} n}$ ${\ Displaystyle S.}$
los El semiringuito booleano es el semiringomado conmutativoformado por elálgebra booleana de dos elementosy definido porEs idempotente y es el ejemplo más simple de semiring que no es un anillo. Dados dos conjuntosylas relaciones binariasentreycorresponden a matrices indexadas porycon entradas en el semirrígido booleano,la suma de matricescorresponde a la unión de relaciones yla multiplicación de matricescorresponde a lacomposición de relaciones. ${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$ ${\ Displaystyle 1 + 1 = 1.}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y,}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$
Dado un conjunto, el conjunto de relaciones binarias sobre es un semiring con la suma de la unión (de relaciones como conjuntos) y la multiplicación de la composición de relaciones . El cero del semiring es la relación vacía y su unidad es la relación de identidad . Estas relaciones corresponden al semiring de matriz (de hecho, semialgebra de matriz) de matrices cuadradas indexadas por con entradas en el semiring booleano, y luego la suma y la multiplicación son las operaciones matriciales habituales, mientras que el cero y la unidad son la matriz cero habitual y la matriz identidad . ${\ Displaystyle U,}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U}$
El conjunto de polinomios con coeficientes numéricos naturales, denotado, forma un semirrígido conmutativo. De hecho, este es el libre semiring conmutativa en un solo generador ${\ Displaystyle \ mathbb {N} [x],}$ ${\ Displaystyle \ {x \}.}$
Los semirríos tropicales se definen de diversas maneras. El semiring de max-plus es un semiring conmutativo, idempotente que sirve como suma de semiring (identidad ) y suma ordinaria (identidad 0) que sirve como multiplicación de semiring. En una formulación alternativa, el semirecolado tropical es y min reemplaza a max como operación de adición. Una versión relacionada tiene como conjunto subyacente. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ max (a, b)}$ ${\ Displaystyle - \ infty}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}}$
El conjunto de números cardinales más pequeños que cualquier cardinal infinito dado forma un semiring bajo suma y multiplicación cardinales. La clase de todos los cardinales de un modelo interno forma un semirrígido (clase) bajo la suma y multiplicación cardinal (modelo interno).
los probabilidad semiring de números reales no negativos bajo la suma y multiplicación habituales.
El registro de semiring en con la adición propuesta por ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}}$
${\ Displaystyle x \ oplus y = - \ log \ left (e ^ {- x} + e ^ {- y} \ right)}$ con elemento cero de multiplicación y elemento unitario ${\ Displaystyle \, +, \,}$ ${\ Displaystyle + \ infty,}$ ${\ Displaystyle 0.}$
La familia de (clases de equivalencia de isomorfismo de) clases combinatorias (conjuntos de muchos objetos contables con tamaños enteros no negativos, de modo que hay un número finito de objetos de cada tamaño) con la clase vacía como el objeto cero, la clase que consta solo de los objetos vacíos. conjunto como unidad, unión disjunta de clases como suma y producto cartesiano de clases como multiplicación.
El semiring de Łukasiewicz : el intervalo cerrado con la suma dada tomando el máximo de los argumentos ( ) y la multiplicación dada por aparece en lógica multivalor . ${\ Displaystyle [0,1]}$ ${\ Displaystyle a + b = \ max (a, b)}$ ${\ displaystyle ab}$ ${\ Displaystyle \ max (0, a + b-1)}$
El semiringuito de Viterbi también se define sobre el conjunto base y tiene el máximo como su suma, pero su multiplicación es la multiplicación habitual de números reales. Aparece en análisis probabilístico . ${\ Displaystyle [0,1]}$
Dado un alfabeto (conjunto finito) Σ, el conjunto de lenguajes formales sobre (subconjuntos de ) es un semiring con producto inducido por la concatenación de cadenas y la suma como unión de lenguajes (es decir, unión ordinaria como conjuntos). El cero de este semiring es el conjunto vacío (lenguaje vacío) y la unidad del semiring es el lenguaje que contiene solo la cadena vacía . ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$ ${\ Displaystyle L_ {1} \ cdot L_ {2} = \ left \ {w_ {1} w_ {2}: w_ {1} \ in L_ {1}, w_ {2} \ in L_ {2} \ right \}}$
Generalizando el ejemplo anterior (al ver como el monoide libre sobre ), tome como cualquier monoide; el conjunto de potencias de todos los subconjuntos de forma un semirrígido bajo unión teórica de conjuntos como suma y multiplicación por conjuntos: ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ wp (M)}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle U \ cdot V = \ {u \ cdot v: u \ in U, \ v \ in V \}.}$
Del mismo modo, si es un monoide, entonces el conjunto de finitos conjuntos múltiples en forma un semiring. Es decir, un elemento es una función ; dado un elemento de la función le dice cuántas veces ese elemento aparece en el multiset que representa. La unidad aditiva es la función cero constante. La unidad multiplicativa es la función que se asigna a y todos los demás elementos de a La suma está dada por y el producto está dado por ${\ Displaystyle (M, mi, \ cdot)}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle f: M \ to \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle M,}$ ${\ Displaystyle e}$ ${\ Displaystyle 1,}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle 0.}$ ${\ Displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}$ ${\ Displaystyle (fg) (x) = \ sum \ {f (y) g (z): y \ cdot z = x \}.}$

Variaciones

Semirrings completos y continuos

Un semirremolque completo es un semirrendado para el que el monoide aditivo es un monoide completo , lo que significa que tiene una operación de suma infinita para cualquier conjunto de índices y que deben cumplirse las siguientes leyes distributivas (infinitarias): ${\ Displaystyle \ Sigma _ {I}}$ ${\ Displaystyle I}$

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} {\ left (a \ cdot a_ {i} \ right)} = a \ cdot \ left (\ sum _ {i \ in I} {a_ {i}} \ derecha), \ qquad \ sum _ {i \ in I} {\ left (a_ {i} \ cdot a \ right)} = \ left (\ sum _ {i \ in I} {a_ {i}} \ right ) \ cdot a.}

Ejemplos de un semireconectado completo son el conjunto de potencia de un monoide bajo unión y el semireconectado de matriz sobre un semireconectado completo.

Un semi-cableado continuo se define de manera similar como uno para el que el monoide de adición es un monoide continuo . Es decir, parcialmente ordenado con la propiedad del límite superior mínimo , y para el que la suma y la multiplicación respetan el orden y el suprema. El semiring con suma, multiplicación y orden extendido habituales es un semiring continuo. ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}}$

Cualquier semirrígido continuo está completo: esto puede tomarse como parte de la definición.

Semirenas de estrellas

Un semiring de estrella (a veces deletreado starrsemiring ) es un semiring con un operador unario adicional ^∗ , satisfaciendo

{\ Displaystyle a ^ {*} = 1 + aa ^ {*} = 1 + a ^ {*} a.}

Un álgebra de Kleene es una estrella semired con adición idempotente. Son importantes en la teoría de lenguajes formales y expresiones regulares .

Semirings de estrellas completos

En un semiring de estrella completo , el operador de estrella se comporta más como la estrella de Kleene habitual : para un semiring completo utilizamos el operador de suma infinita para dar la definición habitual de la estrella de Kleene:

{\ Displaystyle a ^ {*} = \ sum _ {j \ geq 0} {a ^ {j}},}

dónde

{\ Displaystyle a ^ {j} = {\ begin {cases} 1, & j = 0, \\ a \ cdot a ^ {j-1} = a ^ {j-1} \ cdot a, & j> 0. \ finalizar {casos}}}

Conway semiring

Un semiring de Conway es un semiring de estrella que satisface las ecuaciones suma-estrella y producto-estrella:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (a + b) ^ {*} & = \ left (a ^ {*} b \ right) ^ {*} a ^ {*}, \\ (ab) ^ {* } & = 1 + a (ba) ^ {*} b. \ End {alineado}}}

Cada semiring de estrella completo es también un semiring de Conway, pero lo contrario no se sostiene. Un ejemplo de semiring de Conway que no está completo es el conjunto de números racionales no negativos extendidos con la adición y multiplicación habituales (esta es una modificación del ejemplo con reales no negativos extendidos dado en esta sección mediante la eliminación de números irracionales). ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ geq 0} \ cup \ {\ infty \}}$

Un semiring de iteración es un semiring de Conway que satisface los axiomas del grupo de Conway, asociado por John Conway a grupos en star-semirings.

Ejemplos de

Algunos ejemplos de semirríos de estrellas incluyen:

el ( antes mencionado ) semirriado de relaciones binarias sobre algún conjunto base en el que para todos Esta operación estrella es en realidad el cierre reflexivo y transitivo de (es decir, la relación binaria reflexiva y transitiva más pequeña sobre la contención ). ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle R ^ {*} = \ bigcup _ {n \ geq 0} R ^ {n}}$ ${\ Displaystyle R \ subseteq U \ times U.}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle R.}$
el semiring de lenguajes formales es también un semiring de estrella completo, coincidiendo la operación de estrella con la estrella de Kleene (para sets / lenguajes).
El conjunto de reales extendidos no negativos junto con la adición y multiplicación habituales de reales es un semirrígido en estrella completo con la operación en estrella dada por for (es decir, la serie geométrica ) y for ${\ Displaystyle [0, \ infty]}$ ${\ Displaystyle a ^ {*} = {\ frac {1} {1-a}}}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq a <1}$ ${\ Displaystyle a ^ {*} = \ infty}$ ${\ Displaystyle a \ geq 1.}$
El semiringuito booleano con ${\ displaystyle 0 ^ {*} = 1 ^ {*} = 1.}$
El semirrío con suma y multiplicación extendidas, y para ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \},}$ ${\ displaystyle 0 ^ {*} = 1, a ^ {*} = \ infty}$ ${\ Displaystyle a \ geq 1.}$

Dioide

El término dioide (para "monoide doble") se ha utilizado para referirse a varios tipos de semiconductores:

Fue utilizado por Kuntzman en 1972 para denotar lo que ahora se denomina semiring.
El uso para significar subgrupo idempotente fue introducido por Baccelli et al. en 1992.
El nombre "dioide" también se usa a veces para denotar semirríos ordenados naturalmente .

Generalizaciones

Una generalización de semirrings no requiere la existencia de una identidad multiplicativa, por lo que la multiplicación es un semigrupo en lugar de un monoide. Estas estructuras se denominan hemirings o pre-semirings . Una generalización adicional son las pre-semirecciones por la izquierda , que además no requieren una distributividad por la derecha (o las pre-semirremolques por la derecha , que no requieren una distributividad por la izquierda).

Sin embargo, una generalización adicional son los semiconsectos : además de no requerir un elemento neutro para el producto, o distributividad a la derecha (o distributividad a la izquierda), no requieren la adición para ser conmutativos. Así como los números cardinales forman un semirrígido (de clase), los números ordinales forman un anillo cercano , cuando se tienen en cuenta la suma y la multiplicación ordinales estándar . Sin embargo, la clase de ordinales se puede convertir en un semiring considerando las operaciones llamadas naturales (o Hessenberg) en su lugar.

En la teoría de categorías , un 2-rig es una categoría con operaciones functoriales análogas a las de un rig. Que los números cardinales forman un aparejo se puede categorizar para decir que la categoría de conjuntos (o más generalmente, cualquier topos ) es un aparejo de 2.

Ver también

Anillo de conjuntos - Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
Álgebra de valoración

Notas

Citas

Bibliografía

Derniame, Jean Claude; Pair, Claude (1971), Problèmes de cheminement dans les graphes (Problemas de ruta en los gráficos) , Dunod (París)
François Baccelli , Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Sincronización y linealidad (versión en línea) , Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X
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Berstel, Jean; Perrin, Dominique (1985). Teoría de códigos . Matemática pura y aplicada. 117 . Prensa académica. ISBN 978-0-12-093420-1. Zbl 0587.68066 .
Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 49 (5ª ed.). Cambridge Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .
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Głazek, Kazimierz (2002). Una guía de la literatura sobre semirings y sus aplicaciones en matemáticas y ciencias de la información. Con bibliografía completa . Dordrecht: Académico Kluwer. ISBN 1-4020-0717-5. Zbl 1072.16040 .
Sakarovitch, Jacques (2009). Elementos de la teoría de autómatas . Traducido del francés por Reuben Thomas. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177 .
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Otras lecturas

Golan, Jonathan S. (2003). Semirings y ecuaciones afines sobre ellos . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-1358-4. Zbl 1042.16038 .
Gondran, Michel; Minoux, Michel (2008). Gráficos, dioides y semirings: nuevos modelos y algoritmos . Serie de interfaces de investigación de operaciones / ciencias de la computación. 41 . Dordrecht: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-75450-5. Zbl 1201.16038 .
Grillet, Mireille P. (1970). "Relaciones de Green en un semiring" . Puerto. Matemáticas . 29 : 181-195. Zbl 0227.16029 .
Gunawardena, Jeremy (1998). "Una introducción a la idempotencia". En Gunawardena, Jeremy (ed.). Idempotencia. Basado en un taller, Bristol, Reino Unido, 3 al 7 de octubre de 1994 (PDF) . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 1-49. Zbl 0898.16032 .
Jipsen, P. (2004). "De semirríos a celosías de Kleene residuales". Studia Logica . 76 (2): 291-303. doi : 10.1023 / B: STUD.0000032089.54776.63 . S2CID 9946523 . Zbl 1045.03049 .
Steven Dolan (2013) Diversión con Semirings , doi : 10.1145 / 2500365.2500613

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En general

Semiring de conjuntos

Ejemplos específicos

Variaciones

Semirrings completos y continuos

Semirenas de estrellas

Semirings de estrellas completos

Conway semiring

Ejemplos de

Dioide

Generalizaciones

Ver también

Notas

Citas

Bibliografía

Otras lecturas

Estructura algebraica → Teoría del anillo Teoría del anillo

Conceptos básicos Anillos • Subanillos • Ideal • Anillo de cociente • Ideal fraccional • Anillo de cociente total • Anillo de producto • Producto gratuito de álgebras asociativas • Producto tensor de anillos Homomorfismos de anillo • Kernel • Automorfismo interno • Endomorfismo de Frobenius Estructuras algebraicas • Módulo • Álgebra asociativa • Anillo graduado • Anillo involutivo • Categoría de anillos • Timbre inicial ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Anillo terminal ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Estructuras relacionadas • Campo • Campo finito • Anillo no asociativo • Anillo de mentira • Anillo de Jordan • Semiring • Semicampo
Álgebra conmutativa Anillos conmutativos • Dominio integral • Dominio integralmente cerrado • Dominio GCD • Dominio de factorización único • Dominio ideal principal • Dominio euclidiano • Campo • Campo finito • Anillo de composición • Anillo polinomial • Anillo formal de la serie power Teoría algebraica de números • Campo numérico algebraico • Anillo de números enteros • Independencia algebraica • Teoría de números trascendental • Grado de trascendencia p - teoría de números ádicos y decimales • Límite directo / límite inverso • Anillo cero ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Enteros módulo p ⁿ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Base - anillo circular p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - p enteros ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Racionales p -ádicos ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Base - p números reales ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -enteros ádicos ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -números ádicos ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solenoide p -ádico ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometría algebraica • Variedad afín
Álgebra no conmutativa Anillos no conmutativos • Anillo de división • Anillo semiprimitivo • Anillo simple • Conmutador Geometría algebraica no conmutativa Álgebra libre Álgebra de Clifford • Álgebra geométrica Álgebra de operadores
v t mi