Independencia algebraica - Algebraic independence

En álgebra abstracta , un subconjunto de un campo es algebraicamente independiente sobre un subcampo si los elementos de no satisfacen ninguna ecuación polinómica no trivial con coeficientes en . ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle K}$

En particular, un elemento de un juego ha terminado algebraicamente independientes si y sólo si es trascendental sobre . En general, todos los elementos de un conjunto algebraicamente independiente sobre son por trascendental necesidad más , y sobre todo de las extensiones de campo sobre generadas por los elementos restantes de . ${\ Displaystyle \ {\ alpha \}}$${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle S}$

Ejemplo

Los dos números reales y son números trascendentales : no son las raíces de ningún polinomio no trivial cuyos coeficientes sean números racionales . Por tanto, cada uno de los dos conjuntos singleton y son algebraicamente independientes sobre el campo de los números racionales. ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$${\ Displaystyle 2 \ pi +1}$ ${\ Displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}} \}}$${\ Displaystyle \ {2 \ pi +1 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Sin embargo, el conjunto no es algebraicamente independiente de los números racionales, porque el polinomio no trivial ${\ Displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}}, 2 \ pi +1 \}}$

${\ Displaystyle P (x, y) = 2x ^ {2} -y + 1}$

es cero cuando y . ${\ Displaystyle x = {\ sqrt {\ pi}}}$${\ Displaystyle y = 2 \ pi +1}$

Independencia algebraica de constantes conocidas

Aunque ambos y e son conocidos por ser trascendental, no se sabe si el conjunto de ambos es algebraicamente independiente sobre . De hecho, ni siquiera se sabe si es irracional. Nesterenko demostró en 1996 que: ${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ pi + e}$

• los números , y Γ (1/4) son algebraicamente independientes entre sí .${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle e ^ {\ pi}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$
• los números , y Γ (1/3) son algebraicamente independientes entre sí .${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {3}}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$
• para todos los enteros positivos , los números y son algebraicamente independientes sobre .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {n}}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Teorema de Lindemann-Weierstrass

El teorema de Lindemann-Weierstrass se puede utilizar a menudo para demostrar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes . Se afirma que cada vez son números algebraicos que son linealmente independientes sobre , a continuación, son también más algebraicamente independiente . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle e ^ {\ alpha _ {1}}, \ ldots, e ^ {\ alpha _ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Matroides algebraicos

Dada una extensión de campo que no es algebraica, el lema de Zorn se puede usar para mostrar que siempre existe un subconjunto máximo algebraicamente independiente de sobre . Además, todos los subconjuntos máximos algebraicamente independientes tienen la misma cardinalidad , conocida como grado de trascendencia de la extensión. ${\ Displaystyle L / K}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle K}$

Para cada conjunto de elementos de , los subconjuntos algebraicamente independientes de satisfacen los axiomas que definen los conjuntos independientes de una matroide . En esta matroide, el rango de un conjunto de elementos es su grado de trascendencia, y el plano generado por un conjunto de elementos es la intersección de con el campo . Una matroide que se puede generar de esta manera se llama matroide algebraica . No se conoce una buena caracterización de las matroides algebraicas, pero se sabe que ciertas matroides no son algebraicas; el más pequeño es el matroide Vámos . ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle K [T]}$

Muchas matroides finitas se pueden representar mediante una matriz sobre un campo , en la que los elementos matroides corresponden a columnas de la matriz, y un conjunto de elementos es independiente si el conjunto de columnas correspondiente es linealmente independiente . Cada matroide con una representación lineal de este tipo también puede representarse como una matroide algebraica, eligiendo un indeterminado para cada fila de la matriz y usando los coeficientes de la matriz dentro de cada columna para asignar a cada elemento matroide una combinación lineal de estos trascendentales. Lo contrario es falso: no todas las matrices algebraicas tienen una representación lineal. ${\ Displaystyle K}$

Referencias

enlaces externos

• Chen, Johnny. "Algebraicamente Independiente" . MathWorld .