Geometría algebraica no conmutativa - Noncommutative algebraic geometry

La geometría algebraica no conmutativa es una rama de las matemáticas , y más específicamente una dirección en la geometría no conmutativa , que estudia las propiedades geométricas de duales formales de objetos algebraicos no conmutativos como anillos , así como objetos geométricos derivados de ellos (por ejemplo, pegando a lo largo de localizaciones o tomando cocientes de pila no conmutativos ).

Por ejemplo, se supone que la geometría algebraica no conmutativa amplía la noción de un esquema algebraico mediante el encolado adecuado de espectros de anillos no conmutativos; Dependiendo de cuán literalmente y cuán generalmente se entienda este objetivo (y una noción de espectro) en un entorno no conmutativo, esto se ha logrado en varios niveles de éxito. El anillo no conmutativo generaliza aquí un anillo conmutativo de funciones regulares en un esquema conmutativo . Las funciones de los espacios habituales en la geometría algebraica tradicional (conmutativa) tienen un producto definido por la multiplicación puntual ; como los valores de estas funciones conmutan , las funciones también conmutan: a veces b iguales b veces a . Es notable que ver las álgebras asociativas no conmutativas como álgebras de funciones en un espacio potencial "no conmutativo" es una intuición geométrica de gran alcance, aunque formalmente parece una falacia.

Gran parte de la motivación de la geometría no conmutativa, y en particular de la geometría algebraica no conmutativa, proviene de la física; especialmente de la física cuántica, donde las álgebras de los observables se consideran de hecho análogos no conmutativos de funciones, por lo que es deseable tener la capacidad de observar sus aspectos geométricos.

Uno de los valores del campo es que también proporciona nuevas técnicas para estudiar objetos en geometría algebraica conmutativa como los grupos de Brauer .

Los métodos de geometría algebraica no conmutativa son análogos de los métodos de geometría algebraica conmutativa, pero con frecuencia los fundamentos son diferentes. El comportamiento local en geometría algebraica conmutativa es capturado por álgebra conmutativa y especialmente el estudio de anillos locales . Estos no tienen un análogo de teoría de anillo en el entorno no conmutativo; aunque en una configuración categórica se puede hablar de pilas de categorías locales de haces cuasicoherentes sobre espectros no conmutativos. Las propiedades globales, como las que surgen del álgebra homológica y la teoría K, se transfieren con mayor frecuencia al entorno no conmutativo.

Historia

Enfoque clásico: el problema de la localización no conmutativa

La geometría algebraica conmutativa comienza construyendo el espectro de un anillo . Los puntos de la variedad algebraica (o más generalmente, el esquema ) son los ideales principales del anillo, y las funciones de la variedad algebraica son los elementos del anillo. Sin embargo, un anillo no conmutativo puede no tener ideales primos de dos lados distintos de cero. Por ejemplo, esto es cierto para el álgebra de Weyl de operadores diferenciales polinomiales en el espacio afín: el álgebra de Weyl es un anillo simple . Por lo tanto, se puede, por ejemplo, intentar reemplazar un espectro primario por un espectro primitivo : también existen la teoría de la localización no conmutativa y la teoría de la descendencia . Estos trabajos, en cierta medida: por ejemplo, Dixmier 's álgebras envolventes pueden ser considerados como la elaboración de la geometría algebraica no conmutativa para el espectro primitiva de un álgebra envolvente de un álgebra de Lie. Otro trabajo con un espíritu similar son las notas de Michael Artin tituladas "anillos no conmutativos", que en parte es un intento de estudiar la teoría de la representación desde un punto de vista de la geometría no conmutativa. La idea clave de ambos enfoques es que las representaciones irreductibles , o al menos los ideales primitivos , pueden considerarse como "puntos no conmutativos".

Punto de vista moderno utilizando categorías de gavillas.

Al final resultó que, a partir de, digamos, espectros primitivos, no fue fácil desarrollar una teoría de la gavilla viable . Uno podría imaginar que esta dificultad se debe a una especie de fenómeno cuántico: los puntos en un espacio pueden influir en puntos lejanos (y de hecho, no es apropiado tratar los puntos individualmente y ver un espacio como una mera colección de puntos).

Por lo anterior, se acepta un paradigma implícito en la tesis de Pierre Gabriel y en parte justificado por el teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg (según Pierre Gabriel y Alexander L. Rosenberg ) de que se puede reconstruir un esquema conmutativo, hasta el isomorfismo de esquemas, únicamente de la categoría abeliana de poleas cuasicoherentes en el esquema. Alexander Grothendieck enseñó que para hacer geometría no se necesita un espacio, basta con tener una categoría de gavillas que sería espacio; esta idea ha sido transmitida al álgebra no conmutativa por Yuri Manin . Hay teoremas de reconstrucción, un poco más débiles, a partir de las categorías derivadas de haces (cuasi) coherentes que motivan la geometría algebraica no conmutativa derivada (ver más abajo).

Geometría algebraica derivada

Artículo principal: geometría algebraica derivada

Quizás el enfoque más reciente es a través de la teoría de la deformación , colocando la geometría algebraica no conmutativa en el ámbito de la geometría algebraica derivada .

Como un ejemplo de motivación, considere la unidimensional álgebra Weyl sobre el número complejo C . Este es el cociente del anillo libre C < x , y > por la relación

xy - yx = 1.

Este anillo representa los operadores diferenciales polinomiales en una sola variable x ; y representa el operador diferencial ∂ x . Este anillo encaja en una familia de un parámetro dada por las relaciones xy - yx = α . Cuando α no es cero, entonces esta relación determina un anillo isomorfo al álgebra de Weyl. Cuando α es cero, sin embargo, la relación es la relación conmutatividad para x y y , y el anillo cociente resultante es el anillo polinomio en dos variables, C [ x , y ]. Geométricamente, el anillo polinomio en dos variables representa el bidimensional espacio afín A 2 , por lo que la existencia de esta familia de un solo parámetro que dice espacio afín admite deformaciones no conmutativos al espacio determinado por el álgebra de Weyl. Esta deformación está relacionada con el símbolo de un operador diferencial y que A 2 es el haz cotangente de la línea afín. (Estudiar el álgebra de Weyl puede conducir a información sobre el espacio afín: la conjetura de Dixmier sobre el álgebra de Weyl es equivalente a la conjetura jacobiana sobre el espacio afín).

En esta línea del enfoque, la noción de operado , un conjunto o espacio de operaciones, se vuelve prominente: en la introducción a ( Francis 2008 ) , Francis escribe:

Comenzamos el estudio de ciertas geometrías algebraicas menos conmutativas. … Se puede pensar que los traspasos de geometría algebraica interpolan entre algunas teorías derivadas de geometrías algebraicas conmutativas y no conmutativas. A medida que n aumenta, estas -álgebras convergen en la geometría algebraica derivada de Toën-Vezzosi y Lurie .

Proyecto de un anillo no conmutativo

Artículo principal: geometría proyectiva no conmutativa

Una de las construcciones básicas en geometría algebraica conmutativa es la construcción Proj de un anillo conmutativo graduado . Esta construcción construye una variedad algebraica proyectiva junto con un haz de líneas muy amplio cuyo anillo de coordenadas homogéneo es el anillo original. Construir el espacio topológico subyacente de la variedad requiere localizar el anillo, pero construir gavillas en ese espacio no. Según un teorema de Jean-Pierre Serre , las poleas cuasi coherentes en Proj de un anillo graduado son las mismas que los módulos graduados sobre el anillo hasta factores de dimensión finita. La filosofía de la teoría del topos promovida por Alexander Grothendieck dice que la categoría de gavillas en un espacio puede servir como el espacio mismo. En consecuencia, en la geometría algebraica no conmutativa a menudo se define Proj de la siguiente manera: Sea R un C- álgebra graduada , y deje que Mod- R denote la categoría de R -módulos derechos graduados. Sea F la subcategoría de Mod- R que consta de todos los módulos de longitud finita. Proj R se define como el cociente de la categoría abeliana Mod- R por F . De manera equivalente, es una localización de Mod- R en la que dos módulos se vuelven isomorfos si, después de tomar sus sumas directas con objetos de F elegidos apropiadamente , son isomorfos en Mod- R .

Este enfoque conduce a una teoría de la geometría proyectiva no conmutativa . Una curva proyectiva suave no conmutativa resulta ser una curva conmutativa suave, pero para curvas singulares o espacios suaves de dimensiones superiores, la configuración no conmutativa permite nuevos objetos.

Ver también

Notas

Referencias

  • M. Artin , JJ Zhang, Esquemas proyectivos no conmutativos, Advances in Mathematics 109 (1994), no. 2, 228-287, doi .
  • Yuri I. Manin, Grupos cuánticos y geometría no conmutativa, CRM, Montreal 1988.
  • Yuri I Manin, Temas de geometría no conmutativa, 176 págs. Princeton 1991.
  • A. Bondal, M. van den Bergh, Generadores y representabilidad de functores en geometría conmutativa y no conmutativa, Moscow Mathematical Journal 3 (2003), no. 1, 1-36.
  • A. Bondal, D. Orlov, Reconstrucción de una variedad a partir de la categoría derivada y grupos de autoequivalencias, Compositio Mathematica 125 (2001), 327–344 doi
  • John Francis, Anillos de geometría algebraica derivada
  • OA Laudal, Geometría algebraica no conmutativa, Rev. Mat. Iberoamericana 19, n. 2 (2003), 509-580; euclides .
  • Fred Van Oystaeyen , Alain Verschoren, Geometría algebraica no conmutativa, Springer Lect. Notas en matemáticas. 887, 1981.
  • Fred van Oystaeyen, Geometría algebraica para álgebras asociativas, Marcel Dekker 2000. vi + 287 pp.
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  • M. Kontsevich, A. Rosenberg, Espacios suaves no conmutativos, The Gelfand Mathematical Seminars, 1996-1999, 85-108, Gelfand Math. Sem., Birkhäuser, Boston 2000; arXiv: matemáticas / 9812158
  • AL Rosenberg, esquemas no conmutativos, Compositio Mathematica 112 (1998) 93-125, doi ; Espacios subyacentes de esquemas no conmutativos, preimpresión MPIM2003-111, dvi , ps ; Conferencia MSRI Esquemas y espacios no conmutativos (febrero de 2000): video
  • Pierre Gabriel, Des catégories abéliennes, Bulletin de la Société Mathématique de France 90 (1962), pág. 323-448, numdam
  • Zoran Škoda, Algunas construcciones equivariantes en geometría algebraica no conmutativa, Georgian Mathematical Journal 16 (2009), No. 1, 183--202, arXiv: 0811.4770 .
  • Dmitri Orlov, Gavillas cuasi-coherentes en geometría conmutativa y no conmutativa, Izv. CORRIÓ. Ser. Mat., 2003, vol. 67, número 3, 119–138 (versión preimpresa de MPI dvi , ps )
  • M. Kapranov, Geometría no conmutativa basada en expansiones de conmutadores, Journal für die reine und angewandte Mathematik 505 (1998), 73-118, math.AG/9802041 .

Otras lecturas

enlaces externos