Anillo de cociente - Quotient ring

En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un anillo de cociente , también conocido como anillo de factor , anillo de diferencia o anillo de clase de residuo , es una construcción bastante similar a los grupos de cociente de la teoría de grupos y los espacios de cociente del álgebra lineal . Es un ejemplo específico de cociente , visto desde el marco general del álgebra universal . Partiendo de un anillo R y un ideal bilateral I en R , se construye un nuevo anillo, el anillo cociente R / I , cuyos elementos son las clases laterales de I en R sujetas a operaciones especiales + y ⋅ .

Los anillos de cocientes son distintos del llamado "campo de cociente", o campo de fracciones , de un dominio integral , así como de los "anillos de cocientes" más generales obtenidos por localización .

Construcción de anillo de cociente formal

Dado un anillo y un ideal de dos caras en , podemos definir una relación de equivalencia de la siguiente manera: ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ sim}$ ${\ Displaystyle R}$

{\ Displaystyle a \ sim b}

si y solo si está en .

{\ displaystyle ab}

{\ Displaystyle I}

Usando las propiedades ideales, no es difícil comprobar que se trata de una relación de congruencia . En caso , decimos que y son módulo congruentes . La clase de equivalencia del elemento en viene dada por ${\ Displaystyle \ sim}$ ${\ Displaystyle a \ sim b}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle R}$

{\ Displaystyle [a] = a + I: = \ {a + r: r \ in I \}}

.

Esta clase de equivalencia a veces también se escribe y se denomina "clase de residuo de módulo ". ${\ Displaystyle a {\ bmod {I}}}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle I}$

El conjunto de todas esas clases de equivalencia se denota por ; se convierte en un anillo, el anillo factor o anillo cociente de módulo , si se define ${\ Displaystyle R / I}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle (a + I) + (b + I) = (a + b) + I}$ ;
${\ Displaystyle (a + I) (b + I) = (ab) + I}$ .

(Aquí hay que comprobar que estas definiciones están bien definidas . Compare la clase lateral y el grupo cociente .) El elemento cero de es y la identidad multiplicativa es . ${\ Displaystyle R / I}$ ${\ Displaystyle {\ bar {0}} = (0 + I) = I}$ ${\ Displaystyle {\ bar {1}} = (1 + I)}$

El mapa de a definido por es un homomorfismo de anillo suprayectivo , a veces llamado mapa de cociente natural o homomorfismo canónico . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R / I}$ ${\ Displaystyle p (a) = a + I}$

Ejemplos de

El anillo del cociente R / {0 } es naturalmente isomórfico a R , y R / R es el anillo cero {0}, ya que, según nuestra definición, para cualquier r en R , tenemos que [ r ] = r + "R" : = { r + b : b ∈ "R" }}, que es igual a la propia R. Esto se ajusta a la regla general que cuanto mayor sea el ideal que , cuanto menor sea el anillo cociente R / I . Si I es un ideal propio de R , es decir, I ≠ R , entonces R / I no es el anillo cero.
Considere el anillo de los enteros Z y el ideal de los números pares , denotado por 2 Z . Entonces, el anillo del cociente Z / 2 Z tiene sólo dos elementos, la clase lateral 0 + 2 Z que consta de los números pares y la clase lateral 1 + 2 Z que consta de los números impares; aplicando la definición, [ z ] = z + 2 Z : = { z + 2 y : 2 y ∈ 2 Z } , donde 2 Z es el ideal de números pares. Es naturalmente isomorfo al campo finito con dos elementos, F ₂ . Intuitivamente: si piensa en todos los números pares como 0, entonces cada número entero es 0 (si es par) o 1 (si es impar y, por lo tanto, difiere de un número par en 1). La aritmética modular es esencialmente aritmética en el anillo cociente Z / n Z (que tiene n elementos).
Ahora considere el anillo R [ X ] de polinomios en la variable X con coeficientes reales , y el ideal I = ( X ² + 1) que consiste en todos los múltiplos del polinomio X ² + 1 . El anillo cociente R [ X ] / ( X ² + 1) es naturalmente isomorfo al campo de los números complejos C , con la clase [ X ] desempeñando el papel de la unidad imaginaria i . La razón es que "forzamos" X ² + 1 = 0 , es decir, X ² = −1 , que es la propiedad definitoria de i .
Generalizando el ejemplo anterior, los anillos de cociente se utilizan a menudo para construir extensiones de campo . Supongamos que K es algún campo y f es un polinomio irreducible en K [ X ]. Entonces L = K [ X ] / ( f ) es un campo cuyo polinomio mínimo sobre K es f , que contiene K así como un elemento x = X + ( f ) .
Un ejemplo importante del ejemplo anterior es la construcción de campos finitos. Considere, por ejemplo, el campo F ₃ = Z / 3 Z con tres elementos. El polinomio f ( X ) = X ² + 1 es irreducible sobre F ₃ (ya que no tiene raíz), y podemos construir el anillo cociente F ₃ [ X ] / ( f ) . Este es un campo con 3 ² = 9 elementos, denotado por F ₉ . Los otros campos finitos se pueden construir de manera similar.
Los anillos de coordenadas de las variedades algebraicas son ejemplos importantes de anillos de cociente en geometría algebraica . Como caso simple, considere la variedad real V = {( x , y ) | x ² = y ³ } como un subconjunto del plano real R ² . El anillo de funciones polinómicas de valor real se define en V puede ser identificada con el anillo cociente R [ X , Y ] / ( X ² - Y ³ ) , y este es el anillo de coordenadas de V . La variedad V se investiga ahora mediante el estudio de su anillo de coordenadas.
Supongamos que M es un C ^∞ - colector , y p es un punto de M . Considere el anillo R = C ^∞ ( M ) de todas las funciones C ^∞ definidas en M y sea I el ideal en R que consta de aquellas funciones f que son idénticamente cero en algún vecindario U de p (donde U puede depender de f ) . Entonces el anillo cociente R / I es el anillo de gérmenes de funciones C ^∞ en M en p .
Considere el anillo F de elementos finitos de un campo hyperreal * R . Consiste en todos los números hiperreales que difieren de un real estándar en una cantidad infinitesimal, o de manera equivalente: de todos los números hiperreales x para los cuales existe un entero estándar n con - n < x < n . El conjunto I de todos los números infinitesimales en * R , junto con 0, es un ideal en F , y el anillo cociente F / I es isomorfo a los números reales R . El isomorfismo se induce asociando a cada elemento x de F la parte estándar de x , es decir, el número real único que difiere de x en un infinitesimal. De hecho, se obtiene el mismo resultado, a saber, R , si se comienza con el anillo F de hiperracionales finitos (es decir, la relación de un par de hiperintegros ), ver construcción de los números reales .

Planos complejos alternativos

Los cocientes R [ X ] / ( X ) , R [X] / ( X + 1) y R [ X ] / ( X - 1) son todos isomorfos a R y ganan poco interés al principio. Pero tenga en cuenta que R [ X ] / ( X ² ) se llama el plano numérico dual en álgebra geométrica. Consiste solo en binomios lineales como "residuos" después de reducir un elemento de R [ X ] por X ² . Este plano complejo alternativo surge como subálgebra siempre que el álgebra contiene una línea real y una nilpotente .

Además, el cociente de anillo R [ X ] / ( X ² - 1) se divide en R [ X ] / ( X + 1) y R [ X ] / ( X - 1) , por lo que este anillo a menudo se ve como el anillo directo suma R ⊕ R . Sin embargo, j sugiere un número complejo alternativo z = x + y j como raíz de X ² - 1 , en comparación con i como raíz de X ² + 1 = 0 . Este plano de números complejos divididos normaliza la suma directa R ' ⊕ R proporcionando una base {1, j} para el espacio 2 donde la identidad del álgebra está a una distancia unitaria del cero. Con esta base, una hipérbola unitaria puede compararse con el círculo unitario del plano complejo ordinario .

Cuaterniones y alternativas

Supongamos que X y Y son dos, no los desplazamientos, indeterminados y formar el álgebra libre R ⟨ X , Y ⟩ . Entonces los cuaterniones de Hamilton de 1843 se pueden emitir como

{\ Displaystyle \ mathbf {R} \ langle X, Y \ rangle / (X ^ {2} + 1, Y ^ {2} + 1, XY + YX).}

Si Y ² - 1 se sustituye por Y ² + 1 , se obtiene el anillo de cuaterniones divididos . Sustituir menos por más en ambos binomios cuadráticos también da como resultado cuaterniones divididos. La propiedad anti-conmutativa YX = - XY implica que XY tiene como cuadrado

( XY ) ( XY ) = X ( YX ) Y = - X ( XY ) Y = - XXYY = −1.

Los tres tipos de biquaternions también pueden escribirse como cocientes mediante el uso del álgebra libre con tres indeterminados R ⟨ X , Y , Z ⟩ y construyendo ideales apropiados.

Propiedades

Claramente, si R es un anillo conmutativo , entonces también lo es R / I ; lo contrario, sin embargo, no es cierto en general.

El mapa de cocientes naturales p tiene a I como su núcleo ; dado que el núcleo de cada homomorfismo de anillo es un ideal de dos caras, podemos afirmar que los ideales de dos caras son precisamente los núcleos de los homomorfismos de anillo.

La relación íntima entre homomorfismos de anillo, granos y anillo cociente se puede resumir como sigue: los homomorfismos anillo definido en R / I son esencialmente los mismos que los homomorfismos anillo definido en R que se desvanecen (es decir, son cero) en la I . Más precisamente, dado un ideal de dos lados I en R y un homomorfismo de anillo f : R → S cuyo núcleo contiene I , existe precisamente un homomorfismo de anillo g : R / I → S con gp = f (donde p es el cociente natural mapa). El mapa g aquí está dada por la regla bien definida g ([ una ]) = f ( un ) para todos una en R . De hecho, esta propiedad universal se puede utilizar para definir anillos de cocientes y sus mapas de cocientes naturales.

Como consecuencia de lo anterior, se obtiene el enunciado fundamental: todo homomorfismo de anillo f : R → S induce un isomorfismo de anillo entre el cociente anillo R / ker ( f ) y la imagen im ( f ). (Ver también: teorema fundamental sobre homomorfismos .)

Los ideales de R y R / I están estrechamente relacionados: el mapa del cociente natural proporciona una biyección entre los ideales bilaterales de R que contienen I y los ideales bilaterales de R / I (lo mismo es cierto para la izquierda y para la derecha ideales). Esta relación entre el ideal de dos lados se extiende a una relación entre los anillos de cociente correspondientes: si M es un ideal de dos lados en R que contiene I , y escribimos M / I para el ideal correspondiente en R / I (es decir, M / I = p ( M ) ), los anillos del cociente R / M y ( R / I ) / ( M / I ) son naturalmente isomorfos a través del mapeo (¡bien definido!) a + M ↦ ( a + I ) + M / I .

Los siguientes hechos resultan útiles en álgebra conmutativa y geometría algebraica : para R ≠ {0} conmutativo, R / I es un campo si y solo si I es un ideal máximo , mientras que R / I es un dominio integral si y solo si I es un ideal primordial . Un número de declaraciones similares se refieren propiedades del ideal I a las propiedades del anillo cociente R / I .

El teorema del resto chino establece que, si el ideal I es la intersección (o, de manera equivalente, el producto) de los ideales coprimos por pares I ₁ , ..., I _k , entonces el anillo del cociente R / I es isomorfo al producto del cociente anillos R / I _n , n = 1, ..., k .

Para álgebras sobre un anillo

Un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo R es un anillo en sí mismo. Si I es un ideal en A (cerrado bajo R -multiplicación), entonces A  /  I hereda la estructura de un álgebra sobre R y es el álgebra del cociente .

Ver también

Notas

Otras referencias

F. Kasch (1978) Moduln und Ringe , traducido por DAR Wallace (1982) Modules and Rings , Academic Press , página 33.
Neal H. McCoy (1948) Anillos e ideales , §13 Anillos de clase de residuos, página 61, Carus Mathematical Monographs # 8, Asociación Matemática de América .
Joseph Rotman (1998). Teoría de Galois (2ª edición) . Saltador. págs. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
BL van der Waerden (1970) Álgebra , traducido por Fred Blum y John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, Nueva York. Consulte el Capítulo 3.5, "Ideales. Anillos de clases de residuos", páginas 47 a 51.

enlaces externos

"Anillo de cociente" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Ideales y anillos de factores del Álgebra abstracta en línea de John Beachy

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