Homomorfismo de anillo - Ring homomorphism

En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un homomorfismo de anillo es una función que preserva la estructura entre dos anillos . Más explícitamente, si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo es una función f  : RS tal que f es:

conservación de la adición:
para todo a y b en R ,
preservación de la multiplicación:
para todo a y b en R ,
y unidad (identidad multiplicativa) preservando:
.

Los inversos aditivos y la identidad aditiva también forman parte de la estructura, pero no es necesario exigir explícitamente que también se respeten, porque estas condiciones son consecuencia de las tres condiciones anteriores.

Si además f es una biyección , entonces su inverso f −1 también es un homomorfismo de anillo. En este caso, f se denomina isomorfismo de anillo y los anillos R y S se denominan isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de anillos, los anillos isomorfos no se pueden distinguir.

Si R y S son generadores de números aleatorios , entonces la noción correspondiente es la de un homomorfismo rng , definido como anteriormente, excepto sin la tercera condición f (1 R ) = 1 S . Un homomorfismo entre anillos (unitales) no tiene por qué ser un homomorfismo de anillo.

La composición de dos homomorfismos de anillo es un homomorfismo de anillo. De ello se deduce que la clase de todos los anillos forma una categoría con homomorfismos de anillo como morfismos (cf. la categoría de anillos ). En particular, se obtienen las nociones de endomorfismo de anillo, isomorfismo de anillo y automorfismo de anillo.

Propiedades

Sea un homomorfismo de anillo. Entonces, directamente de estas definiciones, se puede deducir:

  • f (0 R ) = 0 S .
  • f (- un ) = - f ( a ) para todo un en R .
  • Para cualquier elemento unitario a en R , f ( a ) es un elemento unitario tal que f ( a −1 ) = f ( a ) −1 . En particular, f induce un homomorfismo de grupo desde el grupo (multiplicativo) de unidades de R al grupo (multiplicativo) de unidades de S (o de im ( f )).
  • La imagen de f , denotada im ( f ), es un subanillo de S .
  • El kernel de f , definida como ker ( f ) = { a en R  : f ( un ) = 0 S } , es un ideales en R . Todo ideal en un anillo R surge de algún homomorfismo de anillo de esta manera.
  • El homomorfismo f es inyectivo si y solo si ker ( f ) = {0 R } .
  • Si existe un anillo homomorfismo f  : RS entonces la característica de S divide la característica de R . Esto a veces se puede usar para mostrar que entre ciertos anillos R y S , no pueden existir homomorfismos de anillo RS.
  • Si R p es el subanillo más pequeño contenido en R y S p es el subanillo más pequeño contenido en S , entonces cada homomorfismo de anillo f  : RS induce un homomorfismo de anillo f p  : R pS p .
  • Si R es un campo (o más generalmente un campo sesgado ) y S no es el anillo cero , entonces f es inyectiva.
  • Si tanto R y S son campos , a continuación, im ( f ) es un subcampo de S , por lo que S se puede ver como una extensión campo de R .
  • Si R y S son conmutativas y I es un ideal de S entonces f -1 (I) es un ideal de R .
  • Si R y S son conmutativas y P es un ideal primo de S entonces f -1 ( P ) es un ideal primo de R .
  • Si R y S son conmutativas, M es un maximal ideales de S , y f es sobreyectiva, entonces f -1 (M) es un máximo ideal de R .
  • Si R y S son conmutativas y S es un dominio de integridad , entonces ker ( f ) es un ideal primo de R .
  • Si R y S son conmutativas, S es un campo, y f es sobreyectiva, entonces ker ( f ) es una máxima ideales de R .
  • Si f es sobreyectiva, P es primo (máxima) ideales en R y ker ( f ) ⊆ P , entonces f ( P ) es primo (máxima) ideal en el S .

Es más,

  • La composición de los homomorfismos de anillo es un homomorfismo de anillo.
  • Para cada anillo R , el mapa de identidad RR es un homomorfismo de anillo.
  • Por lo tanto, la clase de todos los anillos junto con los homomorfismos de anillo forma una categoría, la categoría de anillos .
  • El mapa cero RS que envía cada elemento de R a 0 es un homomorfismo de anillo solo si S es el anillo cero (el anillo cuyo único elemento es cero).
  • Por cada anillo R , hay un único anillo homomorfismo ZR . Esto dice que el anillo de números enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos.
  • Para cada anillo R , existe un homomorfismo de anillo único desde R hasta el anillo cero. Esto dice que el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos.

Ejemplos de

  • La función f  : ZZ n , definida por f ( a ) = [ a ] n = a mod n es un homomorfismo de anillo sobreyectivo con kernel n Z (ver aritmética modular ).
  • La función f  : Z 6Z 6 definida por f ([ a ] 6 ) = [ 4a ] 6 es un homomorfismo rng (y endomorfismo rng), con kernel 3 Z 6 e imagen 2 Z 6 (que es isomorfo a Z 3 ).
  • No hay homomorfismo de anillo Z nZ para n ≥ 1 .
  • La conjugación compleja CC es un homomorfismo de anillo (este es un ejemplo de un automorfismo de anillo).
  • Si R y S son anillos, la función cero de R a S es un homomorfismo de anillo si y solo si S es el anillo cero . (De lo contrario, falla al mapear 1 R a 1 S. ) Por otro lado, la función cero es siempre un homomorfismo rng.
  • Si R [ X ] denota el anillo de todos los polinomios en la variable X con coeficientes en los números reales R , y C denota los números complejos , entonces la función f  : R [ X ] → C definida por f ( p ) = p ( i ) (sustituir la unidad imaginaria i por la variable X en el polinomio p ) es un homomorfismo de anillo suprayectivo. El núcleo de f consta de todos los polinomios en R [ X ] que son divisibles por X 2 + 1 .
  • Si f  : RS es un homomorfismo de anillo entre los anillos R y S , entonces f induce un homomorfismo de anillo entre los anillos de la matriz M n ( R ) → M n ( S ) .
  • Un homomorfismo de álgebra unital entre álgebras asociativas unitales sobre un anillo conmutativo R es un homomorfismo de anillo que también es R- lineal .

No ejemplos

  • Dado un producto de anillos , la inclusión natural no es un homomorfismo de anillo (a menos que sea ​​el anillo cero); esto se debe a que el mapa no envía la identidad multiplicativa de a la de , a saber .

La categoría de anillos

Endomorfismos, isomorfismos y automorfismos

  • Un endomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.
  • Un isomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo que tiene una inversa de dos lados que también es un homomorfismo de anillo. Se puede probar que un homomorfismo de anillo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo en función de los conjuntos subyacentes. Si existe un isomorfismo de anillo entre dos anillos R y S , entonces R y S se denominan isomorfos . Los anillos isomorfos difieren solo por un reetiquetado de elementos. Ejemplo: hasta el isomorfismo, hay cuatro anillos de orden 4. (Esto significa que hay cuatro anillos no isomórficos por pares de orden 4, de modo que todos los demás anillos de orden 4 son isomorfos a uno de ellos). Por otro lado, hasta el isomorfismo, hay once rngs de orden 4.
  • Un automorfismo de anillo es un isomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.

Monomorfismos y epimorfismos

Homomorfismos de anillo inyectivos son idénticos a monomorfismos en la categoría de los anillos: Si f  : RS es un monomorphism que no es inyectiva, entonces se envía algunos r 1 y r 2 al mismo elemento de S . Considere los dos mapas g 1 y g 2 de Z [ x ] a R ese mapa x a r 1 y r 2 , respectivamente; fg 1 y fg 2 son idénticas, pero como f es un monomorfismo, esto es imposible.

Sin embargo, los homomorfismos de anillo sobreyectivos son muy diferentes de los epimorfismos en la categoría de anillos. Por ejemplo, la inclusión ZQ es un epimorfismo de anillo, pero no una sobreyección. Sin embargo, son exactamente iguales a los epimorfismos fuertes .

Ver también

Citas

Notas

Referencias

  • Artin, Michael (1991). Álgebra . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall.
  • Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ontario, MR  0242802
  • Bourbaki, N. (1998). Álgebra I, Capítulos 1–3 . Saltador.
  • Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . 150 . Nueva York: Springer-Verlag . xvi + 785. ISBN 0-387-94268-8. Señor  1322960 .
  • Hazewinkel, Michiel (2004). Álgebras, anillos y módulos . Springer-Verlag . ISBN 1-4020-2690-0.
  • Jacobson, Nathan (1985). Álgebra básica I (2ª ed.). ISBN 9780486471891.
  • Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor  1878556