Endomorfismo - Endomorphism

La proyección ortogonal sobre una línea, m , es un operador lineal en el plano. Este es un ejemplo de un endomorfismo que no es un automorfismo .

En matemáticas , un endomorfismo es un morfismo de un objeto matemático a sí mismo. Un endomorfismo que también es un isomorfismo es un automorfismo . Por ejemplo, un endomorfismo de un espacio vectorial V es un mapa lineal f : V → V , y un endomorfismo de un grupo G es un grupo homomorfismo f : G → G . En general, podemos hablar de endomorfismos en cualquier categoría . En la categoría de conjuntos , los endomorfismos son funciones de un conjunto S a sí mismo.

En cualquier categoría, la composición de cualquiera de las dos endomorfismos de X es de nuevo un endomorfismo de X . De ello se deduce que el conjunto de todos los endomorfismos de X forma un monoide , el monoide de transformación completa , y se denota como Final ( X ) (o Final _C ( X ) para enfatizar la categoría C ).

Automorfismos

Un endomorfismo invertible de X se llama automorfismo . El conjunto de todos los automorfismos es un subconjunto de End ( X ) con una estructura de grupo , llamado grupo de automorfismos de X y denotado Aut ( X ) . En el siguiente diagrama, las flechas denotan implicación:

Anillos de endomorfismo

Dos endomorfismos cualesquiera de un grupo abeliano , A , se pueden sumar mediante la regla ( f + g ) ( a ) = f ( a ) + g ( a ) . Bajo esta adición, y con la multiplicación definida como composición de funciones, los endomorfismos de un grupo abeliano forman un anillo (el anillo de endomorfismo ). Por ejemplo, el conjunto de endomorfismos de ℤ ⁿ es el anillo de todas las matrices n × n con entradas enteras . Los endomorfismos de un espacio vectorial o módulo también forman un anillo, al igual que los endomorfismos de cualquier objeto en una categoría preaditiva . Los endomorfismos de un grupo no beliano generan una estructura algebraica conocida como anillo cercano . Cada anillo con uno es el anillo de endomorfismo de su módulo regular , y también lo es un subanillo de un anillo de endomorfismo de un grupo abeliano; sin embargo, hay anillos que no son el anillo de endomorfismo de ningún grupo abeliano.

Teoría del operador

En cualquier categoría concreta , especialmente para espacios vectoriales , los endomorfismos son mapas de un conjunto en sí mismo, y pueden interpretarse como operadores unarios sobre ese conjunto, actuando sobre los elementos y permitiendo definir la noción de órbitas de elementos, etc.

Dependiendo de la estructura adicional definida para la categoría en cuestión ( topología , métrica , ...), dichos operadores pueden tener propiedades como continuidad , delimitación , etc. Se deben encontrar más detalles en el artículo sobre la teoría del operador .

Funciones finales

Una endofunción es una función cuyo dominio es igual a su codominio . Una endofunción homomórfica es un endomorfismo.

Sea S un conjunto arbitrario. Entre endofunctions en S se encuentra permutaciones de S y funciones constantes que asocian a cada x en S del mismo elemento c en S . Cada permutación de S tiene el codominio igual a su dominio y es biyectiva e invertible. Si S tiene más de un elemento, una función constante en S tiene una imagen que es un subconjunto adecuado de su codominio y, por lo tanto, no es biyectiva (y, por tanto, no invertible). La función que asocia a cada número natural n el piso de n / 2 tiene su imagen igual a su codominio y no es invertible.

Las funciones finales finitas son equivalentes a los pseudoforestales dirigidos . Para conjuntos de tamaño n, hay n ⁿ funciones finales en el conjunto.

Ejemplos particulares de endofunciones biyectivas son las involuciones ; es decir, las funciones coinciden con sus inversas.

Ver también

• Endomorfismo adjunto
• Epimorfismo (morfismo sobreyectiva)
• Endomorfismo de Frobenius
• Monomorfismo (morfismo inyectivo)

Notas

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , 1 (2a ed.), Dover, ISBN   978-0-486-47189-1

enlaces externos

• "Endomorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]