Dominio euclidiano - Euclidean domain

En matemáticas , más concretamente en teoría de anillos , un dominio euclidiano (también llamado anillo euclidiano ) es un dominio integral que puede estar dotado de una función euclidiana que permite una adecuada generalización de la división euclidiana de los enteros. Este algoritmo euclidiano generalizado se puede utilizar para muchos de los mismos usos que el algoritmo original de Euclides en el anillo de números enteros : en cualquier dominio euclidiano, se puede aplicar el algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor de dos elementos. En particular, el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera existe y puede escribirse como una combinación lineal de ellos ( identidad de Bézout ). Además, todo ideal en un dominio euclidiano es principal , lo que implica una generalización adecuada del teorema fundamental de la aritmética : cada dominio euclidiano es un dominio de factorización único .

Es importante comparar la clase de dominios euclidianos con la clase más grande de dominios ideales principales (PID). Un PID arbitrario tiene las mismas "propiedades estructurales" de un dominio euclidiano (o, de hecho, incluso del anillo de números enteros), pero cuando se conoce un algoritmo explícito para la división euclidiana, se puede usar el algoritmo euclidiano y el algoritmo euclidiano extendido para calcular grandes divisores comunes y la identidad de Bézout . En particular, la existencia de algoritmos eficientes para la división euclidiana de números enteros y polinomios en una variable sobre un campo es de importancia básica en álgebra computacional .

Entonces, dado un dominio integral R , a menudo es muy útil saber que R tiene una función euclidiana: en particular, esto implica que R es un PID. Sin embargo, si no hay una función euclidiana "obvia", entonces determinar si R es un PID es generalmente un problema mucho más fácil que determinar si es un dominio euclidiano.

Los dominios euclidianos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

RNGs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios de integridad ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios GCD ⊃ dominio de factorización única ⊃ principales dominios ideales ⊃ dominio euclídeo ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Estructuras algebraicas
Tipo grupo Grupo Semigrupo  / Monoid Rack y quandle Cuasigrupo y bucle Grupo abeliano Magma Grupo de mentiras Teoría de grupos
Como un anillo Anillo Rng Semiring Anillo cercano Anillo conmutativo Dominio integral Campo Anillo de división Teoría del anillo
celosía -como Enrejado Semirredura Celosía complementada Orden total Heyting álgebra álgebra de Boole Mapa de celosías Teoría de la celosía
Como un módulo Módulo Grupo con operadores Espacio vectorial Álgebra lineal
Algebra- like Álgebra De asociación No asociativo Álgebra de composición Álgebra de mentiras Calificado Bialgebra
v t mi

Definición

Sea R un dominio integral. Una función euclidiana en R es una función f de R  \ {0 } a los enteros no negativos que satisfacen la siguiente propiedad fundamental de división con resto:

• (EF1) Si un y b están en R y b es distinto de cero, entonces no existe q y r en R tal que un = bq + r y, o bien r = 0 o f  ( r ) < f  ( b ) .

Un dominio euclidiano es un dominio integral que puede estar dotado de al menos una función euclidiana. Es importante notar que una función euclidiana particular f no es parte de la estructura de un dominio euclidiano; en general, un dominio euclidiano admitirá muchas funciones euclidianas diferentes.

La mayoría de los textos de álgebra requieren una función euclidiana para tener la siguiente propiedad adicional:

• (EF2) Para todos a y b distintos de cero en R , f  ( a ) ≤ f  ( ab ) .

Sin embargo, se puede demostrar que (EF1) solo es suficiente para definir un dominio euclidiano. Si un dominio integral R está dotado de una función g que satisface (EF1), entonces R también puede estar dotado de una función que satisfaga tanto (EF1) como (EF2) simultáneamente. De hecho, para un ∈ R  \ {0 }, se puede definir f  ( a ) de la siguiente manera:

${\ Displaystyle f (a) = \ min _ {x \ in R \ setminus \ {0 \}} g (xa)}$

En palabras, se puede definir f  ( a ) como el valor mínimo alcanzado por g en el conjunto de todos los elementos distintos de cero del ideal principal generado por a .

Una función euclidiana f es multiplicativo si f  ( ab ) = f  ( un )  f  ( b ) y f  ( a ) no es cero. De ello se deduce que f  (1) = 1 . De manera más general, f  ( a ) = 1 si y solo si a es una unidad.

Notas sobre la definición

Muchos autores utilizan otros términos en lugar de "función euclidiana", como "función de grado", "función de valoración", "función de calibre" o "función de norma". Algunos autores también requieren que el dominio de la función euclidiana sea el anillo completo R ; sin embargo, esto no afecta esencialmente a la definición, ya que (EF1) no involucra el valor de f  (0) . La definición a veces se generaliza al permitir que la función euclidiana tome sus valores en cualquier conjunto bien ordenado; este debilitamiento no afecta las implicaciones más importantes de la propiedad euclidiana.

La propiedad (EF1) se puede reformular de la siguiente manera: para cualquier ideal principal I de R con un generador b distinto de cero, todas las clases distintas de cero del anillo del cociente R / I tienen un r representativo con f  ( r ) < f  ( b ) . Dado que los posibles valores de f están bien ordenados, esta propiedad se puede establecer probando que f  ( r ) < f  ( b ) para cualquier r ∉ I con un valor mínimo de f  ( r ) en su clase. Tenga en cuenta que, para una función euclidiana que así lo establece, no es necesario no existe un método eficaz para determinar q y r en (EF1).

Ejemplos de

Ejemplos de dominios euclidianos incluyen:

• Cualquier campo. Defina f  ( x ) = 1 para todas las x distintas de cero .
• Z , el anillo de los enteros . Defina f  ( n ) = | n | , el valor absoluto de n .
• Z [  i  ] , el anillo de los enteros gaussianos . Defina f  ( a + bi ) = a ² + b ² , la norma del entero gaussiano a + bi .
• Z [ω] (donde ω es una raíz cúbica primitiva (no real) de la unidad ), el anillo de los números enteros de Eisenstein . Defina f  ( a + b ω) = a ² - ab + b ² , la norma del entero de Eisenstein a + b ω .
• K  [X] , el anillo de los polinomios más de un campo K . Para cada polinomio distinto de cero P , definir f  ( P ) a ser el grado de P .
• K  [[X]] , el anillo de series formales sobre el campo K . Para cada serie de potencias diferente de cero P , definir f  ( P ) como el orden de P , que es el grado de la menor potencia de X que ocurre en P . En particular, para dos series distinto de cero de potencia P y Q , f  ( P ) ≤ f  ( Q ) si y sólo si P divide Q .
• Cualquier anillo de valoración discreto . Defina f  ( x ) como la potencia más alta del ideal máximo M que contiene x . De manera equivalente, sea g un generador de M y v el único entero tal que g  ^v es un asociado de x , luego defina f  ( x ) = v . El ejemplo anterior K  [[X]] es un caso especial de esto.
• Un dominio de Dedekind con un número finito de ideales primos distintos de cero P ₁ ,  ..., P _n . Defina , donde v _i es la valoración discreta correspondiente al ideal P _i .${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} (x)}$ 

Ejemplos de dominios que no son dominios euclidianos incluyen:

• Todo dominio que no sea un dominio ideal principal , como el anillo de polinomios en al menos dos indeterminados sobre un campo, o el anillo de polinomios univariados con coeficientes enteros, o el anillo numérico Z [  √ −5  ] .
• El anillo de números enteros de Q (  √ −19  ) , que consta de los números a + b √ −19/2donde un y b son números enteros y ambos pares o ambos impares. Es un dominio ideal principal que no es euclidiano.
• El anillo A = R [X, Y] / (X ² + Y ² + 1) es también un dominio ideal principal que no es euclidiano. Para ver que no es un dominio euclidiano, basta con mostrar que para cada primo distinto de cero , el mapa inducido por el mapa del cociente no es sobreyectivo.${\ Displaystyle p \ in A}$${\ Displaystyle A ^ {\ times} \ to (A / p) ^ {\ times}}$${\ Displaystyle A \ to A / p}$

Propiedades

Deje que R sea un dominio y f una función euclidiana en R . Luego:

• R es un dominio ideal principal (PID). De hecho, si I es un no nulo ideales de R entonces cualquier elemento de una de I \ {0} con un valor mínimo (en ese conjunto) de f ( un ) es un generador de I . Como consecuencia, R es también un dominio de factorización único y un anillo noetheriano . Con respecto a los dominios ideales principales generales, la existencia de factorizaciones (es decir, que R es un dominio atómico ) es particularmente fácil de probar en los dominios euclidianos: eligiendo una función euclidiana f que satisfaga (EF2), x no puede tener ninguna descomposición en más de f ( x ) factores no unitarios, por lo que comenzar con x y descomponer repetidamente los factores reducibles está destinado a producir una factorización en elementos irreducibles.
• Cualquier elemento de R en la que f toma su valor global mínima es invertible en R . Si un f se elige satisface (EF2), entonces el contrario también se mantiene, y f toma su valor mínimo exactamente en los elementos invertibles de R .
• Si la propiedad euclidiana es algorítmica, es decir, si hay un algoritmo de división que para un dado ay distinto de cero b produce un cociente q y el resto r con a = bq + r y r = 0 o f ( r ) < f ( b ) , entonces se puede definir un algoritmo euclidiano extendido en términos de esta operación de división.
• Si un dominio euclidiano no es un campo, entonces tiene un elemento a con la siguiente propiedad: cualquier elemento x no divisible por a puede escribirse como x = ay + u para alguna unidad u y algún elemento y . Esto se sigue mediante la adopción de un ser un no-unidad con f ( a ) lo más pequeña posible. Esta extraña propiedad puede usarse para mostrar que algunos dominios ideales principales no son dominios euclidianos, ya que no todos los PID tienen esta propiedad. Por ejemplo, para d = −19, −43, −67, −163, el anillo de enteros de es un PID que no es euclidiano, pero los casos d = −1, −2, −3, −7, −11 son euclidianos.${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$

Sin embargo, en muchas extensiones finitas de Q con grupo de clase trivial , el anillo de números enteros es euclidiano (no necesariamente con respecto al valor absoluto de la norma de campo; ver más abajo). Suponiendo la hipótesis de Riemann extendida , si K es una extensión finita de Q y el anillo de números enteros de K es un PID con un número infinito de unidades, entonces el anillo de números enteros es euclidiano. En particular, esto se aplica al caso de campos numéricos cuadráticos totalmente reales con un grupo de clases trivial. Además (y sin asumir ERH), si el campo K es una extensión de Galois de Q , tiene un grupo de clase trivial y un rango de unidad estrictamente mayor que tres, entonces el anillo de números enteros es euclidiano. Un corolario inmediato de esto es que si el campo numérico es Galois sobre Q , su grupo de clases es trivial y la extensión tiene un grado mayor que 8, entonces el anillo de números enteros es necesariamente euclidiano.

Campos norm-euclidianos

Los campos numéricos algebraicos K vienen con una función de norma canónica sobre ellos: el valor absoluto de la norma de campo N que lleva un elemento algebraico α al producto de todos los conjugados de α . Esta norma mapea el anillo de números enteros de un campo numérico K , digamos O _K , a los enteros racionales no negativos , por lo que es un candidato para ser una norma euclidiana en este anillo. Si esta norma satisface los axiomas de una función euclidiana, entonces el campo numérico K se llama norma-euclidiana o simplemente euclidiana . Estrictamente hablando, es el anillo de números enteros el que es euclidiano, ya que los campos son dominios trivialmente euclidianos, pero la terminología es estándar.

Si un campo no es norma-euclidiana, eso no significa que el anillo de números enteros no sea euclidiana, solo que la norma de campo no satisface los axiomas de una función euclidiana. De hecho, los anillos de números enteros de campos numéricos se pueden dividir en varias clases:

• Aquellos que no son principales y por lo tanto no euclidianos, como los enteros de${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})}$
• Aquellos que son principales y no euclidianos, como los enteros de ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-19}})}$
• Aquellos que son euclidianos y no norm-euclidianos, como los enteros de ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {69}})}$
• Aquellos que son norm-euclidianos, como enteros gaussianos (enteros de )${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-1}})}$

Los campos cuadráticos norm-euclidianos se han clasificado completamente; son , donde d toma los valores ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en la OEIS ).

Todo campo cuadrático imaginario euclidiano es euclidiano normativo y es uno de los cinco primeros campos de la lista anterior.

Ver también

• Valoración (álgebra)

Notas

Referencias

• Fraleigh, John B .; Katz, Victor J. (1967). Un primer curso de álgebra abstracta (5ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-53467-3.
• Samuel, Pierre (1971). "Acerca de los anillos euclidianos" (PDF) . Revista de álgebra . 19 (2): 282-301. doi : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90110-4 .