Grupo abeliano - Abelian group

En matemáticas , un grupo abeliano , también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos de grupo no depende del orden en que están escritos. Es decir, la operación de grupo es conmutativa . Con la suma como operación, los enteros y los números reales forman grupos abelianos, y el concepto de grupo abeliano puede verse como una generalización de estos ejemplos. Los grupos abelianos llevan el nombre del matemático de principios del siglo XIX Niels Henrik Abel .

El concepto de grupo abeliano subyace en muchas estructuras algebraicas fundamentales , como campos , anillos , espacios vectoriales y álgebras . La teoría de los grupos abelianos es generalmente más simple que la de sus contrapartes no abelianos , y los grupos abelianos finitos se comprenden muy bien y están completamente clasificados .

Definición

Estructuras de tipo grupal
Totalidad Asociatividad Identidad Invertibilidad Conmutatividad
Semigropoide Innecesario Requerido Innecesario Innecesario Innecesario
Categoría pequeña Innecesario Requerido Requerido Innecesario Innecesario
Groupoid Innecesario Requerido Requerido Requerido Innecesario
Magma Requerido Innecesario Innecesario Innecesario Innecesario
Cuasigrupo Requerido Innecesario Innecesario Requerido Innecesario
Magma unital Requerido Innecesario Requerido Innecesario Innecesario
Círculo Requerido Innecesario Requerido Requerido Innecesario
Semigroup Requerido Requerido Innecesario Innecesario Innecesario
Semigrupo inverso Requerido Requerido Innecesario Requerido Innecesario
Monoide Requerido Requerido Requerido Innecesario Innecesario
Monoide conmutativo Requerido Requerido Requerido Innecesario Requerido
Grupo Requerido Requerido Requerido Requerido Innecesario
Grupo abeliano Requerido Requerido Requerido Requerido Requerido
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente.

Un grupo abeliano es un conjunto , junto con una operación que combina dos elementos cualesquiera y de para formar otro elemento de denotado . El símbolo es un marcador de posición general para una operación determinada concretamente. Para calificar como un grupo abeliano, el conjunto y la operación , deben satisfacer cinco requisitos conocidos como axiomas del grupo abeliano :

Cierre
Para todos , en , el resultado de la operación también está en .
Asociatividad
Para todos , y en , la ecuación es válida.
Elemento de identidad
Existe un elemento en , tal que para todos los elementos en , la ecuación se cumple.
Elemento inverso
Para cada en existe un elemento en tal manera que , cuando es el elemento de identidad.
Conmutatividad
Para todos , en , .

Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina "grupo no abeliano" o "grupo no conmutativo".

Hechos

Notación

Hay dos convenciones principales de notación para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa.

Convención Operación Identidad Potestades Inverso
Adición 0
Multiplicación o 1

Generalmente, la notación multiplicativa es la notación habitual para grupos, mientras que la notación aditiva es la notación habitual para módulos y anillos . La notación aditiva también se puede usar para enfatizar que un grupo en particular es abeliano, siempre que se consideren grupos tanto abelianos como no abelianos, siendo algunas excepciones notables los grupos cercanos a los anillos y los grupos parcialmente ordenados , donde una operación se escribe aditivamente incluso cuando no son abelianos. .

Tabla de multiplicación

Para verificar que un grupo finito es abeliano, se puede construir una tabla (matriz), conocida como tabla de Cayley , de manera similar a una tabla de multiplicar . Si el grupo está bajo la operación , la -ésima entrada de esta tabla contiene el producto .

El grupo es abeliano si y solo si esta tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal. Esto es cierto ya que el grupo es abeliano iff para todos , que es sif la entrada de la tabla es igual a la entrada para todos , es decir, la tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal.

Ejemplos de

  • Para los números enteros y la operación de adición , denotadas , la operación + combina dos enteros para formar un tercer número entero, la adición es asociativa, el cero es la identidad aditiva , cada número entero tiene un inverso aditivo , y la operación de adición es conmutativa desde por cualquier dos enteros y .
  • Cada grupo cíclico es abeliano, porque si , se encuentran en , a continuación . Así, los números enteros , , forman un grupo abeliano bajo la adición, al igual que los enteros módulo , .
  • Cada anillo es un grupo abeliano con respecto a su operación de adición. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles, o unidades , forman un grupo multiplicativo abeliano . En particular, los números reales son un grupo abeliano bajo suma, y ​​los números reales distintos de cero son un grupo abeliano bajo multiplicación.
  • Cada subgrupo de un grupo abeliano es normal , por lo que cada subgrupo da lugar a un grupo cociente . Los subgrupos, cocientes y sumas directas de grupos abelianos son nuevamente abelianos. Los grupos abelianos simples finitos son exactamente los grupos cíclicos de primer orden .
  • Los conceptos de grupo abeliano y - módulo de acuerdo. Más específicamente, cada -module es un grupo abeliano con su operación de suma, y ​​cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de números enteros de una manera única.

En general, las matrices , incluso las matrices invertibles, no forman un grupo abeliano bajo la multiplicación porque la multiplicación de matrices generalmente no es conmutativa. Sin embargo, algunos grupos de matrices son grupos abelianos bajo la multiplicación de matrices; un ejemplo es el grupo de matrices de rotación .

Observaciones históricas

Camille Jordan nombró grupos abelianos en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel , porque Abel descubrió que la conmutatividad del grupo de un polinomio implica que las raíces del polinomio se pueden calcular utilizando radicales .

Propiedades

Si es un número natural y es un elemento de un grupo abeliano escrito de forma aditiva, entonces se puede definir como ( sumandos) y . De esta forma, se convierte en un módulo sobre el anillo de enteros. De hecho, los módulos superiores se pueden identificar con los grupos abelianos.

Los teoremas sobre grupos abelianos (es decir, módulos sobre el dominio ideal principal ) a menudo se pueden generalizar a teoremas sobre módulos sobre un dominio ideal principal arbitrario. Un ejemplo típico es la clasificación de grupos abelianos generados finitamente, que es una especialización del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal . En el caso de grupos abelianos generados finitamente, este teorema garantiza que un grupo abeliano se divide como una suma directa de un grupo de torsión y un grupo abeliano libre . El primero puede escribirse como una suma directa de un número finito de grupos de la forma de primo, y el segundo es una suma directa de un número finito de copias de .

Si hay dos homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, entonces su suma , definida por , es nuevamente un homomorfismo. (Esto no es cierto si es un grupo no abeliano.) El conjunto de todos los homomorfismos de grupo de a es, por lo tanto, un grupo abeliano por derecho propio.

Algo parecido a la dimensión de los espacios vectoriales , cada grupo abeliano tiene un rango . Se define como la cardinalidad máxima de un conjunto de elementos linealmente independientes (sobre los enteros) del grupo. Los grupos abelianos finitos y los grupos de torsión tienen rango cero, y cada grupo abeliano de rango cero es un grupo de torsión. Los enteros y los números racionales tienen rango uno, así como todos los subgrupos aditivos distintos de cero de los racionales. Por otro lado, el grupo multiplicativo de los racionales distintos de cero tiene un rango infinito, ya que es un grupo abeliano libre con el conjunto de los números primos como base (esto resulta del teorema fundamental de la aritmética ).

El centro de un grupo es el conjunto de elementos que se desplazan con cada elemento de . Un grupo es abeliano si y solo si es igual a su centro . El centro de un grupo es siempre un subgrupo abeliano característico de . Si el grupo cociente de un grupo por su centro es cíclico, entonces es abeliano.

Grupos abelianos finitos

Los grupos cíclicos de números enteros módulo , se encontraban entre los primeros ejemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de potencia principal, y estos órdenes están determinados de forma única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismo de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría se había desarrollado por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger y más tarde se simplificó y generalizó a módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal, formando un capítulo importante del álgebra lineal .

Cualquier grupo de orden primo es isomorfo a un grupo cíclico y por lo tanto abeliano. Cualquier grupo cuyo orden sea un cuadrado de un número primo también es abeliano. De hecho, para cada número primo hay (hasta el isomorfismo) exactamente dos grupos de orden , a saber y .

Clasificación

El teorema fundamental de los grupos abelianos finitos establece que cada grupo abeliano finito puede expresarse como la suma directa de subgrupos cíclicos de orden primo de potencias; también se conoce como el teorema de la base para grupos abelianos finitos . Además, los grupos de automorfismos de grupos cíclicos son ejemplos de grupos abelianos. Esto se generaliza mediante el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente , siendo los grupos finitos el caso especial cuando G tiene rango cero ; esto a su vez admite numerosas generalizaciones adicionales.

La clasificación fue probada por Leopold Kronecker en 1870, aunque no se estableció en términos modernos de teoría de grupos hasta más tarde, y fue precedida por una clasificación similar de formas cuadráticas por Carl Friedrich Gauss en 1801; consulte el historial para obtener más detalles.

El grupo cíclico de orden es isomorfo a la suma directa de y si y solo si y son coprimos . De ello se deduce que cualquier grupo abeliano finito es isomorfo a una suma directa de la forma

en cualquiera de las siguientes formas canónicas:

  • los números son potencias de primos (no necesariamente distintos),
  • o divide , que divide , y así sucesivamente hasta .

Por ejemplo, se puede expresar como la suma directa de dos subgrupos cíclico de orden 3 y 5: . Lo mismo puede decirse de cualquier grupo abeliano de orden 15, lo que lleva a la notable conclusión de que todos los grupos abelianos de orden 15 son isomorfos .

Para otro ejemplo, cada grupo abeliano de orden 8 es isomórfico a (los enteros 0 a 7 en el módulo de adición 8), (los números enteros impares del 1 al 15 en el módulo de multiplicación 16), o .

Véase también la lista de grupos pequeños para grupos abelianos finitos de orden 30 o menos.

Automorfismos

Se puede aplicar el teorema fundamental para contar (y a veces determinar) los automorfismos de un grupo abeliano finito dado . Para hacer esto, se usa el hecho de que si se divide como una suma directa de subgrupos de orden coprime , entonces

Dado esto, el teorema fundamental muestra que para calcular el grupo de automorfismo del mismo es suficiente calcular los grupos de automorfismo de los subgrupos de Sylow por separado (es decir, todas las sumas directas de subgrupos cíclicos, cada uno con un orden de potencia de ). Fije un primo y suponga que los exponentes de los factores cíclicos del subgrupo de Sylow están ordenados en orden creciente:

para algunos . Uno necesita encontrar los automorfismos de

Un caso especial es cuando , por lo que sólo hay un factor primordial-cíclico de alimentación eléctrica en el Sylow -subgroup . En este caso se puede utilizar la teoría de los automorfismos de un grupo cíclico finito . Otro caso especial es cuando es arbitrario pero para . Aquí, uno está considerando ser de la forma

por lo que los elementos de este subgrupo pueden verse como que comprenden un espacio vectorial de dimensión sobre el campo finito de elementos . Por tanto, los automorfismos de este subgrupo están dados por las transformaciones lineales invertibles, por lo que

donde es el grupo lineal general apropiado . Esto se demuestra fácilmente que tiene orden.

En el caso más general, donde y son arbitrarios, el grupo de automorfismo es más difícil de determinar. Se sabe, sin embargo, que si se define

y

entonces uno tiene, en particular , y

Se puede comprobar que esto produce los pedidos de los ejemplos anteriores como casos especiales (ver Hillar, C. y Rhea, D.).

Grupos abelianos finamente generados

Un grupo abeliano A es de generación finita si contiene un conjunto finito de elementos (llamados generadores ) tal que cada elemento del grupo es una combinación lineal con coeficientes enteros de elementos de G .

Sea L un grupo abeliano libre con base.Hay un homomorfismo de grupo único tal que

Este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo se genera finitamente (ya que los números enteros forman un anillo noetheriano ). Considere la matriz M con entradas enteras, de manera que las entradas de su j- ésima columna sean los coeficientes del j- ésimo generador del núcleo. A continuación, el grupo abeliano es isomorfo al conúcleo de mapa lineal definida por M . A la inversa, cada matriz de números enteros define un grupo abeliano generado de forma finita.

De ello se desprende que el estudio de grupos abelianos generados finitamente es totalmente equivalente al estudio de matrices enteras. En particular, cambiar el grupo electrógeno de A es equivalente a multiplicar M a la izquierda por una matriz unimodular (es decir, una matriz entera invertible cuya inversa es también una matriz entera). Cambiar el grupo generador del núcleo de M es equivalente a multiplicar M a la derecha por una matriz unimodular.

La forma normal de Smith de M es una matriz

donde U y V son unimodulares, y S es una matriz tal que todas las entradas no diagonales son cero, las entradas diagonales distintas de cero son las primeras y es un divisor de para i > j . La existencia y la forma de la normal de Smith prueba que el grupo abeliano A generado finitamente es la suma directa

donde r es el número de filas cero en la parte inferior de r (y también el rango del grupo). Este es el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente .

La existencia de algoritmos para la forma normal de Smith muestra que el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente no es solo un teorema de existencia abstracta, sino que proporciona una forma de calcular la expresión de grupos abelianos generados finitamente como sumas directas.

Grupos abelianos infinitos

El grupo abeliano infinito más simple es el grupo cíclico infinito . Cualquier grupo abeliano generado finitamente es isomorfo a la suma directa de copias de un grupo abeliano finito, que a su vez se puede descomponer en una suma directa de un número finito de grupos cíclicos de órdenes de potencia primarias . Aunque la descomposición no es única, el número , llamado rango de , y los poderes primos que dan las órdenes de sumandos cíclicos finitos se determinan de forma única.

Por el contrario, la clasificación de los grupos abelianos generados infinitamente está lejos de ser completa. Los grupos divisibles , es decir, los grupos abelianos en los que la ecuación admite una solución para cualquier número natural y elemento de , constituyen una clase importante de infinitos grupos abelianos que pueden caracterizarse completamente. Cada grupo divisible es isomorfo a una suma directa, con sumandos isomorfo a y grupos Prüfer para diversos números primos , y la cardinalidad del conjunto de sumandos de cada tipo se determina de forma única. Además, si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano, entonces admite un complemento directo: un subgrupo de tal que . Así, los grupos divisibles son módulos inyectivos en la categoría de grupos abelianos y, a la inversa, todo grupo abeliano inyectivo es divisible ( criterio de Baer ). Un grupo abeliano sin subgrupos divisibles distintos de cero se llama reducido .

Dos clases especiales importantes de grupos abelianos infinitos con propiedades diametralmente opuestos son grupos de torsión y grupos libre de torsión , ejemplificados por los grupos (periódicas) y (sin torsión).

Grupos de torsión

Un grupo abeliano se llama periódico o torsión , si cada elemento tiene un orden finito . Una suma directa de grupos cíclicos finitos es periódica. Aunque el enunciado inverso no es cierto en general, se conocen algunos casos especiales. Los teoremas primero y segundo de Prüfer establecen que si es un grupo periódico, y tiene un exponente acotado , es decir, para algún número natural , o es contable y las alturas de los elementos de son finitas para cada uno , entonces es isomorfo a un suma directa de grupos cíclicos finitos. La cardinalidad del conjunto de sumandos directos isomórficos a en tal descomposición es invariante de . Estos teoremas fueron subsumidos más tarde en el criterio de Kulikov . En otra dirección, Helmut Ulm encontró una extensión del segundo teorema de Prüfer a grupos abelianos contables con elementos de altura infinita: esos grupos están completamente clasificados por medio de sus invariantes de Ulm .

Grupos libres de torsión y mixtos

Un grupo abeliano se denomina libre de torsión si cada elemento distinto de cero tiene un orden infinito. Se han estudiado ampliamente varias clases de grupos abelianos sin torsión :

Un grupo abeliano que no es periódico ni está libre de torsión se llama mixto . Si es un grupo abeliano y es su subgrupo de torsión , entonces el grupo de factores está libre de torsión. Sin embargo, en general, el subgrupo de torsión no es un sumando directo de , por lo que no es isomorfo a . Por tanto, la teoría de los grupos mixtos implica más que simplemente combinar los resultados sobre los grupos periódicos y libres de torsión. El grupo aditivo de números enteros es un módulo sin torsión .

Invariantes y clasificación

Uno de los invariantes más básicos de un grupo abeliano infinito es su rango : la cardinalidad del subconjunto máximo linealmente independiente de . Los grupos abelianos de rango 0 son precisamente los grupos periódicos, mientras que los grupos abelianos sin torsión de rango 1 son necesariamente subgrupos de y pueden describirse completamente. De manera más general, un grupo abeliano sin torsión de rango finito es un subgrupo de . Por otro lado, el grupo de enteros -ádicos es un grupo abeliano libre de torsión de rango infinito y los grupos con diferentes no son isomorfos, por lo que este invariante ni siquiera captura completamente las propiedades de algunos grupos familiares.

Los teoremas de clasificación para grupos abelianos sin torsión, divisibles, periódicos contables y de rango 1 generados finitamente explicados anteriormente se obtuvieron todos antes de 1950 y forman la base de la clasificación de grupos abelianos infinitos más generales. Las herramientas técnicas importantes utilizadas en la clasificación de infinitos grupos abelianos son subgrupos puros y básicos . La introducción de varios invariantes de grupos abelianos sin torsión ha sido una vía de progreso adicional. Consulte los libros de Irving Kaplansky , László Fuchs , Phillip Griffith y David Arnold , así como las actas de las conferencias sobre la teoría de grupos abelianos publicados en Lecture Notes in Mathematics para obtener hallazgos más recientes.

Grupos aditivos de anillos

El grupo aditivo de un anillo es un grupo abeliano, pero no todos los grupos abelianos son grupos aditivos de anillos (con multiplicación no trivial). Algunos temas importantes en esta área de estudio son:

  • Producto tensor
  • Resultados de ALS Corner en grupos contables sin torsión
  • El trabajo de Shelah para eliminar las restricciones de cardinalidad
  • Anillo quemado

Relación con otros temas matemáticos

Muchos grandes grupos abelianos poseen una topología natural que los convierte en grupos topológicos .

La colección de todos los grupos abelianos, junto con los homomorfismos entre ellos, forma la categoría , el prototipo de una categoría abeliana .

Wanda Szmielew  ( 1955 ) demostró que la teoría de primer orden de los grupos abelianos, a diferencia de su contraparte no abeliana, es decidible. La mayoría de las estructuras algebraicas distintas de las álgebras de Boole son indecidibles .

Todavía hay muchas áreas de investigación actual:

  • Entre los grupos abelianos sin torsión de rango finito, sólo se comprenden bien el caso generado finitamente y el caso de rango 1 ;
  • Hay muchos problemas sin resolver en la teoría de los grupos abelianos sin torsión de rango infinito;
  • Si bien los grupos abelianos de torsión contables se entienden bien a través de presentaciones simples e invariantes de Ulm, el caso de los grupos mixtos contables es mucho menos maduro.
  • Se sabe que muchas extensiones leves de la teoría de primer orden de los grupos abelianos son indecidibles.
  • Los grupos abelianos finitos siguen siendo un tema de investigación en la teoría de grupos computacional .

Además, los grupos abelianos de orden infinito conducen, sorprendentemente, a preguntas profundas sobre la teoría de conjuntos que comúnmente se supone que subyace a todas las matemáticas. Tomemos el problema de Whitehead : ¿son todos los grupos de Whitehead de orden infinito también grupos abelianos libres ? En la década de 1970, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es:

Una nota sobre la tipografía.

Entre matemáticos adjetivos derivados del nombre propio de un matemático , la palabra "abeliano" es rara en los que a menudo se escribe con minúscula una , en lugar de una mayúscula A , la falta de capitalización de ser un reconocimiento tácito no sólo del grado en que el nombre de Abel ha sido institucionalizado, pero también de cuán omnipresentes son los conceptos introducidos por él en las matemáticas modernas.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos