Número racional - Rational number

Los números racionales ( ) se incluyen en los números reales ( ), mientras que ellos mismos incluyen los números enteros ( ), que a su vez incluyen los números naturales ( )

{\ Displaystyle \ mathbb {Q}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle \ mathbb {N}}

En matemáticas , un número racional es un número que se puede expresar como cociente o fracción. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} pag/q$ de dos números enteros , un numerador $py$ un denominador $q$ distinto de cero . Por ejemplo, $-3 / 7$ es un número racional, como lo es todo entero (por ejemplo, $5 = 5 / 1$ ). El conjunto de todos los números racionales, también conocido como " los racionales ", el campo de los racionales o el campo de los números racionales generalmente se denota con una $Q en$ negrita (o negrita en negrita , Unicode U + 1D410 𝐐 MAYÚSCULAS MATEMÁTICAS EN NEGRITA Q o U + 211A ℚ CAPITAL DOBLE Q ); así fue denotado en 1895 por Giuseppe Peano después de quoziente , italiano para " cociente ", y apareció por primera vez en Algèbre de Bourbaki . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

La expansión decimal de un número racional termina después de un número finito de dígitos (ejemplo: $3 / 4 = 0,75$ ), o finalmente comienza a repetir la misma secuencia finita de dígitos una y otra vez (ejemplo: $9 / 44 = 0,20454545 ...$ ). Por el contrario, cualquier decimal periódico o final representa un número racional. Estas afirmaciones son verdaderas en base 10 y en todas las demás bases enteras (por ejemplo, binario o hexadecimal ).

Un número real que no es racional se llama irracional . Los números irracionales incluyen $\sqrt 2$ , $π$ , $e$ y $φ$ . La expansión decimal de un número irracional continúa sin repetirse. Dado que el conjunto de números racionales es contable y el conjunto de números reales es incontable , casi todos los números reales son irracionales.

Los números racionales se pueden definir formalmente como clases de equivalencia de pares de enteros $(p, q)$ con $q \neq 0$ , utilizando la relación de equivalencia definida como sigue:

{\ Displaystyle \ left (p_ {1}, q_ {1} \ right) \ sim \ left (p_ {2}, q_ {2} \ right) \ iff p_ {1} q_ {2} = p_ {2} q_ {1}.}

La fracción $pag / q$ luego denota la clase de equivalencia de $(p, q)$ .

Los números racionales junto con la suma y la multiplicación forman un campo que contiene los números enteros y está contenido en cualquier campo que contenga los números enteros. En otras palabras, el campo de números racionales es un campo primo , y un campo tiene la característica cero si y solo si contiene los números racionales como subcampo. Las extensiones finitas de $Q$ se denominan campos numéricos algebraicos , y el cierre algebraico de $Q$ es el campo de los números algebraicos .

En el análisis matemático , los números racionales forman un subconjunto denso de los números reales. Los números reales se pueden construir a partir de los números racionales completándolos , usando secuencias de Cauchy , cortes de Dedekind o decimales infinitos (para más información, consulte Construcción de los números reales ).

Terminología

El término racional en referencia al conjunto $Q se$ refiere al hecho de que un número racional representa una razón de dos enteros. En matemáticas, "racional" se usa a menudo como un sustantivo que abrevia "número racional". El adjetivo racional a veces significa que los coeficientes son números racionales. Por ejemplo, un punto racional es un punto con coordenadas racionales (es decir, un punto cuyas coordenadas son números racionales); una matriz racional es una matriz de números racionales; un polinomio racional puede ser un polinomio con coeficientes racionales, aunque generalmente se prefiere el término "polinomio sobre los racionales", para evitar la confusión entre " expresión racional " y " función racional " (un polinomio es una expresión racional y define una función racional, incluso si sus coeficientes no son números racionales). Sin embargo, una curva racional no es una curva definida sobre las racionales, sino una curva que puede parametrizarse mediante funciones racionales.

Etimología

Aunque hoy en día los números racionales se definen en términos de razones , el término racional no es una derivación de razón . Por el contrario, es razón que se deriva de racional : el primer uso de razón con su significado moderno se atestiguó en inglés alrededor de 1660, mientras que el uso de racional para calificar números apareció casi un siglo antes, en 1570. Este significado de racional proviene del significado matemático de irracional , que se utilizó por primera vez en 1551, y se utilizó en "traducciones de Euclides (siguiendo su peculiar uso de ἄλογος )".

Esta historia inusual se originó en el hecho de que los antiguos griegos "evitaron la herejía al prohibirse pensar en esas longitudes [irracionales] como números". Así que tales longitudes eran irracionales , en el sentido de ilógicas , es decir, "no se puede hablar de ellas" ( ἄλογος en griego).

Esta etimología es similar a la de los números imaginarios y los números reales .

Aritmética

Fracción irreducible

Todo número racional puede expresarse de forma única como una fracción irreducible. $a / B$ , donde $a$ y $b$ son enteros coprimos y $b > 0$ . Esto a menudo se llama la forma canónica del número racional.

Partiendo de un número racional $a / B$ , Su forma canónica puede obtenerse dividiendo $una$ y $b$ por su máximo común divisor , y, si $b <0$ , cambiando el signo del numerador resultante y el denominador.

Incrustación de enteros

Cualquier entero $n$ se puede expresar como el número racional $norte / 1$ , que es su forma canónica como número racional.

Igualdad

{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

si y solo si

{\ Displaystyle ad = bc}

Si ambas fracciones están en forma canónica, entonces:

{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

si y solo si y

{\ Displaystyle a = c}

{\ Displaystyle b = d}

Ordenando

Si ambos denominadores son positivos (particularmente si ambas fracciones están en forma canónica):

{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}}

si y solo si

{\ anuncio de Displaystyle <bc.}

Por otro lado, si cualquiera de los denominadores es negativo, entonces cada fracción con un denominador negativo debe convertirse primero en una forma equivalente con un denominador positivo, cambiando los signos tanto de su numerador como de su denominador.

Adición

Se suman dos fracciones de la siguiente manera:

{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}

Si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado es en forma canónica si y sólo si $b$ y $d$ son coprimos números enteros .

Sustracción

{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} - {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad-bc} {bd}}.}

Si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado es en forma canónica si y sólo si $b$ y $d$ son coprimos números enteros .

Multiplicación

La regla para la multiplicación es:

{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}

donde el resultado puede ser una fracción reducible, incluso si ambas fracciones originales están en forma canónica.

Inverso

Cada número racional $a / B$ tiene un aditivo inverso , a menudo llamado su opuesto ,

{\ Displaystyle - \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = {\ frac {-a} {b}}.}

Si $a / B$ está en forma canónica, lo mismo es cierto para su opuesto.

Un número racional distinto de cero $a / B$ tiene un inverso multiplicativo , también llamado recíproco ,

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {b} {a}}.}

Si $a / B$ está en forma canónica, entonces la forma canónica de su recíproco es $B / a$ o $- b / - un$ , dependiendo del signo de $a$ .

División

Si $b$ , $c$ , y $d$ son distintos de cero, la regla de la división es

{\ Displaystyle {\ frac {\ frac {a} {b}} {\ frac {c} {d}}} = {\ frac {ad} {bc}}.}

Por lo tanto, dividiendo $a / B$ por $C / D$ es equivalente a multiplicar $a / B$ por el recíproco de $C / D$ :

{\ Displaystyle {\ frac {ad} {bc}} = {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {d} {c}}.}

Exponenciación a potencia entera

Si $n$ es un número entero no negativo, entonces

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {n} = {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {n}}}.}

El resultado está en forma canónica si lo mismo es cierto para $a / B$ . En particular,

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {0} = 1.}

Si $a \neq 0$ , entonces

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- n} = {\ frac {b ^ {n}} {a ^ {n}}}.}

Si $a / B$ está en forma canónica, la forma canónica del resultado es $b n / un n$ si $a > 0$ o $n$ es par. De lo contrario, la forma canónica del resultado es $- b n / - una n$ .

Representación continua de fracciones

Una fracción continua finita es una expresión como

{\ displaystyle a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {\ ddots + {\ cfrac {1} {a_ " {norte}}}}}}}}},}

donde $a n$ son números enteros. Cada número racional $a / B$ puede ser representado como una fracción continua finita, cuyo coeficientes de $un n$ se puede determinar mediante la aplicación del algoritmo de Euclides a $(un, b)$ .

Otras representaciones

fracción común : $8 / 3$
numeral mixto : $2 + 2 / 3$
decimal periódico usando un vinculum : $2. 6$
decimal periódico usando paréntesis : $2. (6)$
fracción continua con tipografía tradicional: $2 + 1 / 1 + 1 / 2$
fracción continua en notación abreviada: $[2; 1, 2]$
Fracción egipcia : $2 + 1 / 2 + 1 / 6$
descomposición de la potencia primaria : $23 \times 3 -1$
notación de comillas : $3'6$

son diferentes formas de representar el mismo valor racional.

Construcción formal

Un diagrama que muestra una representación de las clases equivalentes de pares de números enteros.

Los números racionales pueden construirse como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros .

Más precisamente, sea $( Z × ( Z \ {0}))$ el conjunto de los pares $(m, n)$ de enteros como $n \neq 0$ . Una relación de equivalencia se define en este conjunto por

{\ Displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) \ sim \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ iff m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}

La suma y la multiplicación se pueden definir mediante las siguientes reglas:

{\ Displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) + \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ equiv \ left (m_ {1} n_ {2} + n_ { 1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ right),}

{\ Displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) \ times \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ equiv \ left (m_ {1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ right).}

Esta relación de equivalencia es una relación de congruencia , lo que significa que es compatible con la suma y multiplicación definidas anteriormente; el conjunto de números racionales $Q$ se define como el cociente establecido por esta relación de equivalencia, $( Z × ( Z \ {0})) / ~$ , equipado con la suma y la multiplicación inducidas por las operaciones anteriores. (Esta construcción se puede realizar con cualquier dominio integral y produce su campo de fracciones ).

La clase de equivalencia de un par $(m, n)$ se denota $metro / norte$ . Dos pares $(m 1, n 1)$ y $(m 2, n 2)$ pertenecen a la misma clase de equivalencia (es decir, son equivalentes) si y solo si $m 1 n 2 = m 2 n 1$ . Esto significa que $m 1 / n 1 = m 2 / n 2$ si y solo $m 1 n 2 = m 2 n 1$ .

Cada clase de equivalencia $metro / norte$ puede estar representado por un número infinito de pares, ya que

{\ Displaystyle \ cdots = {\ frac {-2m} {- 2n}} = {\ frac {-m} {- n}} = {\ frac {m} {n}} = {\ frac {2m} { 2n}} = \ cdots.}

Cada clase de equivalencia contiene un elemento representativo canónico único . El representante canónico es el único par $(m, n)$ en la clase de equivalencia de tal manera que $m$ y $n$ son primos entre sí , y $n > 0$ . Se llama representación en términos mínimos del número racional.

Los números enteros pueden considerarse números racionales que identifican el número entero $n$ con el número racional. $norte / 1$ .

Se puede definir un orden total sobre los números racionales, que amplía el orden natural de los números enteros. Uno tiene

{\ Displaystyle {\ frac {m_ {1}} {n_ {1}}} \ leq {\ frac {m_ {2}} {n_ {2}}}}

si

{\ Displaystyle (n_ {1} n_ {2}> 0 \ quad {\ text {y}} \ quad m_ {1} n_ {2} \ leq n_ {1} m_ {2}) \ qquad {\ text { o}} \ qquad (n_ {1} n_ {2} <0 \ quad {\ text {y}} \ quad m_ {1} n_ {2} \ geq n_ {1} m_ {2}).}

Propiedades

Ilustración de la contabilidad de los racionales positivos

El conjunto $Q$ de todos los números racionales, junto con las operaciones de suma y multiplicación que se muestran arriba, forma un campo .

$Q$ no tieneotro automorfismo de campo que el de la identidad.

Con el fin definido anteriormente, $Q$ es un campo ordenado que no tiene subcampo distinto de sí mismo, y es el campo ordenado más pequeño, en el sentido de que cada cuerpo ordenado contiene un subcampo única isomorfo a $Q$ .

$Q$ es un campo principal , que es un campo que no tiene más subcampo que él mismo. Los racionales son el campo más pequeño con característica cero. Cada cuerpo de característica cero contiene un subcampo única isomorfo a $Q$ .

$Q$ es el campo de las fracciones de la enteros $Z$ . El cierre algebraico de $Q$ , es decir, el campo de raíces de polinomios racionales, es el campo de números algebraicos .

El conjunto de todos los números racionales es contable (ver la figura), mientras que el conjunto de todos los números reales (así como el conjunto de números irracionales) es incontable. Al ser contable, el conjunto de números racionales es un conjunto nulo , es decir, casi todos los números reales son irracionales, en el sentido de la medida de Lebesgue .

Los racionales son un conjunto densamente ordenado : entre dos racionales cualesquiera, hay otro y, por lo tanto, infinitos otros. Por ejemplo, para dos fracciones cualesquiera tales que

{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}}

(donde son positivos), tenemos ${\ Displaystyle b, d}$

{\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {a + c} {b + d}} <{\ frac {c} {d}}.}

Cualquier conjunto totalmente ordenado que sea contable, denso (en el sentido anterior) y que no tenga el menor o el mayor elemento es un orden isomorfo a los números racionales.

Números reales y propiedades topológicas

Los racionales son un subconjunto denso de los números reales: cada número real tiene números racionales arbitrariamente cercanos a él. Una propiedad relacionada es que los números racionales son los únicos números con expansiones finitas como fracciones continuas regulares .

En virtud de su orden, los racionales llevan una topología de orden . Los números racionales, como subespacio de los números reales, también llevan una topología subespacial . Los números racionales forman un espacio métrico usando la métrica de diferencia absoluta $d (x, y) = | x - y |$ Y esto produce una tercera topología de $Q$ . Las tres topologías coinciden y convierten a los racionales en un campo topológico . Los números racionales son un ejemplo importante de un espacio que no es localmente compacto . Los racionales se caracterizan topológicamente como el único espacio metrizable contable sin puntos aislados . El espacio también está totalmente desconectado . Los números racionales no forman un espacio métrico completo ; los números reales son la finalización de $Q$ bajo la métrica $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = |$ $x$ $-$ $y$ $|$ encima.

$p$ -números ádicos

Además de la métrica de valor absoluto mencionada anteriormente, existen otras métricas que convierten $Q$ en un campo topológico:

Sea $p$ un número primo y para cualquier entero distinto de cero $a$ , sea $| a | p = p - n$ , donde $p n$ es la potencia más alta de $p$ dividiendo $a$ .

Además, establece $| 0 | p = 0$ . Para cualquier número racional $a / B$ , establecemos $| a / B | p = | a | pag / | b | pag$ .

Entonces $d p (x, y) = | x - y | p$ define una métrica de $Q$ .

El espacio métrico $(Q, d p)$ no está completo, y su finalización es el campo de número $p$ -ádico $Q p$ . El teorema de Ostrowski establece que cualquier valor absoluto no trivial en los números racionales $Q$ es equivalente al valor absoluto real habitual o un valor absoluto $p$ -ádico .

Ver también

Referencias

enlaces externos

"Número racional" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Número racional" de MathWorld: un recurso web de Wolfram

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