Subring - Subring

Estructura algebraica → Teoría del anillo Teoría del anillo
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En matemáticas , un subanillo de R es un subconjunto de un anillo que es en sí mismo un anillo cuando operaciones binarias de adición y multiplicación en R se restringen al subconjunto, y que comparte la misma identidad multiplicativa como R . Para aquellos que definen anillos sin requerir la existencia de una identidad multiplicativa, un subanillo de R es solo un subconjunto de R que es un anillo para las operaciones de R (esto implica que contiene la identidad aditiva de R ). Este último da una condición estrictamente más débil, incluso para anillos que tienen una identidad multiplicativa, de modo que, por ejemplo, todos los ideales se convierten en subanillos (y pueden tener una identidad multiplicativa que difiere de la de R ). Con la definición que requiere una identidad multiplicativa (que se utiliza en este artículo), el único ideal de R que es un subanillo de R es el propio R.

Definición

Un subanillo de un anillo de ( R , +, *, 0, 1) es un subconjunto S de R que conserva la estructura del anillo, es decir, un anillo ( S , +, *, 0, 1) con S ⊆ R . De manera equivalente, es tanto un subgrupo de ( R , +, 0) como un submonoide de ( R , ∗, 1) .

Ejemplos de

El anillo y sus cocientes no tienen subanillos (con identidad multiplicativa) aparte del anillo completo. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

Cada anillo tiene un subanillo único más pequeño, isomorfo a algún anillo con n un número entero no negativo (ver característica ). Los enteros corresponden an = 0 en esta declaración, ya que es isomorfo a . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 0 \ mathbb {Z}}$

Prueba de subring

La prueba subanillo es un teorema que los estados que para cualquier anillo R , un subconjunto S de R es un subanillo si y sólo si se cierra bajo la multiplicación y la resta, y contiene la identidad multiplicativa de R .

Como ejemplo, el anillo Z de números enteros es un subanillo del campo de números reales y también un subanillo del anillo de polinomios Z [ X ].

Extensiones de anillo

Si S es un subanillo de un anillo R , entonces, de manera equivalente, se dice que R es una extensión de anillo de S , escrito como R / S en notación similar a la de las extensiones de campo .

Subring generado por un conjunto

Sea R un anillo. Cualquier intersección de subanillos de R es de nuevo un subanillo de R . Por lo tanto, si X es cualquier subconjunto de R , la intersección de todos los subanillos de R que contiene X es un subanillo S de R . S es el subanillo más pequeño de R que contiene X . ( "Más pequeño" significa que si T es cualquier otra subanillo de R que contiene X , entonces S está contenido en T .) S se dice que es el subanillo de R generada por X . Si S = R, podemos decir que el anillo R se genera por X .

Relación con los ideales

Adecuados ideales son subanillos (sin unidad) que están cerrados tanto bajo multiplicación a la izquierda y derecha por elementos de R .

Si se omite el requisito de que los anillos tengan un elemento de unidad, entonces los subanillos solo necesitan no estar vacíos y, de lo contrario, se ajustan a la estructura del anillo, y los ideales se convierten en subanillos. Los ideales pueden tener o no su propia identidad multiplicativa (distinta de la identidad del anillo):

• El ideal I = {( z , 0) | z en Z } del anillo Z × Z = {( x , y ) | x , y en Z } con suma y multiplicación por componentes tiene la identidad (1,0), que es diferente de la identidad (1,1) del anillo. Así que es un anillo con unidad, y un "subanillo-sin-unidad", pero no un "subanillo-con-unidad" de Z × Z .
• Los ideales propios de Z no tienen identidad multiplicativa.

Si I es un ideal primo de un anillo conmutativo R , entonces la intersección de I con cualquier subanillo S de R permanece privilegiada en S . En este caso se dice que me quede sobre I  ∩  S . La situación es más complicada cuando R no es conmutativa.

Perfil por subanillos conmutativos

Un anillo puede perfilarse por la variedad de subanillos conmutativos que alberga:

• El anillo de cuaternión H contiene solo el plano complejo como un subanillo plano
• El anillo cocuaternión contiene tres tipos de subanillos conmutativos planos: el plano numérico dual , el plano numérico complejo dividido y el plano complejo ordinario.
• El anillo de matrices reales de 3 × 3 también contiene subanillos conmutativos tridimensionales generados por la matriz de identidad y un ε nilpotente de orden 3 (εεε = 0 ≠ εε). Por ejemplo, el grupo de Heisenberg se puede realizar como la unión de los grupos de unidades de dos de estos subanillos de matrices 3 × 3 generados nilpotentemente.

Ver también

• Extensión integral
• Extensión de grupo
• Extensión algebraica
• Extensión de mineral

Referencias

• Iain T. Adamson (1972). Anillos y módulos elementales . Textos Matemáticos Universitarios. Oliver y Boyd. págs. 14-16. ISBN   0-05-002192-3 .
• Página 84 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN   978-0-201-55540-0 , Zbl   0848.13001
• David Sharpe (1987). Anillos y factorización . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs.  15-17 . ISBN   0-521-33718-6 .