Semigroup - Semigroup

En matemáticas, un semigrupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación binaria asociativa .

La operación binaria de un semigrupo a menudo se denota multiplicativamente : x · y , o simplemente xy , denota el resultado de aplicar la operación de semigrupo al par ordenado ( x , y ) . La asociatividad se expresa formalmente como que ( x · y ) · z = x · ( y · z ) para todo x , y y z en el semigrupo.

Los semigrupos pueden considerarse un caso especial de magmas , donde la operación es asociativa, o como una generalización de grupos , sin requerir la existencia de un elemento de identidad o inversas. Como en el caso de los grupos o magmas, la operación de semigrupo no necesita ser conmutativa , por lo que x · y no es necesariamente igual a y · x ; un ejemplo bien conocido de una operación que es asociativa pero no conmutativa es la multiplicación de matrices . Si la operación de semigrupo es conmutativa, entonces el semigrupo se denomina semigrupo conmutativo o (con menos frecuencia que en el caso análogo de grupos ) se puede llamar semigrupo abeliano .

Un monoide es una estructura algebraica intermedia entre grupos y semigrupos, y es un semigrupo que tiene un elemento de identidad , obedeciendo así a todos menos uno de los axiomas de un grupo: la existencia de inversos no se requiere de un monoide. Un ejemplo natural son las cadenas con concatenación como operación binaria y la cadena vacía como elemento de identidad. Restringir a cadenas no vacías da un ejemplo de un semigrupo que no es un monoide. Los enteros positivos con suma forman un semigrupo conmutativo que no es un monoide, mientras que los enteros no negativos forman un monoide. Un semigrupo sin un elemento de identidad se puede convertir fácilmente en un monoide con solo agregar un elemento de identidad. En consecuencia, los monoides se estudian en la teoría de semigrupos más que en la teoría de grupos. Los semigrupos no deben confundirse con los cuasigrupos , que son una generalización de grupos en una dirección diferente; la operación en un cuasigrupo no necesita ser asociativa, pero los cuasigrupos preservan de los grupos una noción de división . La división en semigrupos (o en monoides) no es posible en general.

El estudio formal de los semigrupos comenzó a principios del siglo XX. Los primeros resultados incluyen un teorema de Cayley para semigrupos que realizan cualquier semigrupo como semigrupo de transformación , en el que las funciones arbitrarias reemplazan el papel de las biyecciones de la teoría de grupos. Un resultado profundo en la clasificación de semigrupos finitos es la teoría de Krohn-Rhodes , análoga a la descomposición de Jordan-Hölder para grupos finitos. Algunas otras técnicas para estudiar semigrupos, como las relaciones de Green , no se parecen a nada en la teoría de grupos.

La teoría de los semigrupos finitos ha sido de particular importancia en la informática teórica desde la década de 1950 debido al vínculo natural entre los semigrupos finitos y los autómatas finitos a través del monoide sintáctico . En la teoría de la probabilidad , los semigrupos están asociados con los procesos de Markov . En otras áreas de las matemáticas aplicadas , los semigrupos son modelos fundamentales para sistemas lineales invariantes en el tiempo . En las ecuaciones diferenciales parciales , un semigrupo está asociado a cualquier ecuación cuya evolución espacial sea independiente del tiempo.

Existen numerosas clases especiales de semigrupos , semigrupos con propiedades adicionales, que aparecen en aplicaciones particulares. Algunas de estas clases están aún más cerca de los grupos al exhibir algunas propiedades adicionales, pero no todas, de un grupo. De estos mencionamos: semigrupos regulares , semigrupos ortodoxos , semigrupos con involución , semigrupos inversos y semigrupos cancelativos . También hay clases interesantes de semigrupos que no contienen ningún grupo excepto el grupo trivial ; ejemplos de este último tipo son las bandas y su subclase conmutativa , semirretices , que también son estructuras algebraicas ordenadas .

Estructuras algebraicas
Tipo grupo Grupo Semigrupo  / Monoid Rack y quandle Cuasigrupo y bucle Grupo abeliano Magma Grupo de mentiras Teoría de grupos
Como un anillo Anillo Rng Semiring Anillo cercano Anillo conmutativo Dominio integral Campo Anillo de división Teoría del anillo
celosía -como Enrejado Semirredura Celosía complementada Orden total Heyting álgebra álgebra de Boole Mapa de celosías Teoría de la celosía
Como un módulo Módulo Grupo con operadores Espacio vectorial Álgebra lineal
Algebra- like Álgebra De asociación No asociativo Álgebra de composición Álgebra de mentiras Calificado Bialgebra
v t mi

Definición

Un semigrupo es un conjunto junto con una operación binaria " " (es decir, una función ) que satisface la propiedad asociativa : ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ cdot}$ ${\ Displaystyle \ cdot: S \ times S \ rightarrow S}$

Para todos , la ecuación se mantiene.${\ Displaystyle a, b, c \ en S}$${\ Displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}$

Más sucintamente, un semigrupo es un magma asociativo .

Ejemplos de semigrupos

• Semigrupo vacío : el conjunto vacío forma un semigrupo con la función vacía como operación binaria.
• Semigroup con un elemento : hay esencialmente solo uno (específicamente, solo uno hasta el isomorfismo ), el singleton { a } con operación a · a = a .
• Semigrupo con dos elementos : hay cinco que son esencialmente diferentes.
• El monoide "flip-flop": un semigrupo con tres elementos que representan las tres operaciones en un interruptor: configurar, restablecer y no hacer nada.
• El conjunto de números enteros positivos con suma. (Con 0 incluido, esto se convierte en un monoide ).
• El conjunto de números enteros con mínimo o máximo. (Con infinito positivo / negativo incluido, esto se convierte en un monoide).
• Matrices cuadradas no negativas de un tamaño dado con multiplicación de matrices.
• Cualquier ideal de un anillo con la multiplicación del anillo.
• El conjunto de todas las cadenas finitas sobre un alfabeto fijo Σ con la concatenación de cadenas como operación de semigrupo - el llamado " semigrupo libre sobre Σ". Con la cadena vacía incluida, este semigrupo se convierte en el monoide libre sobre Σ.
• Una distribución de probabilidad F junto con todas las potencias de convolución de F, con la convolución como operación. A esto se le llama semigrupo de convolución.
• Transformación de semigrupos y monoides .
• El conjunto de funciones continuas desde un espacio topológico a sí mismo con composición de funciones forma un monoide con la función identidad actuando como identidad. Más generalmente, los endomorfismos de cualquier objeto de una categoría forman una subcomposición monoide.
• El producto de caras de una disposición de hiperplanos .

Conceptos básicos

Identidad y cero

Una identidad izquierda de un semigrupo (o más generalmente, el magma ) es un elemento tal que para todo en , . Del mismo modo, una identidad de derecho es un elemento tal que para todo en , . Las identidades de izquierda y derecha se denominan identidades unilaterales . Un semigrupo puede tener una o más identidades izquierdas pero ninguna identidad derecha, y viceversa. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle e}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle ex = x}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle xf = x}$

Una identidad de dos caras (o simplemente identidad ) es un elemento que es tanto una identidad de izquierda como de derecha. Los semigrupos con una identidad de dos caras se denominan monoides . Un semigrupo puede tener como máximo una identidad de dos caras. Si un semigrupo tiene una identidad de dos lados, entonces la identidad de dos lados es la única identidad de un solo lado en el semigrupo. Si un semigrupo tiene una identidad de izquierda y una identidad de derecha, entonces tiene una identidad de dos caras (que es, por lo tanto, la identidad de una cara única).

Un semigrupo sin identidad puede ser incrustado en un monoid formado por un elemento contiguo a y definir para todos . La notación denota un monoide obtenido al adjuntar una identidad si es necesario ( para un monoide). ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle e \ notin S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle e \ cdot s = s \ cdot e = s}$${\ Displaystyle s \ en S \ cup \ {e \}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {1} = S}$

De manera similar, cada magma tiene como máximo un elemento absorbente , que en la teoría de semigrupos se denomina cero . De manera análoga a la construcción anterior, para cada semigrupo , se puede definir un semigrupo con 0 que incrusta . ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {0}}$${\ Displaystyle S}$

Subsemigrupos e ideales

La operación de semigrupo induce una operación sobre la colección de sus subconjuntos: dados los subconjuntos A y B de un semigrupo S , su producto A · B , escrito comúnmente como AB , es el conjunto { ab | a en A y b en B }. (Esta noción se define de forma idéntica a la de los grupos ). En términos de esta operación, un subconjunto A se denomina

• un subsemigroup si AA es un subconjunto de A ,
• un ideal correcto si AS es un subconjunto de A , y
• un ideal a izquierda si SA es un subconjunto de A .

Si A es tanto un ideal de izquierda como un ideal de derecha, entonces se llama ideal (o ideal de dos caras ).

Si S es un semigrupo, entonces la intersección de cualquier colección de subsemigroups de S es también un subsemigroup de S . Por tanto, los subsemigrupos de S forman una red completa .

Un ejemplo de un semigrupo sin ideal mínimo es el conjunto de enteros positivos bajo la suma. El ideal mínimo de un semigrupo conmutativo , cuando existe, es un grupo.

Las relaciones de Green , un conjunto de cinco relaciones de equivalencia que caracterizan a los elementos en términos de los principales ideales que generan, son herramientas importantes para analizar los ideales de un semigrupo y las nociones de estructura relacionadas.

El subconjunto con la propiedad de que cada elemento conmuta con cualquier otro elemento del semigrupo se denomina centro del semigrupo. El centro de un semigrupo es en realidad un subgrupo.

Homomorfismos y congruencias

Un homomorfismo de semigrupo es una función que conserva la estructura de semigrupo. Una función f : S → T entre dos semigrupos es un homomorfismo si la ecuación

f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

se cumple para todos los elementos a , b en S , es decir, el resultado es el mismo cuando se realiza la operación de semigrupo antes o después de aplicar el mapa f .

Un homomorfismo de semigrupo entre monoides conserva la identidad si es un homomorfismo de monoide . Pero hay homomorfismos de semigrupo que no son homomorfismos de monoide, por ejemplo, la incrustación canónica de un semigrupo sin identidad en . Las condiciones que caracterizan a los homomorfismos de monoides se discuten más a fondo. Sea un homomorfismo de semigrupo. La imagen de también es un semigrupo. Si es un monoide con un elemento de identidad , entonces es el elemento de identidad en la imagen de . Si también es un monoide con un elemento de identidad y pertenece a la imagen de , entonces , es decir, es un homomorfismo de monoide. Particularmente, si es sobreyectiva , entonces es un homomorfismo monoide. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle f: S_ {0} \ to S_ {1}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle S_ {0}}$${\ Displaystyle e_ {0}}$${\ Displaystyle f (e_ {0})}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle S_ {1}}$${\ Displaystyle e_ {1}}$${\ Displaystyle e_ {1}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (e_ {0}) = e_ {1}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

Dos semigroups S y T se dice que son isomorfos si existe una biyectiva semigrupo homomorfismo f  : S → T . Los semigrupos isomorfos tienen la misma estructura.

Una congruencia de semigrupo es una relación de equivalencia que es compatible con la operación de semigrupo. Es decir, un subconjunto que es una relación de equivalencia y e implica para cada en S . Como cualquier relación de equivalencia, una congruencia de semigrupo induce clases de congruencia${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle \ sim \; \ subseteq S \ times S}$${\ Displaystyle x \ sim y \,}$${\ Displaystyle u \ sim v \,}$${\ Displaystyle xu \ sim yv \,}$${\ Displaystyle x, y, u, v}$${\ Displaystyle \ sim}$

${\ Displaystyle [a] _ {\ sim} = \ {x \ in S \ mid x \ sim a \}}$

y la operación de semigrupo induce una operación binaria en las clases de congruencia: ${\ Displaystyle \ circ}$

${\ Displaystyle [u] _ {\ sim} \ circ [v] _ {\ sim} = [uv] _ {\ sim}}$

Como es una congruencia, el conjunto de todas las clases de congruencia de forma un semigrupo con , llamado semigrupo del cociente o semigrupo del factor , y se denota . El mapeo es un homomorfismo de semigrupo, llamado mapa de cociente , sobreyección o proyección canónica ; si S es un monoide, el semigrupo del cociente es un monoide con identidad . Por el contrario, el núcleo de cualquier homomorfismo de semigrupo es una congruencia de semigrupo. Estos resultados no son más que una particularización del primer teorema del isomorfismo en el álgebra universal . Las clases de congruencia y los monoides de factores son objetos de estudio en los sistemas de reescritura de cadenas . ${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle \ circ}$${\ Displaystyle S / \! \! \ sim}$${\ Displaystyle x \ mapsto [x] _ {\ sim}}$${\ Displaystyle [1] _ {\ sim}}$

Una congruencia nuclear en S es uno que es el núcleo de un endomorfismo de S .

Un semigrupo S satisface la condición máxima de congruencias si cualquier familia de congruencias de S , ordenada por inclusión, tiene un elemento máximo. Por el Lema de Zorn , esto es equivalente a decir que la condición de cadena ascendente sostiene: no hay una infinita estrictamente ascendente de la cadena de congruencias en S .

Cada ideales I de un semigrupo induce un semigrupo factor, factor de semigrupo Rees , a través de la ρ congruencia definido por x ρ y si bien x = y , o ambos X y Y son en I .

Cocientes y divisiones

Las siguientes nociones introducen la idea de que un semigrupo está contenido en otro.

Un semigrupo T es un cociente de un semigrupo S si hay un morfismo semigrupo sobreyectiva de S a T . Por ejemplo, es un cociente de , utilizando el morfismo que consiste en tomar el resto módulo 2 de un número entero. ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}, +)}$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}, +)}$

Un semigrupo T divide un semigrupo S , observado si T es un cociente de un subsemigroup S . En particular, subsemigroups de S divide T , mientras que no es necesariamente el caso que hay un cociente de S . ${\ Displaystyle T \ preceq S}$

Ambas relaciones son transitivas.

Estructura de semigrupos

Para cualquier subconjunto A de S hay un pequeño subsemigroup T de S que contiene A , y decimos que A genera T . Un solo elemento x de S genera el subsemigroup { x ⁿ | n ∈ Z ⁺ }. Si es finito, entonces se dice que x es de orden finito , de lo contrario es de orden infinito . Se dice que un semigrupo es periódico si todos sus elementos son de orden finito. Se dice que un semigrupo generado por un solo elemento es monogénico (o cíclico ). Si un semigrupo monogénico es infinito, entonces es isomorfo al semigrupo de enteros positivos con la operación de suma. Si es finito y no vacío, debe contener al menos un idempotente . De ello se deduce que todo semigrupo periódico no vacío tiene al menos un idempotente.

Un subgrupo que también es un grupo se denomina subgrupo . Existe una estrecha relación entre los subgrupos de un semigrupo y sus idempotentes. Cada subgrupo contiene exactamente un idempotente, a saber, el elemento de identidad del subgrupo. Para cada e idempotente del semigrupo hay un subgrupo máximo único que contiene e . Cada subgrupo máximo surge de esta manera, por lo que hay una correspondencia uno a uno entre los idempotentes y los subgrupos máximos. Aquí el término subgrupo máximo difiere de su uso estándar en la teoría de grupos.

A menudo se puede decir más cuando el orden es finito. Por ejemplo, todo semigrupo finito no vacío es periódico y tiene un ideal mínimo y al menos uno idempotente. El número de semigrupos finitos de un tamaño dado (mayor que 1) es (obviamente) mayor que el número de grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, de las dieciséis "tablas de multiplicar" posibles para un conjunto de dos elementos {a, b}, ocho forman semigrupos, mientras que sólo cuatro de ellos son monoides y sólo dos forman grupos. Para obtener más información sobre la estructura de semigrupos finitos, consulte la teoría de Krohn-Rhodes .

Clases especiales de semigrupos

• Un monoide es un semigrupo con un elemento de identidad .
• Un grupo es un semigrupo con un elemento de identidad y un elemento inverso .
• Un subsemigroup es un subconjunto de un semigrupo que está cerrado bajo la operación de semigrupo.
• Un semigrupo cancelador es uno que tiene la propiedad de cancelación : a · b = a · c implica b = cy de manera similar para b · a = c · a .
• Una banda es un semigrupo cuyo funcionamiento es idempotente .
• Un semirretículo es un semigrupo cuyo funcionamiento es idempotente y conmutativo .
• 0- semigrupos simples .
• Semigrupos de transformación : cualquier semigrupo finito S puede representarse mediante transformaciones de un conjunto (estado) Q de como máximo | S | + 1 estados. Cada elemento x de S continuación, asigna Q en sí mismo x : Q → Q y la secuencia xy se define por q ( xy ) = ( qx ) y para cada q en Q . La secuenciación es claramente una operación asociativa, aquí equivalente a la composición de funciones . Esta representación es básica para cualquier autómata o máquina de estados finitos (FSM).
• El semigrupo bicíclico es de hecho un monoid, que puede ser descrito como el semigrupo libre en dos generadores de p y q , bajo la relación pq = 1 .
• C ₀ -semigrupos .
• Semigrupos regulares . Todo elemento x tiene al menos una y inversa que satisface xyx = x y yxy = y ; los elementos de x y y a veces se denominan "mutuamente inversa".
• Los semigrupos inversos son semigrupos regulares donde cada elemento tiene exactamente un inverso. Alternativamente, un semigrupo regular es inverso si y solo si dos idempotentes se desplazan al trabajo.
• Semigrupo afín: un semigrupo que es isomorfo a un subsemigrupo generado finitamente de Z ^d . Estos semigrupos tienen aplicaciones al álgebra conmutativa .

Teorema de estructura para semigrupos conmutativos

Existe un teorema de estructura para semigrupos conmutativos en términos de semirretices . Una semirrejilla (o más precisamente una reunión-semirrejilla) es un conjunto parcialmente ordenado donde cada par de elementos tiene un límite inferior más grande , denotado . La operación se convierte en un semigrupo que satisface la ley de idempotencia adicional . ${\ Displaystyle (L, \ leq)}$${\ Displaystyle a, b \ in L}$${\ Displaystyle a \ wedge b}$${\ Displaystyle \ wedge}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle a \ wedge a = a}$

Dado un homomorfismo de un semigrupo arbitrario a un semirretículo, cada imagen inversa es un semigrupo (posiblemente vacío). Además, se clasifica por , en el sentido de que ${\ Displaystyle f: S \ a L}$${\ Displaystyle S_ {a} = f ^ {- 1} \ {a \}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle S_ {a} S_ {b} \ subseteq S_ {a \ wedge b}.}$

Si está sobre, la semirrejilla es isomorfa al cociente de por la relación de equivalencia tal que si y solo si . Esta relación de equivalencia es una congruencia de semigrupo, como se definió anteriormente. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle x \ sim y}$${\ Displaystyle f (x) = f (y)}$

Siempre que tomamos el cociente de un semigrupo conmutativo por una congruencia, obtenemos otro semigrupo conmutativo. El teorema de la estructura dice que para cualquier semigrupo conmutativo , existe una congruencia mínima tal que el cociente de por esta relación de equivalencia es una semirrejilla. Denotando este semirretículo por , obtenemos un homomorfismo de sobre . Como se mencionó, se clasifica por esta semirrejilla. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle S}$

Además, los componentes son todos semigrupos de Arquímedes . Un semigrupo de Arquímedes es aquel en el que, dado cualquier par de elementos , existe un elemento y tal que . ${\ Displaystyle S_ {a}}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle n> 0}$${\ Displaystyle x ^ {n} = yz}$

La propiedad de Arquímedes se sigue inmediatamente del ordenamiento en la semirrejilla , ya que con este ordenamiento tenemos si y solo si para algunos y . ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle f (x) \ leq f (y)}$${\ Displaystyle x ^ {n} = yz}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle n> 0}$

Grupo de fracciones

El grupo de fracciones o compleción de grupo de un semigrupo S es el grupo G = G ( S ) generado por los elementos de S como generadores y todas las ecuaciones xy = z que son verdaderas en S como relaciones . Hay un homomorfismo de semigrupo obvio j  : S → G ( S ) que envía cada elemento de S al generador correspondiente. Esto tiene una propiedad universal para los morfismos de S a un grupo: dado cualquier grupo H y cualquier homomorfismo de semigrupo k  : S → H , existe un homomorfismo de grupo único f  : G → H con k = fj . Podemos pensar en G como el grupo "más general" que contiene una imagen de homomorphic S .

Una cuestión importante es caracterizar aquellos semigrupos para los que este mapa es una incrustación. Este no tiene por qué ser siempre el caso: por ejemplo, tome S como el semigrupo de subconjuntos de algún conjunto X con la intersección de la teoría de conjuntos como la operación binaria (este es un ejemplo de una semirrejilla). Desde A . A = A vale para todos los elementos de S , esto debe ser cierto también para todos los generadores de G ( S ): que es por lo tanto el grupo trivial . Es claramente necesario para la capacidad de integración que S tenga la propiedad de cancelación . Cuando S es conmutativa, esta condición también es suficiente y el grupo de Grothendieck del semigrupo proporciona una construcción del grupo de fracciones. El problema de los semigrupos no conmutativos se remonta al primer artículo sustancial sobre semigrupos. Anatoly Maltsev dio las condiciones necesarias y suficientes para la integración en 1937.

Métodos de semigrupo en ecuaciones diferenciales parciales

La teoría de los semigrupos se puede utilizar para estudiar algunos problemas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales . En términos generales, el enfoque de semigrupo consiste en considerar una ecuación diferencial parcial dependiente del tiempo como una ecuación diferencial ordinaria en un espacio funcional. Por ejemplo, considere el siguiente problema de valor inicial / límite para la ecuación de calor en el intervalo espacial (0, 1) ⊂ R y tiempos t ≥ 0 :

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ partial _ {t} u (t, x) = \ partial _ {x} ^ {2} u (t, x), & x \ in (0,1), t> 0; \\ u (t, x) = 0, & x \ in \ {0,1 \}, t> 0; \\ u (t, x) = u_ {0} (x), & x \ in (0 , 1), t = 0. \ End {cases}}}$

Sea X = L ² ((0, 1) R ) el espacio L ^p de funciones de valor real integrables al cuadrado con dominio del intervalo (0, 1) y sea A el operador de segunda derivada con dominio

${\ Displaystyle D (A) = {\ big \ {} u \ in H ^ {2} ((0,1); \ mathbf {R}) {\ big |} u (0) = u (1) = 0 {\ big \}},}$

donde H ² es un espacio de Sobolev . Entonces, el problema de valor inicial / límite anterior se puede interpretar como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria en el espacio X :

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {u}} (t) = Au (t); \\ u (0) = u_ {0}. \ end {cases}}}$

En un nivel heurístico, la solución a este problema "debería" ser u ( t ) = exp ( tA ) u ₀ . Sin embargo, para un tratamiento riguroso, se debe dar un significado a la exponencial de tA . En función de t , exp ( tA ) es un semigrupo de operadores desde X hacia sí mismo, llevando el estado inicial u ₀ en el tiempo t = 0 al estado u ( t ) = exp ( tA ) u ₀ en el tiempo t . Se dice que el operador A es el generador infinitesimal del semigrupo.

Historia

El estudio de los semigrupos se quedó atrás del de otras estructuras algebraicas con axiomas más complejos, como grupos o anillos . Varias fuentes atribuyen el primer uso del término (en francés) a J.-A. de Séguier en Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elementos de la teoría de grupos abstractos) en 1904. El término se usa en inglés en 1908 en la Teoría de grupos de orden finito de Harold Hinton .

Anton Sushkevich obtuvo los primeros resultados no triviales sobre semigrupos. Su artículo de 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Sobre grupos finitos sin la regla de invertibilidad única") determinó la estructura de semigrupos simples finitos y mostró que el ideal mínimo (o las relaciones de clase J de Green ) de un semigrupo finito es simple. A partir de ese momento, David Rees , James Alexander Green , Evgenii Sergeevich Lyapin , Alfred H. Clifford y Gordon Preston sentaron las bases de la teoría de los semigrupos . Los dos últimos publicaron una monografía en dos volúmenes sobre teoría de semigrupos en 1961 y 1967 respectivamente. En 1970, una nueva publicación periódica llamada Semigroup Forum (actualmente editada por Springer Verlag ) se convirtió en una de las pocas revistas matemáticas dedicadas por completo a la teoría de semigrupos.

La teoría de representación de semigrupos fue desarrollada en 1963 por Boris Schein usando relaciones binarias en un conjunto A y composición de relaciones para el producto de semigrupo. En una conferencia algebraica en 1972 Schein examinó la literatura sobre B _A , el semigrupo de relaciones en una . En 1997, Schein y Ralph McKenzie demostraron que cada semigrupo es isomorfo a un semigrupo transitivo de relaciones binarias.

En los últimos años, los investigadores en el campo se han vuelto más especializados con monografías dedicadas que aparecen en clases importantes de semigrupos, como semigrupos inversos , así como monografías centradas en aplicaciones en la teoría de autómatas algebraicos , particularmente para autómatas finitos, y también en análisis funcional .

Generalizaciones

Estructuras de tipo grupal
	Totalidad	Asociatividad	Identidad	Invertibilidad	Conmutatividad
Semigropoide	Innecesario	Requerido	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Categoría pequeña	Innecesario	Requerido	Requerido	Innecesario	Innecesario
Groupoid	Innecesario	Requerido	Requerido	Requerido	Innecesario
Magma	Requerido	Innecesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Cuasigrupo	Requerido	Innecesario	Innecesario	Requerido	Innecesario
Magma unital	Requerido	Innecesario	Requerido	Innecesario	Innecesario
Círculo	Requerido	Innecesario	Requerido	Requerido	Innecesario
Semigroup	Requerido	Requerido	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Semigroup inverso	Requerido	Requerido	Innecesario	Requerido	Innecesario
Monoide	Requerido	Requerido	Requerido	Innecesario	Innecesario
Monoide conmutativo	Requerido	Requerido	Requerido	Innecesario	Requerido
Grupo	Requerido	Requerido	Requerido	Requerido	Innecesario
Grupo abeliano	Requerido	Requerido	Requerido	Requerido	Requerido
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente.

Si se cae el axioma de asociatividad de un semigrupo, el resultado es un magma , que no es nada más que un conjunto M equipado con una operación binaria que está cerrado M × M → M .

Generalizando en una dirección diferente, un semigrupo n -ary (también n -semigroup , polyadic semigroup o multiary semigroup ) es una generalización de un semigrupo a un conjunto G con una operación n -ary en lugar de una operación binaria. La ley asociativa se generaliza de la siguiente manera: la asociatividad ternaria es ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , es decir, la cadena abcde con tres elementos adyacentes entre corchetes. La asociatividad N -ary es una cadena de longitud n + ( n - 1 ) con cualquier n elementos adyacentes entre corchetes. Un semigrupo de 2 arios es solo un semigrupo. Otros axiomas conducen a un grupo n- ario .

Una tercera generalización es la semigroupoide , en la que se elimina el requisito de que la relación binaria sea total. Como las categorías generalizan los monoides de la misma manera, un semigrupoide se comporta como una categoría pero carece de identidades.

En ocasiones, varios autores han considerado generalizaciones infinitas de semigrupos conmutativos.

Ver también

• Elemento absorbente
• Conjunto biordado
• Semigrupo vacío
• Inversa generalizada
• Elemento de identidad
• Prueba de asociatividad de la luz
• Semigrupo dinámico cuántico
• Anillo de semigrupo
• Inversa débil

Notas

Citas

Referencias

Referencias generales

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• Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. La teoría algebraica de semigrupos . 2 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Grillet, Pierre Antoine (1995). Semigroups: Una introducción a la teoría de la estructura . Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-9662-4. Zbl  0830.20079 .
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