Anillo de división - Division ring

En álgebra , un anillo de división , también llamado campo sesgado , es un anillo en el que es posible la división . Específicamente, es un no nulo anillo en el que elemento de cada distinto de cero una tiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento generalmente denota un ^-1 , de manera que una   un ^-1 = un ^-1 a = 1   . Entonces, la división puede definirse como a / b = a b ^–1  , pero esta notación generalmente se evita, ya que uno puede tener a   b ^–1 ≠ b ^–1 a  .

Un anillo de división es generalmente un anillo no conmutativo . Es conmutativo si y solo si es un campo , en cuyo caso el término "anillo de división" se usa raramente, excepto para las propiedades de los anillos de división que son verdaderas incluso si son conmutativas o en la prueba de que un anillo de división específico es conmutativo. . Por ejemplo, el pequeño teorema de Wedderburn afirma que todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto, campos finitos .

Históricamente, los anillos de división a veces se denominaban campos, mientras que los campos se denominaban "campos conmutativos". En algunos idiomas, como el francés , la palabra equivalente a "campo" ("corps") se usa tanto para casos conmutativos como no conmutativos, y la distinción entre los dos casos se hace agregando calificativos como "corps commutatif" (campo conmutativo ) o "corps gauche" (campo sesgado).

Todos los anillos de división son simples . Es decir, no tienen un ideal de dos caras además del ideal cero y él mismo.

Estructuras algebraicas
Tipo grupo Grupo Semigrupo  / Monoid Rack y quandle Cuasigrupo y bucle Grupo abeliano Magma Grupo de mentiras Teoría de grupos
Como un anillo Anillo Rng Semiring Anillo cercano Anillo conmutativo Dominio integral Campo Anillo de división Teoría del anillo
celosía -como Enrejado Semirredura Celosía complementada Orden total Heyting álgebra álgebra de Boole Mapa de celosías Teoría de la celosía
Como un módulo Módulo Grupo con operadores Espacio vectorial Álgebra lineal
Algebra- like Álgebra De asociación No asociativo Álgebra de composición Álgebra de mentiras Calificado Bialgebra
v t mi

Relación con campos y álgebra lineal

Todos los campos son anillos de división; ejemplos más interesantes son los anillos de división no conmutativos. El mejor ejemplo conocido es el anillo de cuaterniones H . Si permitimos solo coeficientes racionales en lugar de reales en las construcciones de los cuaterniones, obtenemos otro anillo de división. En general, si R es un anillo y S es un módulo simple sobre R , entonces, según el lema de Schur , el anillo de endomorfismo de S es un anillo de división; cada anillo de división surge de esta manera a partir de algún módulo simple.

Gran parte del álgebra lineal se puede formular, y sigue siendo correcta, para módulos sobre un anillo de división D en lugar de espacios vectoriales sobre un campo. Al hacerlo, debe especificarse si se están considerando los módulos de la derecha o la izquierda, y se necesita cierto cuidado para distinguir correctamente la izquierda y la derecha en las fórmulas. Trabajando en coordenadas, los elementos de un módulo derecho de dimensión finita se pueden representar mediante vectores columna, que se pueden multiplicar a la derecha por escalares y a la izquierda por matrices (que representan mapas lineales); para elementos de un módulo izquierdo de dimensión finita, se deben utilizar vectores de fila, que se pueden multiplicar a la izquierda por escalares y a la derecha por matrices. El módulo dual de un módulo derecho es un módulo izquierdo y viceversa. La transposición de una matriz debe verse como una matriz sobre el anillo de división opuesto D ^op para que la regla ( AB ) ^T = B ^T A ^T siga siendo válida.

Cada módulo sobre un anillo de división es gratuito ; es decir, tiene una base y todas las bases de un módulo tienen el mismo número de elementos . Los mapas lineales entre módulos de dimensión finita sobre un anillo de división pueden describirse mediante matrices ; el hecho de que los mapas lineales, por definición, se conmuten con la multiplicación escalar se representa más convenientemente en notación escribiéndolos en el lado opuesto de los vectores como lo están los escalares. El algoritmo de eliminación de Gauss sigue siendo aplicable. El rango de columna de una matriz es la dimensión del módulo derecho generado por las columnas, y el rango de fila es la dimensión del módulo izquierdo generado por las filas; se puede usar la misma prueba que para el caso del espacio vectorial para mostrar que estos rangos son los mismos y definir el rango de una matriz.

De hecho, lo contrario también es cierto y esto da una caracterización de los anillos de división a través de su categoría de módulo: un anillo unital R es un anillo de división si y solo si cada módulo R es libre .

El centro de un anillo de división es conmutativo y, por lo tanto, un campo. Cada anillo de división es, por tanto, un álgebra de división sobre su centro. Los anillos de división se pueden clasificar aproximadamente según sean o no de dimensión finita o de dimensión infinita en sus centros. Los primeros se denominan centralmente finitos y los segundos centralmente infinitos . Cada campo es, por supuesto, unidimensional sobre su centro. El anillo de cuaterniones hamiltonianos forma un álgebra de 4 dimensiones sobre su centro, que es isomorfo a los números reales.

Ejemplos de

• Como se señaló anteriormente, todos los campos son anillos de división.
• Los cuaterniones forman un anillo de división no conmutativo.
• El subconjunto de los cuaterniones un + bi + cj + dk , de manera que un , b , c , y d pertenecen a un subcampo fija de los números reales , es un anillo de división no conmutativo. Cuando este subcampo es el campo de los números racionales , este es el anillo de división de los cuaterniones racionales .
• Sea un automorfismo del campo . Deje que denotan el anillo de series formales Laurent con coeficientes complejos, en el que la multiplicación se define como sigue: en lugar de simplemente permitiendo que los coeficientes a conmutar directamente con la indeterminada , para , definen para cada índice . Si es un automorfismo no trivial de números complejos (como la conjugación ), entonces el anillo resultante de la serie Laurent es un anillo de división estrictamente no conmutativo conocido como anillo sesgado de la serie Laurent ; si σ = id, entonces presenta la multiplicación estándar de series formales . Este concepto se puede generalizar al anillo de la serie Laurent sobre cualquier campo fijo , dado un automorfismo no trivial .${\ Displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle z ^ {i} \ alpha: = \ sigma ^ {i} (\ alpha) z ^ {i}}$${\ Displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$

Teoremas principales

El pequeño teorema de Wedderburn : todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto, campos finitos . ( Ernst Witt dio una prueba simple).

Teorema de Frobenius : Las únicas álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre los reales son los reales mismos, los números complejos y los cuaterniones .

Nociones relacionadas

Los anillos de división solían llamarse "campos" en un uso más antiguo. En muchos idiomas, una palabra que significa "cuerpo" se usa para anillos de división, en algunos idiomas designa anillos de división conmutativos o no conmutativos, mientras que en otros designa específicamente anillos de división conmutativos (lo que ahora llamamos campos en inglés). Una comparación más completa se encuentra en el artículo sobre campos .

El nombre "Campo sesgado " tiene una característica semántica interesante : un modificador (aquí "sesgo") amplía el alcance del término base (aquí "campo"). Por tanto, un campo es un tipo particular de campo sesgado y no todos los campos sesgados son campos.

Si bien se supone que los anillos de división y las álgebras como se discute aquí tienen multiplicación asociativa , las álgebras de división no asociativas como los octoniones también son de interés.

Un campo cercano es una estructura algebraica similar a un anillo de división, excepto que solo tiene una de las dos leyes distributivas .

Notas

Ver también

• Identidad de Hua

Referencias

• Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso en anillos no conmutativos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 131 (2ª ed.). Saltador. ISBN   0-387-95183-0 . Zbl   0980.16001 .

Otras lecturas

• Cohn, PM (1995). Campos sesgados. Teoría de los anillos de división general . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 57 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-43217-0 . Zbl   0840.16001 .

enlaces externos

• Prueba del teorema de Wedderburn en Planet Math
• Álgebra abstracta de Grillet, caracterización de la sección VIII.5 de los anillos de división a través de sus módulos libres.