Grupo discreto - Discrete group

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Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

Los enteros con su topología habitual son un subgrupo discreto de los números reales.

En matemáticas , un grupo topológico como G se llama grupo discreto si no hay un punto límite en él (es decir, para cada elemento en G , hay una vecindad que solo contiene ese elemento). De manera equivalente, el grupo G es discreto si y solo si su identidad está aislada . en otras palabras, la topología subespacial de H en G es la topología discreta . Por ejemplo, los enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los reales , R (con la topología métrica estándar ), pero los números racionales , Q , no. Un grupo discreto es un grupo topológico G equipado con la topología discreta .

A cualquier grupo se le puede dar la topología discreta. Dado que cada mapa de un espacio discreto es continuo , los homomorfismos topológicos entre grupos discretos son exactamente los homomorfismos de grupo entre los grupos subyacentes. Por tanto, existe un isomorfismo entre la categoría de grupos y la categoría de grupos discretos. Por lo tanto, los grupos discretos pueden identificarse con sus grupos subyacentes (no topológicos).

Hay ocasiones en las que un grupo topológico o un grupo de Lie está dotado de forma útil con la topología discreta, "en contra de la naturaleza". Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de la compactación de Bohr y en la teoría de cohomología de grupos de grupos de Lie.

Un grupo de isometría discreta es un grupo de isometría tal que para cada punto del espacio métrico, el conjunto de imágenes del punto debajo de las isometrías es un conjunto discreto . Un grupo de simetría discreta es un grupo de simetría que es un grupo de isometría discreta.

Propiedades

Dado que los grupos topológicos son homogéneos , solo es necesario observar un solo punto para determinar si el grupo topológico es discreto. En particular, un grupo topológico es discreto si y solo si el singleton que contiene la identidad es un conjunto abierto .

Un grupo discreto es lo mismo que un grupo de Lie de dimensión cero ( incontables grupos discretos no son contables en segundo lugar, por lo que los autores que requieren grupos de Lie para satisfacer este axioma no consideran estos grupos como grupos de Lie). El componente de identidad de un grupo discreto es solo el subgrupo trivial, mientras que el grupo de componentes es isomorfo al grupo en sí.

Dado que la única topología de Hausdorff en un conjunto finito es la discreta, un grupo topológico de Hausdorff finito debe ser necesariamente discreto. De ello se deduce que cada subgrupo finito de un grupo de Hausdorff es discreto.

Un subgrupo discreto H de G es cocompact si hay un subconjunto compacto K de G tal que HK = G .

Los subgrupos normales discretos juegan un papel importante en la teoría de los grupos de cobertura y los grupos localmente isomórficos . Un subgrupo normal discreto de un grupo conectado G se encuentra necesariamente en el centro de G y, por lo tanto, es abeliano .

Otras propiedades :

• cada grupo discreto está totalmente desconectado
• cada subgrupo de un grupo discreto es discreto.
• cada cociente de un grupo discreto es discreto.
• el producto de un número finito de grupos discretos es discreto.
• un grupo discreto es compacto si y solo si es finito.
• cada grupo discreto es localmente compacto .
• cada subgrupo discreto de un grupo de Hausdorff está cerrado.
• cada subgrupo discreto de un grupo compacto de Hausdorff es finito.

Ejemplos de

• Los grupos de friso y los grupos de papel tapiz son subgrupos discretos del grupo de isometría del plano euclidiano. Los grupos de papel tapiz son compactos, pero los grupos Frieze no lo son.
• Un grupo cristalográfico generalmente significa un subgrupo discreto y cocompacto de las isometrías de algún espacio euclidiano. A veces, sin embargo, un grupo cristalográfico puede ser un subgrupo discreto cocompacto de un grupo de Lie nilpotente o solucionable .
• Cada grupo de triángulos T es un subgrupo discreto del grupo de isometría de la esfera (cuando T es finito), el plano euclidiano (cuando T tiene un subgrupo Z  +  Z de índice finito ) o el plano hiperbólico .
• Los grupos fucsianos son, por definición, subgrupos discretos del grupo de isometría del plano hiperbólico.
  • Un grupo fucsiano que conserva la orientación y actúa sobre el modelo del semiplano superior del plano hiperbólico es un subgrupo discreto del grupo de Lie PSL (2, R ), el grupo de orientación que conserva las isometrías del modelo del semiplano superior del hiperbólico. avión.
  • Un grupo fucsiano se considera a veces como un caso especial de un grupo kleiniano , al incrustar el plano hiperbólico isométricamente en el espacio hiperbólico tridimensional y extender la acción del grupo en el plano a todo el espacio.
  • El grupo modular PSL (2, Z ) se considera un subgrupo discreto de PSL (2, R ). El grupo modular es una celosía en PSL (2, R ), pero no es cocompacto.
• Los grupos kleinianos son, por definición, subgrupos discretos del grupo de isometría del 3-espacio hiperbólico . Estos incluyen grupos cuasi-fucsianos .
  • Un grupo kleiniano que conserva la orientación y actúa sobre el modelo del semiespacio superior del 3-espacio hiperbólico es un subgrupo discreto del grupo de Lie PSL (2, C ), el grupo de orientación que conserva las isometrías del modelo del semiespacio superior del hiperbólico 3 -espacio.
• Una celosía en un grupo de Lie es un subgrupo discreto tal que la medida de Haar del espacio del cociente es finita.

Ver también

• grupo de puntos cristalográficos
• subgrupo de congruencia
• grupo aritmético
• teoría de grupos geométricos
• teoría de grupos computacional
• libremente discontinuo
• juego regular gratis

Citas

Referencias