G 2 (matemáticas) -G2 (mathematics)

En matemáticas , G 2 es el nombre de tres grupos de Lie simples (una forma compleja, una forma real compacta y una forma real dividida), sus álgebras de Lie y algunos grupos algebraicos . Son los más pequeños de los cinco grupos de Lie simples excepcionales . G 2 tiene rango 2 y dimensión 14. Tiene dos representaciones fundamentales , con dimensión 7 y 14.

La forma compacta de G 2 puede describirse como el grupo de automorfismo del álgebra de octonión o, de manera equivalente, como el subgrupo de SO (7) que conserva cualquier vector particular elegido en su representación de espinor real de 8 dimensiones (una representación de espín ).

Historia

El álgebra de Lie , siendo el álgebra de Lie simple excepcional más pequeño, fue el primero de estos en ser descubierto en el intento de clasificar las álgebras de Lie simples. El 23 de mayo de 1887, Wilhelm Killing escribió una carta a Friedrich Engel diciendo que había encontrado un álgebra de Lie simple de 14 dimensiones, que ahora llamamos .

En 1893, Élie Cartan publicó una nota describiendo un conjunto abierto equipado con una distribución bidimensional , es decir, un campo suavemente variable de subespacios bidimensionales del espacio tangente, para el cual el álgebra de Lie aparece como simetrías infinitesimales. En el mismo año, en la misma revista, Engel notó lo mismo. Más tarde se descubrió que la distribución bidimensional está estrechamente relacionada con una bola que rueda sobre otra bola. El espacio de configuraciones de la bola rodante es de 5 dimensiones, con una distribución bidimensional que describe los movimientos de la bola donde rueda sin resbalar ni torcerse.

En 1900, Engel descubrió que una forma trilineal antisimétrica genérica (o forma tridimensional) en un espacio vectorial complejo de 7 dimensiones se conserva mediante un grupo isomorfo a la forma compleja de G 2 .

En 1908, Cartan mencionó que el grupo de automorfismo de los octoniones es un grupo de Lie simple de 14 dimensiones. En 1914 afirmó que esta es la forma real compacta de G 2 .

En libros y artículos antiguos, G 2 a veces se denota por E 2 .

Formas reales

Hay 3 álgebras de Lie reales simples asociadas con este sistema de raíces:

  • El álgebra de Lie real subyacente del álgebra de Lie compleja G 2 tiene dimensión 28. Tiene una conjugación compleja como un automorfismo externo y está simplemente conectada. El subgrupo compacto máximo de su grupo asociado es la forma compacta de G 2 .
  • El álgebra de Lie de la forma compacta es de 14 dimensiones. El grupo de Lie asociado no tiene automorfismos externos, ni centro, y está simplemente conectado y es compacto.
  • El álgebra de Lie de la forma no compacta (dividida) tiene dimensión 14. El grupo de Lie simple asociado tiene un grupo fundamental de orden 2 y su grupo de automorfismo externo es el grupo trivial. Su subgrupo compacto máximo es SU (2) × SU (2) / (- 1, −1) . Tiene una cubierta doble no algebraica que simplemente se conecta.

Álgebra

Diagrama de Dynkin y matriz de Cartan

El diagrama de Dynkin para G 2 viene dado por Diagrama de Dynkin de G 2.

Su matriz de Cartan es:

Raíces de G 2

Sistema raíz G2.svg
El sistema de raíz de 12 vectores de G 2 en 2 dimensiones.
T1.svg de 3 cubos
La proyección del plano A 2 Coxeter de los 12 vértices del cuboctaedro contiene la misma disposición vectorial 2D.
G2Coxeter.svg
Gráfico de G2 como un subgrupo de F4 y E8 proyectado en el plano de Coxeter

Aunque abarcan un espacio bidimensional, como se dibuja, es mucho más simétrico considerarlos como vectores en un subespacio bidimensional de un espacio tridimensional.

(1, −1,0), (−1,1,0)
(1,0, −1), (−1,0,1)
(0,1, −1), (0, −1,1)
(2, −1, −1), (−2,1,1)
(1, −2,1), (−1,2, −1)
(1,1, −2), (−1, −1,2)

Un conjunto de raíces simples , paraDyn2-nodo n1.pngDyn2-6a.pngDyn2-node n2.png es:

(0,1, −1), (1, −2,1)

Grupo Weyl / Coxeter

Su grupo Weyl / Coxeter es el grupo diedro , de orden 12. Tiene un grado mínimo de fidelidad .

Holonomía especial

G 2 es uno de los posibles grupos especiales que pueden aparecer como el grupo de holonomía de una métrica de Riemann . Las variedades de la holonomía G 2 también se denominan variedades G 2 .

Invariante polinomial

G 2 es el grupo de automorfismos de los siguientes dos polinomios en 7 variables no conmutativas.

(± permutaciones)

que proviene del álgebra octonion. Las variables deben ser no conmutativas, de lo contrario, el segundo polinomio sería idénticamente cero.

Generadores

Sumando una representación de los 14 generadores con coeficientes A , ...,  N da la matriz:

Es exactamente el álgebra de Lie del grupo

Representaciones

Los caracteres de las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie reales y complejas y los grupos de Lie vienen dados por la fórmula de caracteres de Weyl . Las dimensiones de las representaciones irreductibles más pequeñas son (secuencia A104599 en la OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (dos veces), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (dos veces), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (dos veces), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

La representación de 14 dimensiones es la representación adjunta , y la de 7 dimensiones es la acción de G 2 sobre los octoniones imaginarios.

Hay dos representaciones irreductibles no isomorfas de dimensiones 77, 2079, 4928, 30107, etc. Las representaciones fundamentales son aquellas con dimensiones 14 y 7 (correspondientes a los dos nodos en el diagrama de Dynkin en el orden tal que la flecha triple apunte desde el primero al segundo).

Vogan (1994) describió las representaciones unitarias irreductibles (de dimensión infinita) de la forma real dividida de G 2 .

Grupos finitos

El grupo G 2 ( q ) son los puntos del grupo algebraico G 2 sobre el campo finito F q . Estos grupos finitos fueron introducidos por primera vez por Leonard Eugene Dickson en Dickson (1901) para q impar y Dickson (1905) para q par . El orden de G 2 ( q ) es q 6 ( q 6 - 1) ( q 2 - 1) . Cuando q ≠ 2 , el grupo es simple , y cuando q = 2 , tiene un subgrupo simple de índice 2 isomorfo a 2 A 2 (3 2 ), y es el grupo de automorfismos de un orden máximo de octoniones. El grupo Janko J 1 se construyó primero como un subgrupo de G 2 (11). Ree (1960) introdujo los grupos Ree retorcidos 2 G 2 ( q ) de orden q 3 ( q 3 + 1) ( q - 1) para q = 3 2 n +1 , una potencia impar de 3.

Ver también

Referencias

Ver sección 4.1: G 2 ; una versión HTML en línea disponible en http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html .