Grupo lineal general - General linear group

En matemáticas , el grupo lineal general de grado n es el conjunto de n × n matrices invertibles , junto con la operación de multiplicación de matrices ordinaria . Esto forma un grupo , porque el producto de dos matrices invertibles es nuevamente invertible, y la inversa de una matriz invertible es invertible, con la matriz de identidad como el elemento de identidad del grupo. El grupo se llama así porque las columnas de una matriz invertible son linealmente independientes , por lo tanto, los vectores / puntos que definen están en posición lineal general , y las matrices en el grupo lineal general toman puntos en posición lineal general a puntos en posición lineal general.

Para ser más precisos, es necesario especificar qué tipo de objetos pueden aparecer en las entradas de la matriz. Por ejemplo, el grupo lineal general sobre R (el conjunto de números reales ) es el grupo de n × n matrices invertibles de números reales, y se denota por GL n ( R ) o GL ( n , R ) .

De manera más general, el grupo lineal general de grado n sobre cualquier campo F (como los números complejos ), o un anillo R (como el anillo de números enteros ), es el conjunto de n × n matrices invertibles con entradas de F (o R ), nuevamente con la multiplicación de matrices como operación de grupo. La notación típica es GL n ( F ) o GL ( n , F ) , o simplemente GL ( n ) si se entiende el campo.

Más generalmente aún, el grupo lineal general de un espacio vectorial GL ( V ) es el grupo de automorfismo abstracto , no necesariamente escrito como matrices.

El grupo lineal especial , escrito SL ( n , F ) o SL n ( F ), es el subgrupo de GL ( n , F ) que consta de matrices con un determinante de 1.

El grupo GL ( n , F ) y sus subgrupos a menudo se denominan grupos lineales o grupos de matriz (el grupo abstracto GL ( V ) es un grupo lineal pero no un grupo de matriz). Estos grupos son importantes en la teoría de las representaciones de grupos , y también surgen en el estudio de simetrías espaciales y simetrías de espacios vectoriales en general, así como en el estudio de polinomios . El grupo modular se puede realizar como un cociente del grupo lineal especial SL (2, Z ) .

Si n ≥ 2 , entonces el grupo GL ( n , F ) no es abeliano .

Grupo lineal general de un espacio vectorial

Si V es un espacio vectorial sobre el campo F , el grupo lineal general de V , escrito GL ( V ) o Aut ( V ), es el grupo de todos los automorfismos de V , es decir, el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas VV , junto con la composición funcional como operación grupal. Si V tiene una dimensión finita n , entonces GL ( V ) y GL ( n , F ) son isomorfos . El isomorfismo no es canónico; que depende de la opción de base en V . Dada una base ( e 1 , ..., e n ) de V y un automorfismo T en GL ( V ), tenemos entonces para cada vector base e i que

para algunas constantes a ij en F ; la matriz correspondiente a T es entonces simplemente la matriz con entradas dadas por a ij .

De manera similar, para un anillo conmutativo R, el grupo GL ( n , R ) puede interpretarse como el grupo de automorfismos de un módulo R libre M de rango n . También se puede definir GL ( M ) para cualquier módulo R , pero en general esto no es isomorfo a GL ( n , R ) (para cualquier n ).

En términos de determinantes

Sobre un campo F , una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, una definición alternativa de GL ( n , F ) es como el grupo de matrices con determinante distinto de cero.

Más de un anillo conmutativo R , se necesita más cuidado: una matriz sobre R es invertible si y sólo si su determinante es una unidad en R , es decir, si su determinante es invertible en R . Por tanto, GL ( n , R ) puede definirse como el grupo de matrices cuyos determinantes son unidades.

En un anillo no conmutativo R , los determinantes no se comportan del todo bien. En este caso, GL ( n , R ) puede definirse como el grupo unitario del anillo de matriz M ( n , R ) .

Como grupo de Lie

Caso real

El grupo lineal general GL ( n , R ) sobre el campo de los números reales es un grupo de Lie real de dimensión n 2 . Para ver esto, tenga en cuenta que el conjunto de todas las n × n matrices reales, M n ( R ), forma un espacio vectorial real de dimensión n 2 . El subconjunto GL ( n , R ) consta de aquellas matrices cuyo determinante no es cero. El determinante es un mapa polinomial y, por lo tanto, GL ( n , R ) es una subvariedad afín abierta de M n ( R ) (un subconjunto abierto no vacío de M n ( R ) en la topología de Zariski ) y, por lo tanto, una variedad suave de la misma dimensión.

El álgebra de Lie de GL ( n , R ) , denotado, consta de todas n × n matrices reales con el conmutador sirviendo como el corchete de Lie.

Como variedad, GL ( n , R ) no está conectada sino que tiene dos componentes conectados : las matrices con determinante positivo y las que tienen determinante negativo. El componente de identidad , denotado por GL + ( n , R ) , consiste en las matrices reales n × n con determinante positivo. Este también es un grupo de Lie de dimensión n 2 ; tiene el mismo álgebra de Lie que GL ( n , R ) .

El grupo GL ( n , R ) tampoco es compacto . “El” subgrupo compacto máximo de GL ( n , R ) es el grupo ortogonal O ( n ), mientras que “el” subgrupo compacto máximo de GL + ( n , R ) es el grupo ortogonal especial SO ( n ). En cuanto a SO ( n ), el grupo GL + ( n , R ) no está simplemente conectado (excepto cuando n = 1) , sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z para n = 2 o Z 2 para n > 2 .

Caso complejo

El grupo lineal general sobre el campo de los números complejos , GL ( n , C ) , es un complejo grupo de Lie de dimensión compleja n 2 . Como grupo de Lie real (a través de la realización) tiene dimensión 2 n 2 . El conjunto de todas las matrices reales forma un subgrupo de Lie real. Estos corresponden a las inclusiones

GL ( n , R ) <GL ( n , C ) <GL ( 2n , R ),

que tienen dimensiones reales n 2 , 2 n 2 y 4 n 2 = (2 n ) 2 . Las matrices complejas n- dimensionales se pueden caracterizar como matrices reales 2 n- dimensionales que conservan una estructura compleja lineal - concretamente, que conmutan con una matriz J tal que J 2 = - I , donde J corresponde a multiplicar por la unidad imaginaria i .

El álgebra de Lie correspondiente a GL ( n , C ) consta de todas n × n matrices complejas con el conmutador que sirve como soporte de Lie.

A diferencia del caso real, GL ( n , C ) está conectado . Esto se deduce, en parte, de que el grupo multiplicativo de números complejos C está conectado. El colector de grupo GL ( n , C ) no es compacto; más bien, su subgrupo compacto máximo es el grupo unitario U ( n ). En cuanto a U ( n ), el colector de grupo GL ( n , C ) no está conectado simplemente pero tiene un grupo fundamental isomorfo a Z .

Sobre campos finitos

Tabla de Cayley de GL (2, 2) , que es isomorfa a S 3 .

Si F es un campo finito con q elementos, a veces escribimos GL ( n , q ) en lugar de GL ( n , F ) . Cuando p es primo, GL ( n , p ) es el grupo de automorfismo externo del grupo Z p n , y también el grupo de automorfismo , porque Z p n es abeliano, por lo que el grupo de automorfismo interno es trivial.

El orden de GL ( n , q ) es:

Esto se puede demostrar contando las posibles columnas de la matriz: la primera columna puede ser cualquier cosa menos el vector cero; la segunda columna puede ser cualquier cosa menos los múltiplos de la primera columna; y en general, la k- ésima columna puede ser cualquier vector que no esté en el intervalo lineal de las primeras k - 1 columnas. En notación análoga q , esto es .

Por ejemplo, GL (3, 2) tiene el orden (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168 . Es el grupo de automorfismos del plano de Fano y del grupo Z 2 3 , y también se conoce como PSL (2, 7) .

De manera más general, se pueden contar puntos de Grassmannian sobre F : en otras palabras, el número de subespacios de una dimensión k dada . Esto solo requiere encontrar el orden del subgrupo estabilizador de uno de esos subespacios y dividirlo en la fórmula que se acaba de dar, según el teorema del estabilizador de la órbita .

Estas fórmulas están conectadas a la descomposición de Schubert del Grassmanniano, y son q -análogos de los números Betti de Grassmannianos complejos. Esta fue una de las pistas que llevaron a las conjeturas de Weil .

¡Tenga en cuenta que en el límite q ↦ 1 el orden de GL ( n , q ) va a 0! - pero bajo el procedimiento correcto (dividiendo por ( q - 1) n ) vemos que es el orden del grupo simétrico (Ver artículo de Lorscheid) - en la filosofía del campo con un elemento , uno interpreta así el grupo simétrico como el grupo lineal general sobre el campo con un elemento: S n ≅ GL ( n , 1) .

Historia

El grupo lineal general sobre un campo principal, GL ( ν , p ) , fue construido y su orden calculado por Évariste Galois en 1832, en su última carta (a Chevalier) y en el segundo (de tres) manuscritos adjuntos, que utilizó en el contexto de estudio del grupo de Galois de la ecuación general de orden p ν .

Grupo lineal especial

El grupo lineal especial, SL ( n , F ) , es el grupo de todas las matrices con determinante 1. Son especiales porque se encuentran en una subvariedad - satisfacen una ecuación polinomial (ya que el determinante es un polinomio en las entradas). Las matrices de este tipo forman un grupo ya que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de cada matriz. SL ( n , F ) es un subgrupo normal de GL ( n , F ) .

Si escribimos F × para el grupo multiplicativo de F (excluyendo 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupo

det: GL ( n , F ) → F × .

que es sobreyectiva y su núcleo es el grupo lineal especial. Por lo tanto, según el primer teorema del isomorfismo , GL ( n , F ) / SL ( n , F ) es isomorfo a F × . De hecho, GL ( n , F ) se puede escribir como un producto semidirecto :

GL ( n , F ) = SL ( n , F ) ⋊ F ×

El grupo lineal especial es también el grupo derivado (también conocido como grupo de los conmutadores) de la GL ( n , F ) (para un campo o un anillo de división F ) a condición de que o k no es el campo con dos elementos .

Cuando F es R o C , SL ( n , F ) es un subgrupo de Lie de GL ( n , F ) de dimensión n 2 - 1 . El álgebra de Lie de SL ( n , F ) consta de todas las matrices n × n sobre F con rastro de fuga . El corchete de Lie viene dado por el conmutador .

El grupo lineal especial SL ( n , R ) se puede caracterizar como el grupo de transformaciones lineales que preservan el volumen y la orientación de R n .

El grupo SL ( n , C ) simplemente está conectado, mientras que SL ( n , R ) no lo está. SL ( n , R ) tiene el mismo grupo fundamental que GL + ( n , R ) , es decir, Z para n = 2 y Z 2 para n > 2 .

Otros subgrupos

Subgrupos diagonales

El conjunto de todas las matrices diagonales invertibles forma un subgrupo de GL ( n , F ) isomorfo a ( F × ) n . En campos como R y C , estos corresponden a reescalar el espacio; las llamadas dilataciones y contracciones.

Una matriz escalar es una matriz diagonal que es una constante multiplicada por la matriz identidad . El conjunto de todas las matrices escalares distintas de cero forma un subgrupo de GL ( n , F ) isomorfo a F × . Este grupo es el centro de GL ( n , F ) . En particular, es un subgrupo abeliano normal.

El centro de SL ( n , F ) es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante de la unidad, y es isomorfo al grupo de n th raíces de la unidad en el campo F .

Grupos clásicos

Los llamados grupos clásicos son subgrupos de GL ( V ) que conservan una cierta clase de forma bilineal en un espacio vectorial V . Estos incluyen el

Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de grupos de Lie.

Grupos relacionados y monoides

Grupo lineal proyectivo

El grupo lineal proyectivo PGL ( n , F ) y el grupo lineal especial proyectivo PSL ( n , F ) son los cocientes de GL ( n , F ) y SL ( n , F ) por sus centros (que consisten en los múltiplos de los matriz de identidad en el mismo); son la acción inducida sobre el espacio proyectivo asociado .

Grupo afín

El grupo afín Aff ( n , F ) es una extensión de GL ( n , F ) por el grupo de traducciones en F n . Se puede escribir como un producto semidirecto :

Aff ( n , F ) = GL ( n , F ) ⋉ F n

donde GL ( n , F ) actúa sobre F n de forma natural. El grupo afín puede ser visto como el grupo de todas las transformaciones afines del espacio afín subyacentes el espacio vectorial F n .

Uno tiene construcciones análogas para otros subgrupos del grupo lineal general: por ejemplo, el grupo afín especial es el subgrupo definido por el producto semidirecto, SL ( n , F ) ⋉ F n , y el grupo de Poincaré es el grupo afín asociado al Grupo de Lorentz , O (1, 3, F ) ⋉ F n .

Grupo semilineal general

El grupo semilineal general ΓL ( n , F ) es el grupo de todas las transformaciones semilineales invertibles y contiene GL. Una transformación semilineal es una transformación que es lineal "hasta un giro", es decir, "hasta un automorfismo de campo bajo multiplicación escalar". Se puede escribir como un producto semidirecto:

ΓL ( n , F ) = Gal ( F ) ⋉ GL ( n , F )

donde Gal ( F ) es el grupo de Galois de F (sobre su campo principal ), que actúa sobre GL ( n , F ) mediante la acción de Galois sobre las entradas.

El principal interés de ΓL ( n , F ) es que el grupo semilineal proyectivo asociado PΓL ( n , F ) (que contiene PGL ( n , F )) es el grupo de colineación del espacio proyectivo , para n > 2 , y por lo tanto mapas semilineales son de interés en geometría proyectiva .

Monoide lineal completo

Si se elimina la restricción de que el determinante sea distinto de cero, la estructura algebraica resultante es un monoide , generalmente llamado monoide lineal completo , pero ocasionalmente también semigrupo lineal completo , monoide lineal general , etc. En realidad, es un semigrupo regular .

Grupo lineal general infinito

El grupo lineal general infinito o estable grupo lineal general es el límite directo de las inclusiones GL ( n , F ) → GL ( n + 1, F ) como la parte superior izquierda de la matriz de bloques . Se denota por GL ( F ) o GL (∞, F ) , y también se puede interpretar como matrices infinitas invertibles que difieren de la matriz de identidad solo en un número finito de lugares.

Se utiliza en la teoría K algebraica para definir K 1 , y sobre los reales tiene una topología bien entendida, gracias a la periodicidad de Bott .

No debe confundirse con el espacio de operadores invertibles (acotados) en un espacio de Hilbert , que es un grupo más grande y, desde el punto de vista topológico, mucho más simple, es decir, contractible; consulte el teorema de Kuiper .

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos