Grupo simétrico - Symmetric group

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble acción Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL (2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En álgebra abstracta , el grupo simétrico definido sobre cualquier conjunto es el grupo cuyos elementos son todas las biyecciones del conjunto a sí mismo, y cuya operación de grupo es la composición de funciones . En particular, el grupo simétrico finito definido sobre un conjunto finito de símbolos consiste en las permutaciones que se pueden realizar en los símbolos. Dado que existen ( factoriales ) tales operaciones de permutación, el orden (número de elementos) del grupo simétrico es . ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle n!}$

Aunque los grupos simétricos se pueden definir en conjuntos infinitos , este artículo se centra en los grupos simétricos finitos: sus aplicaciones, sus elementos, sus clases de conjugación , una presentación finita , sus subgrupos , sus grupos de automorfismos y su teoría de representación . En el resto de este artículo, "grupo simétrico" significará un grupo simétrico en un conjunto finito.

El grupo simétrico es importante para diversas áreas de las matemáticas como la teoría de Galois , la teoría invariante , la teoría de la representación de grupos de Lie y la combinatoria . El teorema de Cayley establece que cada grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en (el conjunto subyacente de) . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Definición y primeras propiedades

El grupo simétrico en un conjunto finito es el grupo cuyos elementos son todas funciones biyectivas de a y cuya operación de grupo es la de composición de funciones . Para conjuntos finitos, "permutaciones" y "funciones biyectivas" se refieren a la misma operación, es decir, reordenamiento. El grupo simétrico de grados es el grupo simétrico del conjunto . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$

El grupo simétrico en un conjunto se denota en varias maneras, incluyendo , , , , y . Si es el conjunto continuación, el nombre puede abreviarse a , , , o . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {S} _{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$${\displaystyle \Sigma _{X}}$${\displaystyle X!}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$

Los grupos simétricos en conjuntos infinitos se comportan de manera bastante diferente a los grupos simétricos en conjuntos finitos, y se analizan en ( Scott 1987 , Capítulo 11), ( Dixon y Mortimer 1996 , Capítulo 8) y ( Cameron 1999 ).

El grupo simétrico de un conjunto de elementos tiene orden (el factorial de ). Es abeliano si y solo si es menor o igual que 2. Para y (el conjunto vacío y el conjunto singleton ), los grupos simétricos son triviales (tienen orden ). El grupo S _n se puede resolver si y solo si . Esta es una parte esencial de la demostración del teorema de Abel-Ruffini que muestra que para todo hay polinomios de grado que no se pueden resolver por radicales, es decir, las soluciones no se pueden expresar realizando un número finito de operaciones de suma, resta. , multiplicación, división y extracción de raíces sobre los coeficientes del polinomio. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 0!=1!=1}$${\displaystyle n\leq 4}$${\displaystyle n>4}$${\displaystyle n}$

Aplicaciones

El grupo simétrico en un conjunto de tamaño n es el grupo de Galois del polinomio general de grado n y juega un papel importante en la teoría de Galois . En la teoría invariante , el grupo simétrico actúa sobre las variables de una función multivariante, y las funciones que se dejan invariantes son las llamadas funciones simétricas . En la teoría de la representación de los grupos de Lie , la teoría de la representación del grupo simétrico juega un papel fundamental a través de las ideas de los functores de Schur . En la teoría de los grupos de Coxeter , el grupo simétrico es el grupo de Coxeter de tipo A _ny ocurre como el grupo de Weyl del grupo lineal general . En combinatoria , los grupos simétricos, sus elementos ( permutaciones ) y sus representaciones proporcionan una rica fuente de problemas que involucran cuadros de Young , monoides plásticos y el orden de Bruhat . Los subgrupos de grupos simétricos se denominan grupos de permutación y se estudian ampliamente debido a su importancia para comprender las acciones grupales , los espacios homogéneos y los grupos de automorfismos de gráficos , como el grupo Higman-Sims y el gráfico Higman-Sims .

Elementos

Los elementos del grupo simétrico sobre un conjunto X son las permutaciones de X .

Multiplicación

La operación de grupo en un grupo simétrico es la composición de funciones , denotada por el símbolo ∘ o simplemente por yuxtaposición de las permutaciones. La composición f ∘ g de permutaciones f y g , pronunciado " f de g ", mapas de cualquier elemento x de X a f ( g ( x )). Concretamente, dejemos (ver permutación para una explicación de la notación):

${\displaystyle f=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.}$

Al aplicar f después de g , primero se asigna 1 a 2 y luego 2 a sí mismo; 2 a 5 y luego a 4; 3 a 4 y luego a 5, y así sucesivamente. Entonces, componer f y g da

${\displaystyle fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.}$

Un ciclo de longitud L = k · m , elevado a la k- ésima potencia, se descompondrá en k ciclos de longitud m : Por ejemplo, ( k = 2 , m = 3 ),

${\displaystyle (1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).}$

Verificación de axiomas de grupo

Para comprobar que el grupo simétrico de un conjunto X es de hecho un grupo , es necesario verificar los axiomas grupales de cierre, asociatividad, identidad e inversas.

1. La operación de composición de funciones se cierra en el conjunto de permutaciones del conjunto X dado .
2. La composición de funciones es siempre asociativa.
3. La biyección trivial que asigna cada elemento de X a sí mismo sirve como una identidad para el grupo.
4. Cada biyección tiene una función inversa que deshace su acción y, por lo tanto, cada elemento de un grupo simétrico tiene una inversa que también es una permutación.

Transposiciones, signo y grupo alterno

Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y mantiene todos los demás fijos; por ejemplo (1 3) es una transposición. Cada permutación puede escribirse como producto de transposiciones; por ejemplo, la permutación g de arriba se puede escribir como g = (1 2) (2 5) (3 4). Dado que g puede escribirse como un producto de un número impar de transposiciones, entonces se denomina permutación impar , mientras que f es una permutación par.

La representación de una permutación como producto de transposiciones no es única; sin embargo, el número de transposiciones necesarias para representar una determinada permutación es siempre par o siempre impar. Hay varias pruebas breves de la invariancia de esta paridad de una permutación.

El producto de dos permutaciones pares es par, el producto de dos permutaciones impares es par y todos los demás productos son impares. Así podemos definir el signo de una permutación:

${\displaystyle \operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

Con esta definición,

${\displaystyle \operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\ }$

es un homomorfismo de grupo ({+1, –1} es un grupo bajo multiplicación, donde +1 es e, el elemento neutral ). El núcleo de este homomorfismo, es decir, el conjunto de todas las permutaciones pares, se denomina grupo alterno A _n . Es un subgrupo normal de S _n , y para n ≥ 2 tiene n ! / 2 elementos. El grupo S _n es el producto semidirecto de A _n y cualquier subgrupo generado por una sola transposición.

Además, cada permutación puede escribirse como un producto de transposiciones adyacentes , es decir, transposiciones de la forma ( a a +1) . Por ejemplo, la permutación g de arriba también se puede escribir como g = (4 5) (3 4) (4 5) (1 2) (2 3) (3 4) (4 5) . El algoritmo de clasificación de burbujas es una aplicación de este hecho. La representación de una permutación como producto de transposiciones adyacentes tampoco es única.

Ciclos

Un ciclo de longitud k es una permutación f para la cual existe un elemento x en {1, ..., n } tal que x , f ( x ), f ² ( x ), ..., f ^k ( x ) = x son los únicos elementos movidos por f ; se requiere que k ≥ 2 ya que con k = 1 el elemento x tampoco se movería. La permutación h definida por

${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}}$

es un ciclo de longitud tres, ya que h (1) = 4 , h (4) = 3 y h (3) = 1 , dejando 2 y 5 intactos. Denotamos dicho ciclo por (1 4 3) , pero igualmente bien podría escribirse (4 3 1) o (3 1 4) comenzando en un punto diferente. El orden de un ciclo es igual a su duración. Los ciclos de duración dos son transposiciones. Dos ciclos son disjuntos si mueven subconjuntos de elementos disjuntos. Los ciclos disjuntos conmutan : por ejemplo, en S ₆ existe la igualdad (4 1 3) (2 5 6) = (2 5 6) (4 1 3) . Cada elemento de S _n puede escribirse como un producto de ciclos disjuntos; esta representación es única hasta el orden de los factores, y la libertad presente en representar cada ciclo individual eligiendo su punto de partida.

Los ciclos admiten la siguiente propiedad de conjugación con cualquier permutación , esta propiedad se usa a menudo para obtener sus generadores y relaciones . ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}}$

Elementos especiales

Ciertos elementos del grupo simétrico de {1, 2, ..., n } son de particular interés (estos pueden generalizarse al grupo simétrico de cualquier conjunto finito totalmente ordenado, pero no al de un conjunto desordenado).

los La permutación de inversión de orden es la dada por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.}$

Este es el elemento máximo único con respecto al orden de Bruhat y el elemento más largo del grupo simétrico con respecto al grupo electrógeno que consta de las transposiciones adyacentes ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n - 1 .

Esta es una involución y consta de transposiciones (no adyacentes) ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle (1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ or }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}{\text{ adjacent transpositions: }}}$

${\displaystyle (n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,}$

por lo que tiene signo:

${\displaystyle \mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

que es 4-periódica en n .

En S _{2 n} , la mezcla perfecta es la permutación que divide el conjunto en 2 pilas y las intercala. Su signo también es${\displaystyle (-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.}$

Tenga en cuenta que el reverso en n elementos y la mezcla perfecta en 2 n elementos tienen el mismo signo; estos son importantes para la clasificación de las álgebras de Clifford , que son 8-periódicas.

Clases conjugadas

Las clases de conjugación de S _n corresponden a las estructuras cíclicas de las permutaciones; es decir, dos elementos de S _n se conjugan en S _n si y solo si consisten en el mismo número de ciclos disjuntos de la misma longitud. Por ejemplo, en S ₅ , (1 2 3) (4 5) y (1 4 3) (2 5) son conjugados; (1 2 3) (4 5) y (1 2) (4 5) no lo son. Un elemento de conjugación de S _n se puede construir en "notación de dos líneas" colocando las "notaciones de ciclo" de las dos permutaciones conjugadas una encima de la otra. Continuando con el ejemplo anterior:

${\displaystyle k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}}}$

que puede escribirse como el producto de ciclos, a saber: (2 4).

Esta permutación luego relaciona (1 2 3) (4 5) y (1 4 3) (2 5) a través de la conjugación, es decir,

${\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$

Está claro que tal permutación no es única.

Grupos de bajo grado

Los grupos simétricos de bajo grado tienen una estructura más simple y excepcional y, a menudo, deben tratarse por separado.

S ₀ y S ₁

Los grupos simétricos en el conjunto vacío y el conjunto singleton son triviales, lo que corresponde a 0! = 1! = 1 . En este caso, el grupo alterno está de acuerdo con el grupo simétrico, en lugar de ser un subgrupo de índice 2, y el mapa de signos es trivial. En el caso de S ₀ , su único miembro es la función vacía .

S ₂

Este grupo consta exactamente de dos elementos: la identidad y la permutación intercambiando los dos puntos. Es un grupo cíclico y, por tanto, es abeliano . En la teoría de Galois , esto corresponde al hecho de que la fórmula cuadrática da una solución directa al polinomio cuadrático general después de extraer una sola raíz. En la teoría invariante , la teoría de representación del grupo simétrico en dos puntos es bastante simple y se considera que escribe una función de dos variables como una suma de sus partes simétricas y antisimétricas: Establecer f _s ( x , y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) , y f _a ( x , y ) = f ( x , y ) - f ( y , x ) , se obtiene que 2⋅ f = f _s + f _a . Este proceso se conoce como simetrización .

S ₃

S ₃ es el primer grupo simétrico no beliano. Este grupo es isomorfo al grupo diedro de orden 6 , el grupo de simetrías de reflexión y rotación de un triángulo equilátero , ya que estas simetrías permutan los tres vértices del triángulo. Los ciclos de longitud dos corresponden a reflexiones y los ciclos de longitud tres son rotaciones. En la teoría de Galois, el mapa de signos de S ₃ a S ₂ corresponde a la resolución cuadrática de un polinomio cúbico , como lo descubrió Gerolamo Cardano , mientras que el núcleo A ₃ corresponde al uso de la transformada discreta de Fourier de orden 3 en la solución, en forma de solventes de Lagrange .

S ₄

El grupo S ₄ es isomorfo al grupo de rotaciones propias sobre caras opuestas, diagonales opuestas y aristas opuestas, 9, 8 y 6 permutaciones del cubo . Más allá del grupo A ₄ , S ₄ tiene un grupo V de cuatro de Klein como un subgrupo normal adecuado , es decir, las transposiciones pares {(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}, con cociente S ₃ . En la teoría de Galois , este mapa corresponde a la resolución de un polinomio cúbico a un cuártico , lo que permite resolver el cuártico mediante radicales, según lo establecido por Lodovico Ferrari . El grupo de Klein puede entenderse en términos de los solventes de Lagrange del cuártico. El mapa de S ₄ a S ₃ también produce una representación irreductible bidimensional, que es una representación irreducible de un grupo simétrico de grado n de dimensión por debajo de n - 1 , que solo ocurre para n = 4 .

S ₅

S ₅ es el primer grupo simétrico no resoluble. Junto con el grupo lineal especial SL (2, 5) y el grupo icosaédrico A ₅ × S ₂ , S ₅ es uno de los tres grupos no solubles de orden 120, hasta el isomorfismo. S ₅ es el grupo de Galois de la ecuación quíntica general , y el hecho de que S ₅ no sea un grupo soluble se traduce en la inexistencia de una fórmula general para resolver polinomios quínticos por radicales. Hay un mapa de inclusión exótico S ₅ → S ₆ como subgrupo transitivo ; el mapa de inclusión obvio S _n → S _{n +1} fija un punto y, por lo tanto, no es transitivo. Esto produce el automorfismo externo de S ₆ , que se analiza a continuación, y corresponde a la séptica resolutiva de una quíntica.

S ₆

A diferencia de todos los demás grupos simétricos, S ₆ tiene un automorfismo externo . Utilizando el lenguaje de la teoría de Galois , esto también puede entenderse en términos de resolutivos de Lagrange . El resolutivo de una quintica es de grado 6; esto corresponde a un mapa de inclusión exótico S ₅ → S ₆ como un subgrupo transitivo (el mapa de inclusión obvio S _n → S _{n +1} fija un punto y por lo tanto no es transitivo) y, mientras este mapa no hace que el quintic general sea soluble, produce el exótico automorfismo externo de S ₆ —ver Automorfismos de los grupos simétricos y alternos para más detalles.

Tenga en cuenta que mientras A ₆ y A ₇ tienen un multiplicador Schur excepcional (una cubierta triple ) y que estos se extienden a cubiertas triples de S ₆ y S ₇ , estos no corresponden a multiplicadores Schur excepcionales del grupo simétrico.

Mapas entre grupos simétricos

Aparte del mapa trivial S _n → C ₁ ≅ S ₀ ≅ S ₁ y el mapa de signos S _n → S ₂ , los homomorfismos más notables entre grupos simétricos, en orden de dimensión relativa , son:

• S ₄ → S ₃ correspondiente al subgrupo normal excepcional V <A ₄ <S ₄ ;
• S ₆ → S ₆ (o más bien, una clase de tales mapas hasta el automorfismo interno) correspondiente al automorfismo externo de S ₆ .
• S ₅ → S ₆ como un subgrupo transitivo, produciendo el automorfismo externo de S ₆ como se discutió anteriormente.

También hay una serie de otros homomorfismos S _m → S _n donde m < n .

Relación con grupo alterno

Para n ≥ 5 , el grupo alterno A _n es simple , y el cociente inducido es el mapa de signos: A _n → S _n → S ₂ que se divide tomando una transposición de dos elementos. Por lo tanto, S _n es el producto semidirecto A _n ⋊ S ₂ , y no tiene otros subgrupos normales propios, ya que intersecarían A _n en la identidad (y por lo tanto ellos mismos serían la identidad o un grupo de 2 elementos, lo cual no es normal) , o en A _n (y por lo tanto ellos mismos son A _n o S _n ).

S _n actúa sobre su subgrupo A _n por conjugación, y para n ≠ 6 , S _n es el grupo de automorfismo completo de A _n : Aut (A _n ) ≅ S _n . La conjugación por elementos pares son automorfismos internos de A _n mientras que el automorfismo externo de A _n de orden 2 corresponde a la conjugación por un elemento impar. Para n = 6 , hay un automorfismo externo excepcional de A _n, por lo que S _n no es el grupo de automorfismos completo de A _n .

Por el contrario, para n ≠ 6 , S _n no tiene automorfismos externos, y para n ≠ 2 no tiene centro, por lo que para n ≠ 2, 6 es un grupo completo , como se explica en el grupo de automorfismos , a continuación.

Para n ≥ 5 , S _n es un grupo casi simple , ya que se encuentra entre el grupo simple A _n y su grupo de automorfismos.

S _n se puede incrustar en A _{n +2} añadiendo la transposición ( n + 1, n + 2) a todas las permutaciones impares, mientras que la incrustación en A _{n +1} es imposible para n > 1 .

Generadores y relaciones

El grupo simétrico de n letras es generado por las transposiciones adyacentes que intercambian i e i + 1 . La colección genera S _n sujeto a las siguientes relaciones: ${\displaystyle \sigma _{i}=(i,i+1)}$${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$

• ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1,}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$para y${\displaystyle |i-j|>1}$
• ${\displaystyle (\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,}$

donde 1 representa la permutación de identidad. Esta representación dota al grupo simétrico de la estructura de un grupo Coxeter (y por tanto también un grupo de reflexión ).

Otros posibles conjuntos de generación incluyen el conjunto de transposiciones que intercambian 1 e i por 2 ≤ i ≤ n , y un conjunto que contiene cualquier ciclo n y un ciclo 2 de elementos adyacentes en el ciclo n .

Estructura de subgrupos

Un subgrupo de un grupo simétrico se denomina grupo de permutación .

Subgrupos normales

Se comprenden bien los subgrupos normales de los grupos simétricos finitos. Si n ≤ 2 , S _n tiene como máximo 2 elementos, por lo que no tiene subgrupos propios no triviales. El grupo alterno de grado n es siempre un subgrupo normal, uno propio para n ≥ 2 y no trivial para n ≥ 3 ; para n ≥ 3 es de hecho el único subgrupo normal propio no trivial de S _n , excepto cuando n = 4 donde hay un subgrupo normal adicional de este tipo, que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein .

El grupo simétrico en un conjunto infinito no tiene un subgrupo de índice 2, ya que Vitali (1915) demostró que cada permutación se puede escribir como un producto de tres cuadrados. Sin embargo, contiene el subgrupo S normal de permutaciones que fijan todos los elementos, excepto un número finito, que se genera mediante transposiciones. Aquellos elementos de S que son producto de un número par de transposiciones forman un subgrupo de índice 2 en S , llamado el alterna subgrupo A . Dado que A es incluso un subgrupo característico de S , también es un subgrupo normal del grupo simétrico completo del conjunto infinito. Los grupos A y S son los únicos subgrupos normales propios no triviales del grupo simétrico en un conjunto infinito numerable. Esto fue probado por primera vez por Onofri (1929) e independientemente Schreier - Ulam (1934). Para más detalles, ver ( Scott 1987 , Capítulo 11.3) o ( Dixon & Mortimer 1996 , Capítulo 8.1).

Subgrupos máximos

Los subgrupos máximos de los grupos simétricos finitos se dividen en tres clases: el intransitivo, el imprimitivo y el primitivo. Los subgrupos máximos intransitivos son exactamente los de la forma Sym ( k ) × Sym ( n - k ) para 1 ≤ k < n / 2 . Los subgrupos máximos imprimitivos son exactamente los de la forma Sym ( k ) wr Sym ( n / k ) donde 2 ≤ k ≤ n / 2 es un divisor propio de ny "wr" denota el producto de la corona que actúa imprimitivamente. Los subgrupos máximos primitivos son más difíciles de identificar, pero con la ayuda del teorema de O'Nan-Scott y la clasificación de grupos simples finitos , ( Liebeck, Praeger & Saxl 1988 ) dieron una descripción bastante satisfactoria de los subgrupos máximos de este tipo. según ( Dixon & Mortimer 1996 , p. 268).

Subgrupos de Sylow

Los subgrupos de Sylow de los grupos simétricos son ejemplos importantes de p -grupos . Primero se describen más fácilmente en casos especiales:

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p son solo los subgrupos cíclicos generados por p -ciclos. Hay ( p - 1)! / ( P - 1) = ( p - 2)! tales subgrupos simplemente contando los generadores. Por lo tanto, el normalizador tiene orden p ⋅ ( p - 1) y se conoce como un grupo de Frobenius F _{p ( p −1)} (especialmente para p = 5 ), y es el grupo lineal general afín , AGL (1, p ) .

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p ² son el producto de corona de dos grupos cíclicos de orden p . Por ejemplo, cuando p = 3 , un subgrupo de Sylow 3 de Sym (9) es generado por a = (1 4 7) (2 5 8) (3 6 9) y los elementos x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9) , y cada elemento del subgrupo 3 de Sylow tiene la forma a ⁱ x ^j y ^k z ^l para . ${\displaystyle 0\leq i,j,k,l\leq 2}$

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p ^{n a} veces se denotan W _p ( n ), y usando esta notación se tiene que W _p ( n + 1) es el producto de corona de W _p ( n ) y W _p ( 1).

En general, el Sylow p -subgroups del grupo simétrico de grado n son un producto directo de un _i copias de W _p ( i ), donde 0 ≤ un _i ≤ p - 1 y n = un ₀  +  p ⋅ un ₁  + ... +  p ^k ⋅ a _k (la base p expansión de n ).

Por ejemplo, W ₂ (1) = C ₂ y W ₂ (2) = D ₈ , el grupo diedro de orden 8 , por lo que un subgrupo Sylow 2 del grupo simétrico de grado 7 es generado por {(1,3 ) (2,4), (1,2), (3,4), (5,6)} y es isomorfo a D ₈ × C ₂ .

Estos cálculos se atribuyen a ( Kaloujnine 1948 ) y se describen con más detalle en ( Rotman 1995 , p. 176) . Sin embargo , tenga en cuenta que ( Kerber 1971 , p. 26) atribuye el resultado a un trabajo de Cauchy de 1844 , y menciona que incluso está cubierto en forma de libro de texto en ( Netto 1882 , §39-40). harv error: no target: CITEREFRotman1995 (help)

Subgrupos transitivos

Un subgrupo transitivo de S _n es un subgrupo cuya acción sobre {1, 2,, ...,  n } es transitiva . Por ejemplo, el grupo de Galois de una extensión de Galois ( finita ) es un subgrupo transitivo de S _n , para algunos n .

Teorema de Cayley

El teorema de Cayley establece que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de algún grupo simétrico. En particular, se puede tomar un subgrupo del grupo simétrico de los elementos de G , ya que cada grupo actúa fielmente sobre sí mismo mediante la multiplicación (izquierda o derecha).

Grupo de automorfismo

norte	Aut (S n )	Fuera (S n )	Z (S n )
n ≠ 2, 6	S n	C 1	C 1
n = 2	C 1	C 1	S 2
n = 6	S 6 ⋊ C 2	C 2	C 1

Para n ≠ 2, 6 , S _n es un grupo completo : su grupo de automorfismo central y externo son ambos triviales.

Para n = 2 , el grupo de automorfismos es trivial, pero S ₂ no es trivial: es isomorfo a C ₂ , que es abeliano y, por tanto, el centro es el grupo completo.

Para n = 6 , tiene un automorfismo externo de orden 2: Out (S ₆ ) = C ₂ , y el grupo de automorfismo es un producto semidirecto Aut (S ₆ ) = S ₆ ⋊ C ₂ .

De hecho, para cualquier conjunto X de cardinalidad distinto de 6, cada automorfismo del grupo simétrico en X es interno, un resultado primero debido a ( Schreier & Ulam 1937 ) según ( Dixon & Mortimer 1996 , p. 259). harv error: no target: CITEREFSchreierUlam1937 (help)

Homologia

La homología de grupo de S _n es bastante regular y se estabiliza: la primera homología (concretamente, la abelianización ) es:

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}}$

El primer grupo de homología es la abelianización, y corresponde al mapa de signos S _n → S ₂ que es la abelianización para n ≥ 2; para n <2 el grupo simétrico es trivial. Esta homología se calcula fácilmente de la siguiente manera: S _n se genera por involuciones (2 ciclos, que tienen orden 2), por lo que los únicos mapas no triviales S _n → C _p son para S ₂ y todas las involuciones están conjugadas, por lo tanto, se asignan a el mismo elemento en la abelianización (ya que la conjugación es trivial en los grupos abelianos). Así, los únicos mapas posibles S _n → S ₂ ≅ {± 1} envían una involución a 1 (el mapa trivial) o a −1 (el mapa de signos). También se debe demostrar que el mapa de signos está bien definido, pero asumiendo eso, esto da la primera homología de S _n .

La segunda homología (concretamente, el multiplicador de Schur ) es:

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

Esto se calculó en ( Schur 1911 ) y corresponde a la doble cobertura del grupo simétrico , 2 · S _n .

Nótese que la homología excepcional de baja dimensión del grupo alterno ( correspondiente a la abelianización no trivial, y debido a la excepcional cobertura triple) no cambia la homología del grupo simétrico; los fenómenos de grupos alternos producen fenómenos de grupos simétricos - el mapa se extiende y las cubiertas triples de A ₆ y A _{7 se} extienden a cubiertas triples de S ₆ y S ₇ - pero estos no son homológicos - el mapa no cambia la abelianización de S ₄ , y las cubiertas triples tampoco corresponden a homología. ${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},}$${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},}$${\displaystyle \mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}}$

La homología se "estabiliza" en el sentido de la teoría de la homotopía estable : hay un mapa de inclusión S _n → S _{n +1} , y para k fijo , el mapa inducido sobre la homología H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) es un isomorfismo para n suficientemente alto . Esto es análogo a la homología de familias que estabilizan los grupos de Lie .

La homología del grupo simétrico infinito se calcula en ( Nakaoka 1961 ), con el álgebra de cohomología formando un álgebra de Hopf .

Teoría de la representación

La teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de grupos finitos , para lo cual se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esto tiene una gran área de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta problemas de mecánica cuántica para varias partículas idénticas .

El grupo simétrico S _n tiene orden n !. Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de  n . Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de la representación de un grupo finito, el número de representaciones irreductibles inequivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de  n . A diferencia de la situación general para grupos finitos, de hecho existe una forma natural de parametrizar la representación irreductible por el mismo conjunto que parametriza las clases de conjugación, es decir, por particiones de n o diagramas de Young equivalentes de tamaño  n .

Cada una de estas representaciones irreductibles se puede realizar sobre los números enteros (cada permutación actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); se puede construir explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por los cuadros de forma de Young dados por el diagrama de Young.

En otros campos, la situación puede volverse mucho más complicada. Si el campo K tiene una característica igual a cero o mayor que n, entonces, según el teorema de Maschke, el álgebra de grupos K S _n es semisimple. En estos casos, las representaciones irreductibles definidas sobre los números enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo la característica si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreductibles del grupo simétrico no se conocen en característica arbitraria. En este contexto, es más habitual utilizar el lenguaje de módulos en lugar de representaciones. La representación obtenida de una representación irreductible definida sobre los enteros reduciendo módulo la característica no será en general irreductible. Los módulos así construidos se denominan módulos de Specht , y todo irreducible surge dentro de algún módulo de este tipo. Ahora hay menos irreductibles y, aunque se pueden clasificar, se comprenden muy poco. Por ejemplo, incluso sus dimensiones no se conocen en general.

La determinación de los módulos irreductibles para el grupo simétrico sobre un campo arbitrario es ampliamente considerada como uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.

Ver también

• Grupo de trenzas
• Historia de la teoría de grupos
• Grupo simétrico firmado y grupo simétrico generalizado
• Simetría en mecánica cuántica § Simetría de intercambio o simetría de permutación
• Semigrupo inverso simétrico
• Poder simétrico

Notas

Referencias

enlaces externos

• "Grupo simétrico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Grupo simétrico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Gráfico de grupo simétrico" . MathWorld .
• Marcus du Sautoy: Simetría, el acertijo de la realidad (video de una charla)
• Entradas OEIS que tratan con el Grupo Simétrico