Diffeomorfismo - Diffeomorphism

En matemáticas , un difeomorfismo es un isomorfismo de variedades suaves . Es una función invertible que mapea una variedad diferenciable a otra, de modo que tanto la función como su inversa son suaves .

La imagen de una cuadrícula rectangular sobre un cuadrado bajo un difeomorfismo del cuadrado sobre sí mismo.

Definición

Dadas dos variedades y , un mapa diferenciable se llama difeomorfismo si es una biyección y su inverso también es diferenciable. Si estas funciones son veces continuamente diferenciables , se denomina -diffeomorfismo .

Dos variedades y son difeomorfos (generalmente denotados ) si hay un difeomorfismo de a . Son - difeomórficos si hay un mapa biyectivo diferenciable de tiempos continuamente entre ellos, cuya inversa también es diferenciable de tiempos continuamente.

Diffeomorfismos de subconjuntos de variedades

Dado un subconjunto X de una variedad M y un subconjunto Y de una variedad N , se dice que una función f  : X  → Y es suave si para todo p en X hay una vecindad U  ⊆ M de py una función suave g  : U  → N de manera que las restricciones concuerden: (tenga en cuenta que g es una extensión de f ). Se dice que la función f es un difeomorfismo si es biyectiva, suave y su inversa es suave.

Descripción local

Teorema de Hadamard-Caccioppoli

Si U , V están conectados subconjuntos abiertos de R n tal que V simplemente está conectado , un mapa diferenciable f  : U  → V es un difeomorfismo si es apropiado y si el diferencial Df x  : R n  → R n es biyectivo (y por lo tanto un isomorfismo lineal ) en cada punto x en U .

Primer comentario

Es esencial que V esté simplemente conectado para que la función f sea ​​globalmente invertible (bajo la única condición de que su derivada sea un mapa biyectivo en cada punto). Por ejemplo, considere la "realización" de la función cuadrada compleja

Entonces f es sobreyectiva y satisface

Por tanto, aunque Df x es biyectiva en cada punto, f no es invertible porque no es inyectiva (por ejemplo, f (1, 0) = (1, 0) = f (−1, 0)).

Segundo comentario

Dado que el diferencial en un punto (para una función diferenciable)

es un mapa lineal , tiene una inversa bien definida si y solo si Df x es una biyección. La representación matricial de Df x es la matriz n  ×  n de derivadas parciales de primer orden cuya entrada en la i -ésima fila y la j -ésima columna es . Esta llamada matriz jacobiana se utiliza a menudo para cálculos explícitos.

Tercera observación

Los difeomorfismos son necesariamente entre variedades de la misma dimensión . Imagínese f yendo de la dimensión n a la dimensión k . Si n  <  k entonces Df x nunca podría ser sobreyectiva, y si n  >  k entonces Df x nunca podría ser inyectiva. En ambos casos, por tanto, Df x no es una biyección.

Cuarto comentario

Si Df x es una biyección en x, entonces se dice que f es un difeomorfismo local (ya que, por continuidad, Df y también será biyectiva para todo y lo suficientemente cerca de x ).

Quinta observación

Dado un mapa uniforme desde la dimensión n hasta la dimensión k , si Df (o, localmente, Df x ) es sobreyectiva, se dice que f es una inmersión (o, localmente, una "inmersión local"); y si Df (o, localmente, Df x ) es inyectiva, se dice que f es una inmersión (o, localmente, una "inmersión local").

Sexta observación

Una biyección diferenciable no es necesariamente un difeomorfismo. f ( x ) =  x 3 , por ejemplo, no es un difeomorfismo de R a sí mismo porque su derivada se desvanece en 0 (y por lo tanto su inverso no es diferenciable en 0). Este es un ejemplo de un homeomorfismo que no es un difeomorfismo.

Séptimo comentario

Cuando f es un mapa entre variedades diferenciables , una f difeomórfica es una condición más fuerte que una f homeomórfica . Para un difeomorfismo, f y su inverso necesitan ser diferenciables ; para un homeomorfismo, fy su inverso solo necesitan ser continuos . Todo difeomorfismo es un homeomorfismo, pero no todo homeomorfismo es un difeomorfismo.

f  : M  → N se denomina difeomorfismo si, en los gráficos de coordenadas , satisface la definición anterior. Más precisamente: Escoja cualquier portada de M por compatibles coordinar las tablas y hacer lo mismo para N . Sean φ y ψ gráficos en, respectivamente, M y N , con U y V como, respectivamente, las imágenes de φ y ψ. El mapa ψ f φ −1  : U  → V es entonces un difeomorfismo como en la definición anterior, siempre que f−1 (U)) ⊆ ψ −1 (V).

Ejemplos de

Dado que cualquier variedad puede parametrizarse localmente, podemos considerar algunos mapas explícitos de R 2 en R 2 .

  • Dejar
Podemos calcular la matriz jacobiana:
La matriz Jacobiana tiene cero determinante si y sólo si xy = 0. Vemos que f sólo podía ser un difeomorfismo lejos de la x eje x y la y eje y. Sin embargo, f no es biyectiva ya que f ( x ,  y ) = f (- x ,  y ), por lo que no puede ser un difeomorfismo.
  • Dejar
donde y son números reales arbitrarios , y los términos omitidos son de grado al menos dos en x e y . Podemos calcular la matriz jacobiana en 0 :
Vemos que g es un difeomorfismo local en 0 si, y solo si,
es decir, los términos lineales en las componentes de g son linealmente independientes como polinomios .
  • Dejar
Podemos calcular la matriz jacobiana:
¡La matriz jacobiana tiene un determinante cero en todas partes! De hecho, vemos que la imagen de h es el círculo unitario .

Deformaciones superficiales

En mecánica , una transformación inducida por tensión se denomina deformación y puede describirse mediante un difeomorfismo. Un difeomorfismo f  : UV entre dos superficies U y V tiene una matriz jacobiana Df que es una matriz invertible . De hecho, se requiere que para p en U , hay un vecindario de p en la que la jacobiana Df permanece no singular . Supongamos que en un gráfico de la superficie,

El diferencial total de u es

, y de manera similar para el v .

Entonces la imagen es una transformación lineal , fijando el origen, y expresable como la acción de un número complejo de un tipo particular. Cuando ( dx ,  dy ) también se interpreta como ese tipo de número complejo, la acción es de multiplicación compleja en el plano de números complejos apropiado. Como tal, existe un tipo de ángulo ( euclidiano , hiperbólico o inclinado ) que se conserva en dicha multiplicación. Debido a que Df es invertible, el tipo de número complejo es uniforme en la superficie. En consecuencia, una deformación superficial o difeomorfismo de superficies tiene la propiedad conforme de preservar (el tipo apropiado de) ángulos.

Grupo de difeomorfismo

Sea M una variedad diferenciable que es contable en segundo lugar y de Hausdorff . El grupo de difeomorfismos de M es el grupo de todos los C r difeomorfismos de M a sí mismo, denotado por Diff r ( M ) o, cuando se entiende r , Diff ( M ). Este es un grupo "grande", en el sentido de que, siempre que M no sea de dimensión cero, no es localmente compacto .

Topología

El grupo de difeomorfismo tiene dos topologías naturales : débil y fuerte ( Hirsch 1997 ). Cuando el colector es compacto , estas dos topologías concuerdan. La topología débil siempre es metrizable . Cuando el colector no es compacto, la topología fuerte captura el comportamiento de las funciones "en el infinito" y no es metrizable. Sin embargo, sigue siendo Baire .

Al fijar una métrica de Riemann en M , la topología débil es la topología inducida por la familia de métricas

como K varía a lo largo subconjuntos compactos de M . De hecho, desde M es σ-compacto, hay una secuencia de subconjuntos compactos K n cuya unión es M . Luego:

El grupo de difeomorfismo equipado con su topología débil es localmente homeomórfico al espacio de los campos vectoriales C r ( Leslie 1967 ). Sobre un subconjunto compacto de M , esto sigue al fijar una métrica de Riemann en M y usar el mapa exponencial para esa métrica. Si r es finito y la variedad es compacta, el espacio de los campos vectoriales es un espacio de Banach . Además, los mapas de transición de un gráfico de este atlas a otro son suaves, lo que convierte al grupo de difeomorfismo en una variedad de Banach con traducciones correctas suaves; las traslaciones a la izquierda y la inversión son solo continuas. Si r  = ∞, el espacio de campos vectoriales es un espacio de Fréchet . Además, los mapas de transición son suaves, lo que convierte al grupo de difeomorfismo en una variedad de Fréchet e incluso en un grupo de Fréchet Lie regular . Si la variedad es σ-compacta y no compacta, el grupo de difeomorfismo completo no es localmente contraíble para ninguna de las dos topologías. Uno tiene que restringir el grupo controlando la desviación de la identidad cerca del infinito para obtener un grupo de difeomorfismo que es una variedad; ver ( Michor y Mumford 2013 ).

Álgebra de mentiras

El álgebra de Lie del grupo de difeomorfismo de M consta de todos los campos vectoriales en M equipados con el corchete de Lie de campos vectoriales . De manera algo formal, esto se ve haciendo un pequeño cambio en la coordenada en cada punto del espacio:

entonces los generadores infinitesimales son los campos vectoriales

Ejemplos de

  • Cuando M  = G es un grupo de Lie , hay una inclusión natural de G en su propio grupo de difeomorfismo a través de la traducción a la izquierda. Deje que Diff ( G ) denote el grupo de difeomorfismo de G , entonces hay una división Diff ( G ) ≃ G  × Diff ( G ,  e ), donde Diff ( G ,  e ) es el subgrupo de Diff ( G ) que fija la identidad elemento del grupo.
  • El grupo de difeomorfismos del espacio euclidiano R n consta de dos componentes, que consisten en los difeomorfismos que conservan la orientación y que invierten la orientación. De hecho, el grupo lineal general es una deformación retraída del subgrupo Diff ( R n , 0) de difeomorfismos que fijan el origen bajo el mapa f ( x ) ↦ f ( tx ) / t , t  ∈ (0,1]. en particular, el grupo lineal general es también una retracción de deformación del grupo de difeomorfismo completo.
  • Para un conjunto finito de puntos, el grupo de difeomorfismo es simplemente el grupo simétrico . De manera similar, si M es cualquier variedad, hay una extensión de grupo 0 → Diff 0 ( M ) → Diff ( M ) → Σ (π 0 ( M )). Aquí Diff 0 ( M ) es el subgrupo de Diff ( M ) que conserva todos los componentes de M , y Σ (π 0 ( M )) es el grupo de permutación del conjunto π 0 ( M ) (los componentes de M ). Además, la imagen del mapa Diff ( M ) → Σ (π 0 ( M )) son las biyecciones de π 0 ( M ) que conservan las clases de difeomorfismo.

Transitividad

Para un colector conectado M , el grupo difeomorfismo actúa transitivamente en M . Más en general, el grupo difeomorfismo actúa transitivamente en el espacio de configuración C k M . Si M es al menos bidimensional, el grupo de difeomorfismo actúa transitivamente sobre el espacio de configuración F k M y la acción sobre M es transitiva múltiple ( Banyaga 1997 , p. 29).

Extensiones de difeomorfismos

En 1926, Tibor Radó preguntó si la extensión armónica de cualquier homeomorfismo o difeomorfismo del círculo unitario al disco unitario produce un difeomorfismo en el disco abierto. Hellmuth Kneser proporcionó una elegante prueba poco después . En 1945, Gustave Choquet , aparentemente inconsciente de este resultado, presentó una prueba completamente diferente.

El grupo de difeomorfismo (que preserva la orientación) del círculo está conectado por trayectorias. Esto puede verse observando que cualquier difeomorfismo de este tipo puede elevarse a un difeomorfismo f de los reales que satisfacen [ f ( x  + 1) = f ( x ) + 1]; este espacio es convexo y, por tanto, está conectado con una trayectoria. Un camino suave y eventualmente constante hacia la identidad proporciona una segunda forma más elemental de extender un difeomorfismo desde el círculo hasta el disco de la unidad abierta (un caso especial del truco de Alexander ). Además, el grupo de difeomorfismo del círculo tiene el tipo de homotopía del grupo ortogonal O (2).

El problema de extensión correspondiente para difeomorfismos de esferas de dimensiones superiores S n −1 fue muy estudiado en los años cincuenta y sesenta, con notables contribuciones de René Thom , John Milnor y Stephen Smale . Una obstrucción a tales extensiones viene dada por el grupo abeliano finito Γ n , el " grupo de esferas retorcidas ", definido como el cociente del grupo de componentes abelianos del grupo de difeomorfismos por el subgrupo de clases que se extienden a difeomorfismos de la bola B n .

Conectividad

Para variedades, el grupo de difeomorfismo generalmente no está conectado. Su grupo de componentes se denomina grupo de clases de mapeo . En la dimensión 2 (es decir, superficies ), el grupo de clases de mapeo es un grupo presentado de forma finita generado por giros de Dehn ( Dehn , Lickorish , Hatcher ). Max Dehn y Jakob Nielsen demostraron que se puede identificar con el grupo de automorfismo externo del grupo fundamental de la superficie.

William Thurston refinó este análisis clasificando los elementos del grupo de clases cartográficas en tres tipos: los equivalentes a un difeomorfismo periódico ; los equivalentes a un difeomorfismo que deja invariante una curva cerrada simple; y los equivalentes a difeomorfismos pseudo-Anosov . En el caso del toro S 1  ×  S 1  = R 2 / Z 2 , el grupo de clases de mapeo es simplemente el grupo modular SL (2,  Z ) y la clasificación se vuelve clásica en términos de matrices elípticas , parabólicas e hiperbólicas . Thurston logró su clasificación al observar que el grupo de clases de mapeo actuó naturalmente en una compactificación del espacio de Teichmüller ; como este espacio ampliado era homeomorfo a una bola cerrada, el teorema del punto fijo de Brouwer se volvió aplicable. Smale conjeturó que si M es una variedad cerrada suave orientada , el componente de identidad del grupo de difeomorfismos que preservan la orientación es simple . Esto había sido probado por primera vez para un producto de círculos por Michel Herman ; Thurston lo demostró con total generalidad.

Tipos de homotopía

  • El grupo de difeomorfismo de S 2 tiene el tipo de homotopía del subgrupo O (3). Esto fue probado por Steve Smale.
  • El grupo de difeomorfismos del toro tiene el tipo de homotopía de sus automorfismos lineales : S 1  ×  S 1  × GL (2, Z ).
  • Los grupos de difeomorfismo de superficies orientables del género g  > 1 tienen el tipo de homotopía de sus grupos de clases de mapeo (es decir, los componentes son contráctiles).
  • El tipo de homotopía de los grupos de difeomorfismo de 3 variedades se comprende bastante bien a través del trabajo de Ivanov, Hatcher, Gabai y Rubinstein, aunque hay algunos casos abiertos pendientes (principalmente 3 variedades con grupos fundamentales finitos ).
  • El tipo de homotopía de los grupos de difeomorfismo de n- múltiples para n  > 3 son poco conocidos. Por ejemplo, es un problema abierto si Diff ( S 4 ) tiene o no más de dos componentes. Sin embargo, a través de Milnor, Kahn y Antonelli, se sabe que siempre que n  > 6, Diff ( S n ) no tenga el tipo de homotopía de un complejo CW finito .

Homeomorfismo y difeomorfismo

A diferencia de los homeomorfismos no difeomórficos, es relativamente difícil encontrar un par de variedades homeomórficas que no sean difeomórficas. En las dimensiones 1, 2 y 3, cualquier par de variedades lisas homeomórficas son difeomórficas. En la dimensión 4 o mayor, se han encontrado ejemplos de pares homeomórficos pero no difeomórficos. El primer ejemplo de este tipo fue construido por John Milnor en dimensión 7. Construyó una variedad lisa de 7 dimensiones (llamada ahora esfera de Milnor ) que es homeomorfa a la 7-esfera estándar pero no difeomórfica a ella. De hecho, hay 28 clases de difeomorfismo orientado de variedades homeomórficas a la 7-esfera (cada una de ellas es el espacio total de un haz de fibras sobre la 4-esfera con la 3-esfera como fibra).

Se producen fenómenos más inusuales para 4 variedades . En la década de 1980, una combinación de los resultados debido a Simon Donaldson y Michael Freedman llevó al descubrimiento de exóticos R 4 s : hay uncountably muchos subconjuntos abiertos pairwise no difeomorfa de R 4 cada uno de los cuales se homeomorfo a R 4 , y también Hay innumerables variedades diferenciables no difeomórficas por pares homeomórficas a R 4 que no se incrustan suavemente en R 4 .

Ver también

Notas

Referencias