Matemáticas -Mathematics

Euclides , matemático griego del siglo III a. C. (sosteniendo calibradores ), como lo imaginó Rafael en este detalle de La escuela de Atenas (1509-1511)

Las matemáticas (del griego antiguo μάθημα ( máthēma )  'conocimiento, estudio, aprendizaje') es un área de conocimiento que incluye el estudio de temas como números ( aritmética y teoría de números ), fórmulas y estructuras relacionadas ( álgebra ), formas y espacios. en que están contenidos ( geometría ), y cantidades y sus cambios ( cálculo y análisis ). No existe un consenso general sobre su alcance exacto o estatus epistemológico .

La mayor parte de la actividad matemática consiste en descubrir y probar (por puro razonamiento) las propiedades de los objetos abstractos . Estos objetos son abstracciones de la naturaleza (como números naturales o líneas ) o (en las matemáticas modernas) entidades abstractas de las que se estipulan ciertas propiedades, llamadas axiomas . Una demostración consiste en una sucesión de aplicaciones de algunas reglas deductivas a resultados ya conocidos, incluidos teoremas , axiomas y (en caso de abstracción de la naturaleza) algunas propiedades básicas que se consideran como verdaderos puntos de partida de la teoría en consideración. El resultado de una prueba se llama teorema .

Las matemáticas son ampliamente utilizadas en la ciencia para modelar fenómenos. Esto permite la extracción de predicciones cuantitativas a partir de leyes experimentales. Por ejemplo, el movimiento de los planetas se puede predecir con gran precisión utilizando la ley de gravitación de Newton combinada con cálculos matemáticos. La independencia de la verdad matemática de cualquier experimentación implica que la precisión de tales predicciones depende únicamente de la adecuación del modelo para describir la realidad. Entonces, cuando surgen algunas predicciones inexactas, significa que el modelo debe mejorarse o cambiarse, no que las matemáticas estén equivocadas. Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio no puede explicarse mediante la ley de gravitación de Newton, pero se explica con precisión mediante la relatividad general de Einstein . Esta validación experimental de la teoría de Einstein muestra que la ley de gravitación de Newton es solo una aproximación (que aún es muy precisa en la vida cotidiana).

Las matemáticas son esenciales en muchos campos, incluidas las ciencias naturales , la ingeniería , la medicina , las finanzas , la informática y las ciencias sociales . Algunas áreas de las matemáticas, como la estadística y la teoría de juegos , se desarrollan en correlación directa con sus aplicaciones y, a menudo, se agrupan bajo el nombre de matemáticas aplicadas . Otras áreas matemáticas se desarrollan independientemente de cualquier aplicación (y por ello se denominan matemáticas puras ), pero las aplicaciones prácticas suelen descubrirse más tarde. Un buen ejemplo es el problema de la factorización de enteros , que se remonta a Euclides , pero que no tenía aplicación práctica antes de su uso en el criptosistema RSA (para la seguridad de las redes informáticas ).

Las matemáticas han sido una actividad humana desde que existen registros escritos . Sin embargo, el concepto de "prueba" y su " rigor matemático " asociado aparecieron por primera vez en las matemáticas griegas , sobre todo en los Elementos de Euclides . Las matemáticas se desarrollaron a un ritmo relativamente lento hasta el Renacimiento , cuando el álgebra y el cálculo infinitesimal se agregaron a la aritmética y la geometría como áreas principales de las matemáticas. Desde entonces, la interacción entre las innovaciones matemáticas y los descubrimientos científicos ha llevado a un rápido aumento en la tasa de descubrimientos matemáticos. A finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas llevó a la sistematización del método axiomático . Esto, a su vez, dio lugar a un aumento espectacular del número de áreas matemáticas y sus campos de aplicación; testimonio de ello es la Clasificación de Materias Matemáticas , que enumera más de sesenta áreas de primer nivel de las matemáticas.

áreas de las matemáticas

Antes del Renacimiento , las matemáticas se dividían en dos áreas principales: la aritmética , dedicada a la manipulación de los números , y la geometría , dedicada al estudio de las formas. También había algunas pseudociencias , como la numerología y la astrología , que no se distinguían claramente de las matemáticas.

Alrededor del Renacimiento, aparecieron dos nuevas áreas principales. La introducción de la notación matemática condujo al álgebra , que, en términos generales, consiste en el estudio y la manipulación de fórmulas . Cálculo , una abreviatura de cálculo infinitesimal y cálculo integral , es el estudio de funciones continuas , que modelan el cambio y la relación entre cantidades variables ( variables ). Esta división en cuatro áreas principales se mantuvo vigente hasta finales del siglo XIX, aunque algunas áreas, como la mecánica celeste y la mecánica de sólidos , que a menudo se consideraban matemáticas, ahora se consideran pertenecientes a la física . Además, algunas materias desarrolladas durante este período son anteriores a las matemáticas (están divididas en diferentes áreas), como la teoría de la probabilidad y la combinatoria , que solo más tarde se consideraron áreas autónomas propias.

A finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas y la consecuente sistematización del método axiomático provocaron una explosión en la cantidad de áreas de las matemáticas. La Clasificación de Materias de Matemáticas contiene más de 60 áreas de primer nivel. Algunas de estas áreas corresponden a la división anterior en cuatro áreas principales. Este es el caso de la teoría de números (el nombre moderno de la aritmética superior ) y la Geometría . Sin embargo, hay varias otras áreas de primer nivel que tienen "geometría" en su nombre o que comúnmente se consideran pertenecientes a la geometría. Álgebra y cálculo no aparecen como áreas de primer nivel, pero cada una se divide en varias áreas de primer nivel. Otras áreas de primer nivel no existían en absoluto antes del siglo XX (por ejemplo , la teoría de categorías , el álgebra homológica y la informática ) o no se consideraban antes como matemáticas, como 03: Lógica y fundamentos matemáticos (incluida la teoría de modelos , la teoría de la computabilidad , teoría de conjuntos , teoría de la demostración y lógica algebraica ).

Teoría de los números

La distribución de los números primos es un punto central de estudio en la teoría de números. Esta espiral de Ulam sirve para ilustrarlo, insinuando, en particular, la independencia condicional entre ser primo y ser un valor de ciertos polinomios cuadráticos.

La teoría de números comenzó con la manipulación de números , es decir, números naturales y luego se expandió a números enteros y números racionales . La teoría de números se llamaba anteriormente aritmética , pero hoy en día este término se usa principalmente para los métodos de cálculo con números.

Una especificidad de la teoría de números es que muchos problemas que pueden plantearse de manera muy elemental son muy difíciles y, cuando se resuelven, tienen una solución que requiere métodos muy sofisticados provenientes de varias partes de las matemáticas. Un ejemplo notable es el último teorema de Fermat que fue enunciado en 1637 por Pierre de Fermat y probado recién en 1994 por Andrew Wiles , utilizando, entre otras herramientas, la geometría algebraica (más específicamente la teoría de esquemas ), la teoría de categorías y el álgebra homológica . Otro ejemplo es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos . Enunciado en 1742 por Christian Goldbach , sigue sin probarse a pesar de un esfuerzo considerable.

En vista de la diversidad de los problemas estudiados y los métodos de resolución, la teoría de números se divide actualmente en varias subáreas, que incluyen la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números , la geometría de números (orientada a métodos), las ecuaciones diofánticas y la teoría de la trascendencia (orientada a problemas). .

Geometría

La geometría es, junto con la aritmética , una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Comenzó con recetas empíricas sobre formas, como líneas , ángulos y círculos , que se desarrollaron principalmente por la necesidad de la topografía y la arquitectura .

Una innovación fundamental fue la elaboración de demostraciones por parte de los antiguos griegos : no es suficiente verificar por medidas que, digamos, dos longitudes son iguales. Tal propiedad debe probarse mediante un razonamiento abstracto a partir de resultados previamente probados ( teoremas ) y propiedades básicas (que se consideran evidentes porque son demasiado básicas para ser objeto de una prueba ( postulados )). Este principio, que es fundamental para todas las matemáticas, se elaboró ​​en aras de la geometría y fue sistematizado por Euclides alrededor del año 300 a. C. en su libro Elementos .

La geometría euclidiana resultante es el estudio de las formas y sus disposiciones construidas a partir de líneas , planos y círculos en el plano euclidiano ( geometría plana ) y el espacio euclidiano (tridimensional) .

La geometría euclidiana se desarrolló sin cambio de métodos ni de alcance hasta el siglo XVII, cuando René Descartes introdujo lo que ahora se llama coordenadas cartesianas . Este fue un gran cambio de paradigma, ya que en lugar de definir los números reales como longitudes de segmentos de línea (ver recta numérica ), permitió la representación de puntos usando números (sus coordenadas), y para el uso de álgebra y luego, cálculo para resolver problemas geométricos. Esta divide la geometría en dos partes que se diferencian únicamente por sus métodos, la geometría sintética , que utiliza métodos puramente geométricos, y la geometría analítica , que utiliza coordenadas sistémicamente.

La geometría analítica permite el estudio de nuevas formas, en particular curvas que no están relacionadas con círculos y líneas; estas curvas se definen como gráficos de funciones (cuyo estudio condujo a la geometría diferencial ), o mediante ecuaciones implícitas , a menudo ecuaciones polinómicas (que generaron la geometría algebraica ). La geometría analítica permite considerar espacios de dimensiones superiores a tres (basta con considerar más de tres coordenadas), que ya no son un modelo del espacio físico.

La geometría se expandió rápidamente durante el siglo XIX. Un acontecimiento importante fue el descubrimiento (en la segunda mitad del siglo XIX) de las geometrías no euclidianas , que son geometrías en las que se abandona el postulado de las paralelas . Este es, además de la paradoja de Russel , uno de los puntos de partida de la crisis fundacional de las matemáticas , al cuestionarse la verdad del postulado mencionado. Este aspecto de la crisis se solucionó sistematizando el método axiomático , y adoptando que la verdad de los axiomas escogidos no es un problema matemático. A su vez, el método axiomático permite el estudio de diversas geometrías obtenidas ya sea cambiando los axiomas o considerando propiedades que son invariantes bajo transformaciones específicas del espacio . Esto da como resultado una serie de subáreas y generalizaciones de geometría que incluyen:

Álgebra

El álgebra puede verse como el arte de manipular ecuaciones y fórmulas . Diofanto (siglo III) y Al-Khwarizmi (siglo IX) fueron dos precursores principales del álgebra. El primero resolvía algunas relaciones entre números naturales desconocidos (es decir, ecuaciones) deduciendo nuevas relaciones hasta llegar a la solución. El segundo introdujo métodos sistemáticos para transformar ecuaciones (como mover un término de un lado de una ecuación al otro lado). El término álgebra se deriva de la palabra árabe que usó para nombrar uno de estos métodos en el título de su tratado principal .

La fórmula cuadrática expresa de forma concisa las soluciones de todas las ecuaciones cuadráticas

El álgebra comenzó a ser un área específica solo con François Viète (1540-1603), quien introdujo el uso de letras ( variables ) para representar números desconocidos o no especificados. Esto permite describir de manera concisa las operaciones que se deben realizar sobre los números representados por las variables.

Hasta el siglo XIX, el álgebra consistía principalmente en el estudio de las ecuaciones lineales, lo que actualmente se denomina álgebra lineal , y de las ecuaciones polinómicas en una sola incógnita , que se denominaban ecuaciones algebraicas (término que todavía se utiliza, aunque puede resultar ambiguo). Durante el siglo XIX, las variables comenzaron a representar otras cosas además de los números (como matrices , enteros modulares y transformaciones geométricas ), en las que pueden operar algunas operaciones , que a menudo son generalizaciones de operaciones aritméticas. Para tratar esto, se introdujo el concepto de estructura algebraica , que consiste en un conjunto cuyos elementos no están especificados, operaciones que actúan sobre los elementos del conjunto y reglas que deben seguir estas operaciones. Entonces, el alcance del álgebra evolucionó para convertirse esencialmente en el estudio de estructuras algebraicas. Este objeto del álgebra se denominó álgebra moderna o álgebra abstracta , término que todavía se usa, principalmente en un contexto educativo, en oposición al álgebra elemental que se ocupa de la forma más antigua de manipular fórmulas.

Cubo de Rubik: el estudio de sus posibles movimientos es una aplicación concreta de la teoría de grupos

Algunos tipos de estructuras algebraicas tienen propiedades que son útiles y, a menudo, fundamentales en muchas áreas de las matemáticas. Su estudio son hoy en día partes autónomas del álgebra, que incluyen:

El estudio de las estructuras algebraicas de tipos como objetos matemáticos es objeto del álgebra universal y de la teoría de categorías . Esto último se aplica a todas las estructuras matemáticas (no solo a las algebraicas). En su origen, se introdujo junto con el álgebra homológica para permitir el estudio algebraico de objetos no algebraicos como los espacios topológicos ; esta área particular de aplicación se llama topología algebraica .

Cálculo y análisis

El cálculo, antes llamado cálculo infinitesimal , fue introducido en el siglo XVII por Newton y Leibniz , de forma independiente y simultánea. Es fundamentalmente el estudio de la relación de dos cantidades cambiantes, llamadas variables , de tal manera que una depende de la otra. El cálculo fue ampliado en gran medida en el siglo XVIII por Euler , con la introducción del concepto de función y muchos otros resultados. Actualmente, "cálculo" se refiere principalmente a la parte elemental de esta teoría, y "análisis" se usa comúnmente para partes avanzadas.

El análisis se subdivide en análisis real , donde las variables representan números reales y análisis complejo donde las variables representan números complejos . Actualmente existen muchas subáreas de análisis, algunas compartidas con otras áreas de las matemáticas; Incluyen:

Matemáticas discretas

Lógica matemática y teoría de conjuntos

Estos temas pertenecen a las matemáticas desde finales del siglo XIX. Antes de este período, los conjuntos no se consideraban objetos matemáticos y la lógica , aunque se usaba para demostraciones matemáticas , pertenecía a la filosofía y no era estudiada específicamente por los matemáticos.

Antes del estudio de los conjuntos infinitos por parte de Georg Cantor , los matemáticos eran reacios a considerar colecciones que en realidad son infinitas y consideraban el infinito como el resultado de una enumeración sin fin . El trabajo de Cantor ofendió a muchos matemáticos no solo al considerar conjuntos realmente infinitos, sino también al mostrar que esto implica diferentes tamaños de infinito (ver el argumento diagonal de Cantor ) y la existencia de objetos matemáticos que no pueden calcularse, y ni siquiera ser descritos explícitamente (por ejemplo , Hamel bases de los números reales sobre los números racionales ). Esto llevó a la controversia sobre la teoría de conjuntos de Cantor .

En el mismo período, apareció en varias áreas de las matemáticas que las anteriores definiciones intuitivas de los objetos matemáticos básicos eran insuficientes para asegurar el rigor matemático . Ejemplos de tales definiciones intuitivas son "un conjunto es una colección de objetos", " un número natural es lo que se usa para contar", "un punto es una forma con una longitud cero en todas las direcciones", "una curva es un rastro dejado por un punto en movimiento", etc.

Este es el origen de la crisis fundacional de las matemáticas . Ha sido finalmente resuelto en la corriente principal de las matemáticas al sistematizar el método axiomático dentro de una teoría de conjuntos formalizada . En términos generales, cada objeto matemático se define por el conjunto de todos los objetos similares y las propiedades que estos objetos deben tener. Por ejemplo, en la aritmética de Peano , los números naturales se definen por "el cero es un número", "cada número como un único sucesor", "cada número excepto el cero tiene un único predecesor" y algunas reglas de razonamiento. La "naturaleza" de los objetos definidos de esta manera es un problema filosófico que los matemáticos dejan a los filósofos, incluso si muchos matemáticos tienen opiniones sobre esta naturaleza y usan su opinión, a veces llamada "intuición", para guiar su estudio y encontrar pruebas.

Este enfoque permite considerar "lógicas" (es decir, conjuntos de reglas de deducción permitidas), teoremas , demostraciones, etc. como objetos matemáticos y probar teoremas sobre ellos. Por ejemplo, los teoremas de incompletitud de Gödel afirman, en términos generales, que, en toda teoría que contiene los números naturales, hay teoremas que son verdaderos (esto es demostrable en una teoría más amplia), pero no demostrables dentro de la teoría.

Este enfoque de los fundamentos de las matemáticas fue cuestionado durante la primera mitad del siglo XX por matemáticos encabezados por LEJ Brouwer quien promovió una lógica intuicionista que excluye la ley del medio excluido .

Estos problemas y debates llevaron a una amplia expansión de la lógica matemática, con subáreas como la teoría de modelos (modelado de algunas teorías lógicas dentro de otra teoría), teoría de la prueba, teoría de tipos, teoría de la computabilidad y teoría de la complejidad computacional . Aunque estos aspectos de la lógica matemática se introdujeron antes del surgimiento de las computadoras , su uso en el diseño de compiladores , la certificación de programas , los asistentes de prueba y otros aspectos de la informática contribuyeron a su vez a la expansión de estas teorías lógicas.

Matemáticas Aplicadas

Las matemáticas aplicadas se ocupan de los métodos matemáticos que se utilizan normalmente en la ciencia, la ingeniería , los negocios y la industria . Así, las "matemáticas aplicadas" son una ciencia matemática con conocimientos especializados . El término matemática aplicada también describe la especialidad profesional en la que los matemáticos trabajan en problemas prácticos; Como profesión centrada en problemas prácticos, las matemáticas aplicadas se centran en la "formulación, estudio y uso de modelos matemáticos" en ciencias, ingeniería y otras áreas de la práctica matemática.

En el pasado, las aplicaciones prácticas han motivado el desarrollo de las teorías matemáticas, que luego se convirtieron en el tema de estudio de las matemáticas puras, donde las matemáticas se desarrollan principalmente por sí mismas. Así, la actividad de las matemáticas aplicadas está vitalmente conectada con la investigación en matemáticas puras .

Estadística y otras ciencias de la decisión

Las matemáticas aplicadas tienen una superposición significativa con la disciplina de la estadística, cuya teoría se formula matemáticamente, especialmente con la teoría de la probabilidad . Los estadísticos (que trabajan como parte de un proyecto de investigación) "crean datos que tienen sentido" con muestreo aleatorio y experimentos aleatorios ; el diseño de una muestra o experimento estadístico especifica el análisis de los datos (antes de que los datos estén disponibles). Al reconsiderar datos de experimentos y muestras o al analizar datos de estudios observacionales , los estadísticos "dan sentido a los datos" utilizando el arte de modelar y la teoría de la inferencia , con selección y estimación de modelos ; los modelos estimados y las predicciones consiguientes deben probarse con nuevos datos .

La teoría estadística estudia problemas de decisión como minimizar el riesgo ( pérdida esperada ) de una acción estadística, como usar un procedimiento en, por ejemplo, estimación de parámetros , prueba de hipótesis y selección de los mejores . En estas áreas tradicionales de la estadística matemática , un problema de decisión estadística se formula minimizando una función objetivo , como la pérdida o el costo esperados , bajo restricciones específicas: por ejemplo, diseñar una encuesta a menudo implica minimizar el costo de estimar una media poblacional con un valor determinado. nivel de confianza Debido a su uso de la optimización , la teoría matemática de la estadística comparte preocupaciones con otras ciencias de la decisión , como la investigación de operaciones , la teoría del control y la economía matemática .

Matemáticas computacionales

Las matemáticas computacionales proponen y estudian métodos para resolver problemas matemáticos que suelen ser demasiado grandes para la capacidad numérica humana. El análisis numérico estudia métodos para problemas de análisis usando análisis funcional y teoría de aproximación ; el análisis numérico incluye ampliamente el estudio de aproximación y discretización con especial énfasis en los errores de redondeo . El análisis numérico y, más ampliamente, la computación científica también estudian temas no analíticos de la ciencia matemática, especialmente la teoría algorítmica de matrices y gráficos . Otras áreas de las matemáticas computacionales incluyen el álgebra informática y la computación simbólica .

Arbitrario-gametree-resuelto.svg BernoullisLawDerivationDiagram.svg Ilustración de regla trapezoidal compuesta small.svg Máximo en caja.png Dos dados rojos 01.svg Viejo fiel3.png Cesar3.svg
Teoría de juego Dinámica de fluidos Análisis numérico Mejoramiento Teoría de probabilidad Estadísticas Criptografía
Índice de datos de mercado NYA en 20050726 202628 UTC.png Gravitación espacio source.svg CH4-estructura.svg Vías de transducción de señales.svg PIB PPA per cápita FMI 2008.svg Control de retroalimentación simple loop2.svg
Finanzas matemáticas física matemática química matemática biología matemática Economía matemática Teoría de control

Historia

La historia de las matemáticas puede verse como una serie cada vez mayor de abstracciones . Evolutivamente hablando, la primera abstracción que tuvo lugar, compartida por muchos animales, fue probablemente la de los números: la comprensión de que una colección de dos manzanas y una colección de dos naranjas (por ejemplo) tienen algo en común, a saber, la cantidad de sus miembros. Como lo demuestran las cuentas encontradas en los huesos, además de reconocer cómo contar objetos físicos, los pueblos prehistóricos también pueden haber reconocido cómo contar cantidades abstractas, como el tiempo: días, estaciones o años.

La tablilla matemática babilónica Plimpton 322, fechada en 1800 a.

La evidencia de matemáticas más complejas no aparece hasta alrededor del 3000  a. C. , cuando los babilonios y los egipcios comenzaron a usar la aritmética , el álgebra y la geometría para los impuestos y otros cálculos financieros, para la construcción y la astronomía . Los textos matemáticos más antiguos de Mesopotamia y Egipto datan del 2000 al 1800 a. Muchos textos antiguos mencionan las ternas pitagóricas y, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el concepto matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas. Es en las matemáticas babilónicas que la aritmética elemental ( suma , resta , multiplicación y división ) aparece por primera vez en el registro arqueológico. Los babilonios también poseían un sistema de valor posicional y usaban un sistema numérico sexagesimal que todavía se usa hoy para medir ángulos y tiempo.

Arquímedes usó el método de agotamiento , representado aquí, para aproximar el valor de pi .

Comenzando en el siglo VI a. C. con los pitagóricos , con las matemáticas griegas, los antiguos griegos comenzaron un estudio sistemático de las matemáticas como un tema por derecho propio. Alrededor del año 300 a. C., Euclides introdujo el método axiomático que todavía se usa en matemáticas hoy en día, que consiste en definición, axioma, teorema y demostración. Su libro, Elementos , es ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. A menudo se considera que el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes (c. 287-212 a. C.) de Siracusa . Desarrolló fórmulas para calcular el área superficial y el volumen de sólidos de revolución y utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera no muy diferente del cálculo moderno. Otros logros notables de las matemáticas griegas son las secciones cónicas ( Apolonio de Perge , siglo III a. C.), la trigonometría ( Hiparco de Nicea , siglo II a. C.) y los comienzos del álgebra ( Diofanto , siglo III d. C.).

Los números utilizados en el manuscrito Bakhshali , fechados entre el siglo II a. C. y el siglo II d. C.

El sistema de numeración hindú-árabe y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy en día, evolucionaron a lo largo del primer milenio dC en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas . Otros desarrollos notables de las matemáticas indias incluyen la definición moderna y la aproximación de seno y coseno , y una forma temprana de series infinitas .

Una página del Álgebra de al-Khwārizmī
Leonardo Fibonacci , el matemático italiano que introdujo el sistema numérico hindú-árabe inventado entre los siglos I y IV por matemáticos indios en el mundo occidental.

Durante la Edad de Oro del Islam , especialmente durante los siglos IX y X, las matemáticas vieron muchas innovaciones importantes basadas en las matemáticas griegas. El logro más notable de las matemáticas islámicas fue el desarrollo del álgebra . Otros logros del período islámico incluyen avances en trigonometría esférica y la adición del punto decimal al sistema de numeración arábiga. Muchos matemáticos notables de este período eran persas, como Al-Khwarismi , Omar Khayyam y Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

Durante el período moderno temprano , las matemáticas comenzaron a desarrollarse a un ritmo acelerado en Europa Occidental . El desarrollo del cálculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII revolucionó las matemáticas. Leonhard Euler fue el matemático más notable del siglo XVIII y aportó numerosos teoremas y descubrimientos. Quizás el matemático más destacado del siglo XIX fue el matemático alemán Carl Gauss , quien hizo numerosas contribuciones a campos como el álgebra , el análisis , la geometría diferencial , la teoría de matrices, la teoría de números y la estadística . A principios del siglo XX, Kurt Gödel transformó las matemáticas al publicar sus teoremas de incompletitud , que muestran en parte que cualquier sistema axiomático consistente, si es lo suficientemente poderoso para describir la aritmética, contendrá proposiciones verdaderas que no se pueden demostrar.

Desde entonces, las matemáticas se han extendido mucho y ha habido una interacción fructífera entre las matemáticas y la ciencia , en beneficio de ambas. Los descubrimientos matemáticos continúan haciéndose hasta el día de hoy. Según Mikhail B. Sevryuk, en la edición de enero de 2006 del Bulletin of the American Mathematical Society , "El número de artículos y libros incluidos en la base de datos de Mathematical Reviews desde 1940 (el primer año de funcionamiento de MR) es ahora más de 1,9 millones, y más de 75 mil elementos se agregan a la base de datos cada año. La gran mayoría de los trabajos en este océano contienen nuevos teoremas matemáticos y sus pruebas ".

Etimología

La palabra matemáticas proviene del griego antiguo máthēma ( μάθημα ), que significa "lo que se aprende", "lo que uno llega a saber", por lo tanto, también "estudio" y "ciencia". La palabra para "matemáticas" llegó a tener el significado más estrecho y técnico de "estudio matemático" incluso en la época clásica. Su adjetivo es mathēmatikós ( μαθηματικός ), que significa "relacionado con el aprendizaje" o "estudioso", que también pasó a significar "matemático". En particular, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; latín : ars mathematica ) significaba "el arte matemático".

De manera similar, una de las dos principales escuelas de pensamiento del pitagorismo se conocía como mathēmatikoi (μαθηματικοί), que en ese momento significaba "aprendices" en lugar de "matemáticos" en el sentido moderno.

En latín, y en inglés hasta alrededor de 1700, el término matemáticas significaba más comúnmente " astrología " (o, a veces, " astronomía ") en lugar de "matemáticas"; el significado cambió gradualmente a su actual de alrededor de 1500 a 1800. Esto ha dado lugar a varias traducciones erróneas. Por ejemplo, la advertencia de San Agustín de que los cristianos deben tener cuidado con los mathematici , es decir, los astrólogos, a veces se traduce erróneamente como una condena de los matemáticos.

La forma plural aparente en inglés, al igual que la forma plural francesa les mathématiques (y el derivado singular menos utilizado la mathématique ), se remonta al latín neutro plural mathematica ( Cicerón ), basado en el plural griego ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), utilizado por Aristóteles (384-322 a. C.), y que significa aproximadamente "todo lo matemático", aunque es plausible que el inglés tomara prestado solo el adjetivo matemático (al) y formara el sustantivo matemáticas nuevamente, siguiendo el patrón de la física y la metafísica , que fueron heredado del griego. En inglés, el sustantivo math lleva un verbo en singular. A menudo se abrevia como matemáticas o, en América del Norte, matemáticas .

filosofia de las matematicas

No existe un consenso general sobre la definición exacta o el estado epistemológico de las matemáticas. Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad" y esta definición prevaleció hasta el siglo XVIII. Sin embargo, Aristóteles también señaló que centrarse únicamente en la cantidad puede no distinguir las matemáticas de ciencias como la física; en su opinión, la abstracción y el estudio de la cantidad como una propiedad "separable en el pensamiento" de las instancias reales distinguen a las matemáticas.

En el siglo XIX, cuando el estudio de las matemáticas aumentó en rigor y comenzó a abordar temas abstractos como la teoría de grupos y la geometría proyectiva , que no tienen una relación clara con la cantidad y la medida, matemáticos y filósofos comenzaron a proponer una variedad de nuevas definiciones. .

Muchos matemáticos profesionales no se interesan por una definición de matemática o la consideran indefinible. Ni siquiera hay consenso sobre si las matemáticas son un arte o una ciencia. Algunos simplemente dicen: "Matemáticas es lo que hacen los matemáticos".

Tres tipos principales

Los tres principales tipos de definición de las matemáticas en la actualidad se denominan logicista , intuicionista y formalista , cada uno de los cuales refleja una escuela de pensamiento filosófica diferente. Todos tienen fallas graves, ninguno tiene una aceptación generalizada y ninguna reconciliación parece posible.

Definiciones logicistas

Una definición temprana de las matemáticas en términos de lógica fue la de Benjamin Peirce (1870): "la ciencia que extrae conclusiones necesarias". En los Principia Mathematica , Bertrand Russell y Alfred North Whitehead avanzaron en el programa filosófico conocido como logicismo e intentaron probar que todos los conceptos, declaraciones y principios matemáticos pueden definirse y probarse completamente en términos de lógica simbólica . Un ejemplo de una definición logicista de las matemáticas es "Todas las matemáticas son lógica simbólica" de Russell (1903).

Definiciones intuicionistas

Las definiciones intuicionistas , desarrolladas a partir de la filosofía del matemático LEJ Brouwer , identifican las matemáticas con ciertos fenómenos mentales. Un ejemplo de una definición intuicionista es "La matemática es la actividad mental que consiste en realizar construcciones una tras otra". Una peculiaridad del intuicionismo es que rechaza algunas ideas matemáticas consideradas válidas según otras definiciones. En particular, mientras que otras filosofías de las matemáticas permiten que existan objetos cuya existencia se puede probar aunque no se puedan construir, el intuicionismo solo permite objetos matemáticos que uno realmente puede construir. Los intuicionistas también rechazan la ley del tercero excluido (es decir, ). Si bien esta postura los obliga a rechazar una versión común de prueba por contradicción como método de prueba viable, a saber, la inferencia de from , aún pueden inferir de . Para ellos, es una afirmación estrictamente más débil que .

Definiciones formalistas

Las definiciones formalistas identifican las matemáticas con sus símbolos y las reglas para operar con ellos. Haskell Curry definió las matemáticas simplemente como "la ciencia de los sistemas formales". Un sistema formal es un conjunto de símbolos, o fichas , y algunas reglas sobre cómo se combinarán las fichas en fórmulas . En los sistemas formales, la palabra axioma tiene un significado especial diferente del significado ordinario de "una verdad evidente por sí misma", y se usa para referirse a una combinación de tokens que se incluye en un sistema formal dado sin necesidad de derivarse usando el reglas del sistema.

Matemáticas como ciencia

Carl Friedrich Gauss , conocido como el príncipe de los matemáticos

El matemático alemán Carl Friedrich Gauss se refirió a las matemáticas como "la Reina de las Ciencias". Más recientemente, Marcus du Sautoy ha llamado a las matemáticas "la Reina de la Ciencia... la principal fuerza impulsora detrás del descubrimiento científico". El filósofo Karl Popper observó que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y la biología , hipotético - deductivas : por lo tanto, las matemáticas puras resultan estar mucho más cerca de las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, de lo que parecía incluso recientemente". Popper también señaló que "ciertamente admitiré un sistema como empírico o científico solo si es capaz de ser probado por la experiencia".

Las matemáticas comparten mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, en particular la exploración de las consecuencias lógicas de las suposiciones. La intuición y la experimentación también juegan un papel en la formulación de conjeturas tanto en matemáticas como en (otras) ciencias. Las matemáticas experimentales continúan creciendo en importancia dentro de las matemáticas, y el cálculo y la simulación están desempeñando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas.

Varios autores consideran que las matemáticas no son una ciencia porque no se basan en evidencia empírica . Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son variadas. Muchos matemáticos sienten que llamar ciencia a su área es restar importancia a su lado estético y su historia en las siete artes liberales tradicionales ; otros sienten que ignorar su conexión con las ciencias es hacer la vista gorda ante el hecho de que la interfaz entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería ha impulsado mucho el desarrollo de las matemáticas. Una forma en que se desarrolla esta diferencia de puntos de vista es en el debate filosófico sobre si las matemáticas se crean (como en el arte) o se descubren (como en la ciencia). En la práctica, los matemáticos generalmente se agrupan con los científicos en el nivel general, pero se separan en niveles más finos. Este es uno de los muchos temas considerados en la filosofía de las matemáticas .

Inspiración, matemática pura y aplicada, y estética

isaac newton
Gottfried Wilhelm de Leibniz
Isaac Newton (izquierda) y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo infinitesimal.

Las matemáticas surgen de muchos tipos diferentes de problemas. Al principio estos se encontraron en el comercio, la medición de la tierra , la arquitectura y más tarde en la astronomía ; hoy en día, todas las ciencias plantean problemas estudiados por matemáticos, y muchos problemas surgen dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman inventó la formulación de trayectoria integral de la mecánica cuántica utilizando una combinación de razonamiento matemático y conocimiento físico, y la teoría de cuerdas actual , una teoría científica aún en desarrollo que intenta unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza , sigue inspirando nuevas matemáticas.

Algunas matemáticas son relevantes solo en el área que las inspiró y se aplican para resolver problemas adicionales en esa área. Pero a menudo las matemáticas inspiradas en un área resultan útiles en muchas áreas y se unen al acervo general de conceptos matemáticos. A menudo se hace una distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas . Sin embargo, los temas de matemáticas puras suelen tener aplicaciones, por ejemplo, la teoría de números en la criptografía .

Este hecho notable, que incluso las matemáticas "más puras" a menudo resultan tener aplicaciones prácticas, es lo que el físico Eugene Wigner ha denominado " la eficacia irrazonable de las matemáticas ". El filósofo de las matemáticas Mark Steiner ha escrito extensamente sobre este tema y reconoce que la aplicabilidad de las matemáticas constituye “un desafío al naturalismo”. Para la filósofa de las matemáticas Mary Leng , el hecho de que el mundo físico actúe de acuerdo con los dictados de entidades matemáticas no causales que existen más allá del universo es "una feliz coincidencia". Por otro lado, para algunos antirrealistas , las conexiones que se adquieren entre las cosas matemáticas, simplemente reflejan las conexiones que se adquieren entre los objetos del universo, por lo que no hay una "coincidencia feliz".

Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión del conocimiento en la era científica ha llevado a la especialización: ahora hay cientos de áreas especializadas en matemáticas y la última clasificación de materias de matemáticas tiene 46 páginas. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con tradiciones relacionadas fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas por derecho propio, incluidas las estadísticas, la investigación de operaciones y la informática .

Para aquellos que tienen inclinaciones matemáticas, a menudo hay un aspecto estético definido en gran parte de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de las matemáticas, su estética intrínseca y su belleza interior. Se valora la sencillez y la generalidad. Hay belleza en una prueba simple y elegante , como la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos , y en un método numérico elegante que acelera el cálculo, como la transformada rápida de Fourier . GH Hardy en A Mathematician's Apology expresó la creencia de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. Identificó criterios como la importancia, lo inesperado, lo inevitable y la economía como factores que contribuyen a una estética matemática. La investigación matemática a menudo busca características críticas de un objeto matemático. Un teorema expresado como una caracterización de un objeto por estas características es el premio. Se han publicado ejemplos de argumentos matemáticos particularmente sucintos y reveladores en Proofs from THE BOOK .

La popularidad de las matemáticas recreativas es otra señal del placer que muchos encuentran al resolver problemas matemáticos. En el otro extremo social, los filósofos continúan encontrando problemas en la filosofía de las matemáticas , como la naturaleza de la prueba matemática .

Notación, lenguaje y rigor

Leonhard Euler creó y popularizó gran parte de la notación matemática que se usa en la actualidad.

La mayor parte de la notación matemática que se usa hoy en día se inventó después del siglo XV. Antes de eso, las matemáticas se escribían con palabras, lo que limitaba el descubrimiento matemático. Euler (1707–1783) fue responsable de muchas de estas notaciones. La notación moderna hace que las matemáticas sean eficientes para los profesionales, mientras que los principiantes a menudo las encuentran desalentadoras.

El lenguaje matemático proporciona un significado más preciso para palabras ordinarias como o y solo que el que tienen en el habla cotidiana. Otros términos como abierto y campo son a la vez precisos y también se refieren a conceptos específicos presentes solo en matemáticas. El lenguaje matemático también incluye muchos términos técnicos como homeomorfismo e integrable que no tienen significado fuera de las matemáticas. Además, las frases abreviadas como iff para " si y solo si " pertenecen a la jerga matemática . Esta notación especial y el vocabulario técnico son precisos y concisos, lo que hace posible trabajar con ideas de una complejidad desmesurada. Los matemáticos se refieren a esta precisión del lenguaje y la lógica como "rigor".

La validez de las demostraciones matemáticas es fundamentalmente una cuestión de rigor . Los matemáticos quieren que sus teoremas se sigan de axiomas por medio de un razonamiento sistemático. Esto es para evitar "teoremas" erróneos, basados ​​en intuiciones falibles, que han surgido muchas veces en la historia de las matemáticas. El rigor esperado en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos esperaban argumentos detallados, pero en el apogeo de Isaac Newton , los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes a las definiciones utilizadas por Newton llevaron a un resurgimiento del análisis cuidadoso y la prueba formal en el siglo XIX. El malentendido del rigor es una causa notable de algunos de los conceptos erróneos comunes de las matemáticas.

A pesar de la concisión de las matemáticas, muchas demostraciones requieren cientos de páginas para expresarse. La aparición de pruebas asistidas por computadora ha permitido que la longitud de las pruebas se amplíe aún más. Las pruebas asistidas pueden ser erróneas si el software de prueba tiene fallas y si son largas, difíciles de verificar. Por otro lado, los asistentes de prueba permiten la verificación de detalles que no se pueden dar en una prueba escrita a mano y brindan certeza de la exactitud de pruebas largas como la del teorema de Feit-Thompson de 255 páginas .

Tradicionalmente, los axiomas se consideraban "verdades evidentes". Sin embargo, a nivel formal, un axioma es solo una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco solo en el contexto de las fórmulas derivables de un sistema axiomático . El programa de Hilbert intentó poner las matemáticas sobre una base axiomática firme, pero el teorema de incompletitud de Gödel lo cambió, mostrando que todo sistema axiomático (suficientemente poderoso) tiene fórmulas indecidibles ; y así la axiomatización de las matemáticas es imposible. No obstante, a menudo se imagina que las matemáticas son (en lo que respecta a su contenido formal) nada más que teoría de conjuntos en alguna axiomatización, en el sentido de que cada declaración o prueba matemática podría expresarse en fórmulas dentro de la teoría de conjuntos.

Premios

El anverso de la Medalla Fields

Podría decirse que el premio más prestigioso en matemáticas es la Medalla Fields , establecida en 1936 y otorgada cada cuatro años (excepto alrededor de la Segunda Guerra Mundial) a hasta cuatro personas. La Medalla Fields a menudo se considera un equivalente matemático al Premio Nobel.

El Premio Wolf en Matemáticas , instituido en 1978, reconoce los logros de toda una vida. Otro premio internacional importante, el Premio Abel , se instituyó en 2002 y se otorgó por primera vez en 2003. La Medalla Chern se introdujo en 2010 para reconocer los logros de toda una vida. Estos galardones se otorgan en reconocimiento a un trabajo en particular, que puede ser innovador o proporcionar una solución a un problema destacado en un campo establecido.

Una famosa lista de 23 problemas abiertos , llamada " problemas de Hilbert ", fue compilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert . Esta lista alcanzó gran celebridad entre los matemáticos, y al menos trece de los problemas ya han sido resueltos. En 2000 se publicó una nueva lista de siete problemas importantes, titulada " Problemas del Premio del Milenio ". Solo uno de ellos, la hipótesis de Riemann , duplica uno de los problemas de Hilbert. Una solución a cualquiera de estos problemas conlleva una recompensa de 1 millón de dólares. Actualmente, solo uno de estos problemas, la conjetura de Poincaré , ha sido resuelto.

Ver también

notas

Referencias

Bibliografía

Otras lecturas