Grupo de papel tapiz - Wallpaper group

Ejemplo de diseño egipcio con grupo de papel pintado p 4 m

Un grupo de fondo de pantalla (o grupo de plano de simetría o grupo cristalográfico plano ) es una clasificación matemática de un patrón repetitivo de dos dimensiones, en función de las simetrías en el patrón. Tales patrones ocurren con frecuencia en la arquitectura y el arte decorativo , especialmente en textiles y azulejos , así como en papel tapiz .

El grupo de papel tapiz más simple, Grupo p 1, se aplica cuando no hay simetría más que el hecho de que un patrón se repite en intervalos regulares en dos dimensiones, como se muestra en la sección de p1 a continuación.

Los siguientes ejemplos son patrones con más formas de simetría:

Los ejemplos A y B tienen el mismo grupo de papel tapiz; se llama p 4 m en la notación IUCr y * 442 en la notación orbifold . Ejemplo C tiene un grupo fondo de pantalla diferente, denominado p 4 g o 4 * 2 . El hecho de que A y B tengan el mismo grupo de papel tapiz significa que tienen las mismas simetrías, independientemente de los detalles de los diseños, mientras que C tiene un conjunto diferente de simetrías a pesar de cualquier similitud superficial.

El número de grupos de simetría depende del número de dimensiones en los patrones. Los grupos de papel tapiz se aplican al caso bidimensional, de complejidad intermedia entre los grupos de frisos más simples y los grupos espaciales tridimensionales . Las diferencias sutiles pueden colocar patrones similares en diferentes grupos, mientras que los patrones que son muy diferentes en estilo, color, escala u orientación pueden pertenecer al mismo grupo.

Una prueba de que solo hay 17 grupos distintos de tales simetrías planas fue realizada por primera vez por Evgraf Fedorov en 1891 y luego derivada de forma independiente por George Pólya en 1924. La prueba de que la lista de grupos de papel tapiz está completa solo se produjo después del caso mucho más difícil de Se habían hecho grupos espaciales. Los diecisiete posibles grupos de papel tapiz se enumeran a continuación en § Los diecisiete grupos .

Simetrías de patrones

La simetría de un patrón es, en términos generales, una forma de transformar el patrón para que se vea exactamente igual después de la transformación. Por ejemplo, la simetría traslacional está presente cuando el patrón puede traducirse (en otras palabras, desplazarse) a cierta distancia finita y parecer sin cambios. Piense en cambiar un conjunto de franjas verticales horizontalmente en una franja. El patrón no ha cambiado. Estrictamente hablando, una verdadera simetría solo existe en patrones que se repiten exactamente y continúan indefinidamente. Un conjunto de sólo, digamos, cinco franjas no tiene simetría de traslación: cuando se desplaza, la franja de un extremo "desaparece" y se "agrega" una nueva franja en el otro extremo. En la práctica, sin embargo, la clasificación se aplica a patrones finitos y las pequeñas imperfecciones pueden ignorarse.

Los tipos de transformaciones que son relevantes aquí se denominan isometrías del plano euclidiano . Por ejemplo:

  • Si desplazamos el ejemplo B una unidad a la derecha, de modo que cada cuadrado cubra el cuadrado que originalmente estaba adyacente a él, entonces el patrón resultante es exactamente el mismo que el patrón con el que comenzamos. Este tipo de simetría se llama traslación . Los ejemplos A y C son similares, excepto que los cambios más pequeños posibles se producen en direcciones diagonales.
  • Si giramos el ejemplo B 90 ° en el sentido de las agujas del reloj, alrededor del centro de uno de los cuadrados, nuevamente obtenemos exactamente el mismo patrón. A esto se le llama rotación . Ejemplos A y C también tienen 90 ° rotaciones, aunque requiere un poco más de ingenio para encontrar el centro de giro correcto para C .
  • También podemos voltear el ejemplo B a través de un eje horizontal que atraviesa el centro de la imagen. A esto se le llama reflejo . El ejemplo B también tiene reflejos en un eje vertical y en dos ejes diagonales. Lo mismo puede decirse de A .

Sin embargo, el ejemplo C es diferente . Solo tiene reflejos en direcciones horizontales y verticales, no a través de ejes diagonales. Si volteamos a través de una línea diagonal, no obtenemos el mismo patrón; lo que hacemos get es el patrón original se movió a través de una cierta distancia. Esto es parte de la razón por la que el grupo de fondos de escritorio de A y B es diferente del grupo de fondo de pantalla C .

Otra transformación es "Glide", una combinación de reflexión y traslación paralela a la línea de reflexión.

Un reflejo de deslizamiento mapeará un conjunto de huellas izquierda y derecha entre sí

Definición y discusión formal

Matemáticamente, un grupo de papel tapiz o un grupo cristalográfico plano es un tipo de grupo de isometrías topológicamente discreto del plano euclidiano que contiene dos traslaciones linealmente independientes .

Dos de estos grupos de isometría son del mismo tipo (del mismo grupo de papel tapiz) si son iguales hasta una transformación afín del plano . Así, por ejemplo, una traslación del plano (por tanto, una traslación de los espejos y los centros de rotación) no afecta al grupo de papel tapiz. Lo mismo se aplica para un cambio de ángulo entre vectores de traslación, siempre que no agregue ni elimine ninguna simetría (este es solo el caso si no hay espejos ni reflejos de deslizamiento , y la simetría rotacional es como máximo de orden 2).

A diferencia del caso tridimensional , podemos restringir de manera equivalente las transformaciones afines a aquellas que conservan la orientación .

Se deduce del teorema de Bieberbach que todos los grupos de papel tapiz son diferentes incluso como grupos abstractos (a diferencia de, por ejemplo , los grupos de friso , de los cuales dos son isomorfos con Z ).

Los patrones 2D con simetría de traslación doble se pueden clasificar según su tipo de grupo de simetría .

Isometrías del plano euclidiano

Las isometrías del plano euclidiano se dividen en cuatro categorías (consulte el artículo Isometría del plano euclidiano para obtener más información).

  • Traslaciones , denotadas por T v , donde v es un vector en R 2 . Esto tiene el efecto de cambiar el plano aplicando elvector de desplazamiento v .
  • Rotaciones , denotadas por R c , θ , donde c es un punto en el plano (el centro de rotación) y θ es el ángulo de rotación.
  • Reflexiones , o isometrías de espejo , denotadas por F L , donde L es una línea en R 2 . ( F es para "voltear"). Esto tiene el efecto de reflejar el plano en la línea L , llamado eje de reflexión o espejo asociado.
  • Reflexiones de deslizamiento , denotadas por G L , d , donde L es una línea en R 2 y d es una distancia. Esta es una combinación de una reflexión en la línea L y una traslación a lo largo de L en una distancia d .

La condición de traducciones independientes

La condición de traslaciones linealmente independientes significa que existen vectores linealmente independientes v y w (en R 2 ) tales que el grupo contiene tanto T v como T w .

El propósito de esta condición es distinguir los grupos de papel tapiz de los grupos de frisos , que poseen una traducción pero no dos linealmente independientes, y de los grupos de puntos discretos bidimensionales , que no tienen ninguna traducción. En otras palabras, los grupos de papel tapiz representan patrones que se repiten en dos direcciones distintas, en contraste con los grupos de frisos, que solo se repiten a lo largo de un solo eje.

(Es posible generalizar esta situación. Podríamos, por ejemplo, estudiar grupos discretos de isometrías de R n con m traslaciones linealmente independientes, donde m es cualquier número entero en el rango 0 ≤  m  ≤  n .)

La condición de discreción

La condición de discreción significa que hay algún número real positivo ε, de modo que para cada traslación T v en el grupo, el vector v tiene una longitud de al menos ε (excepto, por supuesto, en el caso de que v es el vector cero, pero las traslaciones independientes La condición evita esto, ya que cualquier conjunto que contenga el vector cero es linealmente dependiente por definición y, por lo tanto, no está permitido).

El propósito de esta condición es asegurar que el grupo tiene un dominio fundamental compacto, o en otras palabras, una "celda" de área finita distinta de cero, que se repite a través del plano. Sin esta condición, podríamos tener, por ejemplo, un grupo que contenga la traslación T x para cada número racional x , que no correspondería a ningún patrón de papel tapiz razonable.

Una consecuencia importante y no trivial de la condición de discreción en combinación con la condición de traducciones independientes es que el grupo solo puede contener rotaciones de orden 2, 3, 4 o 6; es decir, cada rotación del grupo debe ser una rotación de 180 °, 120 °, 90 ° o 60 °. Este hecho se conoce como teorema de restricción cristalográfica y puede generalizarse a casos de dimensiones superiores.

Notaciones para grupos de fondos de pantalla

Notación cristalográfica

La cristalografía tiene 230 grupos espaciales para distinguir, mucho más que los 17 grupos de papel tapiz, pero muchas de las simetrías en los grupos son las mismas. Por tanto, podemos utilizar una notación similar para ambos tipos de grupos, la de Carl Hermann y la de Charles-Victor Mauguin . Un ejemplo de un nombre de papel tapiz completo en estilo Hermann-Mauguin (también llamado notación IUCr ) es p 31 m , con cuatro letras o dígitos; más habitual es un nombre abreviado como cmm o pg .

Para los grupos de papel tapiz, la notación completa comienza con p o c , para una celda primitiva o una celda centrada en una cara ; estos se explican a continuación. A esto le sigue un dígito, n , que indica el orden más alto de simetría rotacional: 1 pliegue (ninguno), 2 pliegues, 3 pliegues, 4 pliegues o 6 pliegues. Los siguientes dos símbolos indican simetrías relativas a un eje de traslación del patrón, denominado "principal"; si hay un espejo perpendicular a un eje de traslación elegimos ese eje como el principal (o si hay dos, uno de ellos). Los símbolos son m , g o 1 , para espejo, reflejo de deslizamiento o ninguno. El eje del reflejo del espejo o deslizamiento es perpendicular al eje principal para la primera letra, y paralelo o inclinado 180 ° / n (cuando n  > 2) para la segunda letra. Muchos grupos incluyen otras simetrías implícitas en los dados. La notación corta elimina dígitos o una m que se pueda deducir, siempre que no deje confusión con otro grupo.

Una celda primitiva es una región mínima repetida por traducciones de celosía. Todos menos dos grupos de simetría de papel tapiz se describen con respecto a los ejes de las celdas primitivas, una base de coordenadas utilizando los vectores de traslación de la red. En los dos casos restantes, la descripción de la simetría se refiere a celdas centradas que son más grandes que la celda primitiva y, por lo tanto, tienen repetición interna; las direcciones de sus lados son diferentes de las de los vectores de traducción que abarcan una celda primitiva. La notación de Hermann-Mauguin para grupos de espacio cristalino utiliza tipos de células adicionales.

Ejemplos de
  • p 2 ( p 2): Celda primitiva, simetría de rotación doble, sin espejos ni reflejos de deslizamiento.
  • p 4 gm ( p 4 mm ): celda primitiva, rotación de 4 veces, reflejo de deslizamiento perpendicular al eje principal, eje de espejo a 45 °.
  • c 2 mm ( c 2 mm ): celda centrada, rotación doble, ejes de espejo tanto perpendiculares como paralelos al eje principal.
  • p 31 m ( p 31 m ): Celda primitiva, rotación triple, eje espejo a 60 °.

Aquí están todos los nombres que difieren en notación corta y completa.

Nombres cortos y completos cristalográficos
Pequeño pm pg cm mmm pmg pgg cmm p 4 m p 4 g p 6 m
Completo p 1 m 1 p 1 g 1 c 1 m 1 p 2 mm p 2 mg p 2 gg c 2 mm p 4 mm p 4 g p 6 mm

Los nombres restantes son p 1 , p 2 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 y p 6 .

Notación orbifold

La notación orbifold para grupos de papel tapiz, defendida por John Horton Conway (Conway, 1992) (Conway 2008), no se basa en la cristalografía, sino en la topología. Doblamos el mosaico periódico infinito del plano en su esencia, un orbifold , luego lo describimos con algunos símbolos.

  • Un dígito, n , indica un centro de rotación n- veces correspondiente a un punto de cono en el orbifold. Según el teorema de restricción cristalográfica, n debe ser 2, 3, 4 o 6.
  • Un asterisco, * , indica una simetría especular correspondiente a un límite del orbifold. Interactúa con los dígitos de la siguiente manera:
    1. Los dígitos antes de * denotan centros de rotación pura ( cíclicos ).
    2. Los dígitos después de * denotan centros de rotación con espejos a través de ellos, correspondientes a "esquinas" en el límite del orbifold ( diedro ).
  • Una cruz, × , ocurre cuando hay un reflejo de deslizamiento e indica una tapa cruzada en el orbifold. Los espejos puros se combinan con la traducción de celosía para producir deslizamientos, pero esos ya están contabilizados, por lo que no los anotamos.
  • El símbolo de "sin simetría", o , está solo e indica que solo tenemos traducciones de celosía sin otra simetría. El orbifold con este símbolo es un toro; en general, el símbolo o denota una manija en el orbifold.

El grupo denotado en notación cristalográfica por cmm será, en la notación de Conway, 2 * 22 . El 2 antes del * dice que tenemos un centro de rotación de 2 pliegues sin espejo a través de él. El * mismo dice que tenemos un espejo. Los primeros 2 después del * dicen que tenemos un centro de rotación de 2 pliegues en un espejo. El 2 final dice que tenemos un segundo centro de rotación independiente de 2 pliegues en un espejo, uno que no es un duplicado del primero bajo simetrías.

El grupo indicado por pgg será 22 × . Tenemos dos centros de rotación puros de 2 pliegues y un eje de reflexión de deslizamiento. Contraste esto con pmg , Conway 22 * , donde la notación cristalográfica menciona un deslizamiento, pero que está implícito en las otras simetrías del orbifold.

Coxeter 's notación de corchetes también se incluye, sobre la base de reflexión por grupos de Coxeter , y modificado con más superíndices que representa rotaciones, giros indebidos y traducciones.

Conway, Coxeter y correspondencia cristalográfica
Conway o × × * × ** 632 * 632
Coxeter [∞ + , 2, ∞ + ] [(∞, 2) + , ∞ + ] [∞, 2 + , ∞ + ] [∞, 2, ∞ + ] [6,3] + [6,3]
Cristalográfico p 1 pg cm pm p 6 p 6 m
Conway 333 * 333 3 * 3 442 * 442 4 * 2
Coxeter [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + , 6] [4,4] + [4,4] [4 + , 4]
Cristalográfico p 3 p 3 m 1 p 31 m p. 4 p 4 m p 4 g
Conway 2222 22 × 22 * * 2222 2 * 22
Coxeter [∞, 2, ∞] + [((∞, 2) + , (∞, 2) + )] [(∞, 2) + , ∞] [∞, 2, ∞] [∞, 2 + , ∞]
Cristalográfico p 2 pgg pmg mmm cmm

Por qué hay exactamente diecisiete grupos

Un orbifold puede verse como un polígono con caras, aristas y vértices que se pueden desplegar para formar un conjunto posiblemente infinito de polígonos que enlosan la esfera , el plano o el plano hiperbólico . Cuando se azulejos el plano que dará un grupo fondos de escritorio y cuando azulejos la esfera o plano hiperbólico se da ya sea un grupo de simetría esférica o grupo hiperbólica simetría . El tipo de espacio del mosaico de polígonos se puede encontrar calculando la característica de Euler , χ  =  V  -  E  +  F , donde V es el número de esquinas (vértices), E es el número de aristas y F es el número de caras. Si la característica de Euler es positiva, entonces el orbifold tiene una estructura elíptica (esférica); si es cero, entonces tiene una estructura parabólica, es decir, un grupo de papel tapiz; y si es negativo tendrá una estructura hiperbólica. Cuando se enumera el conjunto completo de posibles orbifolds, se encuentra que solo 17 tienen la característica de Euler 0.

Cuando un orbifold se replica por simetría para llenar el plano, sus entidades crean una estructura de vértices, aristas y caras poligonales, que deben ser coherentes con la característica de Euler. Invirtiendo el proceso, podemos asignar números a las características del orbifold, pero fracciones, en lugar de números enteros. Debido a que el orbifold en sí mismo es un cociente de la superficie completa por el grupo de simetría, la característica de Euler orbifold es un cociente de la característica de Euler de la superficie por el orden del grupo de simetría.

La característica orbifold Euler es 2 menos la suma de los valores de la característica, asignados de la siguiente manera:

  • Un dígito n sin o antes de * cuenta como ( n  - 1) / n .
  • Un dígito n después de un * cuenta como ( n  - 1) / 2 n .
  • Tanto * como × cuentan como 1.
  • La "sin simetría" ° cuenta como 2.

Para un grupo de papel tapiz, la suma de la característica debe ser cero; por lo tanto, la suma de características debe ser 2.

Ejemplos de
  • 632: 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
  • 3 * 3: 2/3 + 1 + 1/3 = 2
  • 4 * 2: 3/4 + 1 + 1/4 = 2
  • 22 ×: 1/2 + 1/2 + 1 = 2

Ahora, la enumeración de todos los grupos de fondos de pantalla se convierte en una cuestión de aritmética, de enumerar todas las cadenas de características con valores que suman 2.

Las cadenas de características con otras sumas no son tonterías; implican teselaciones no planas, no discutidas aquí. (Cuando la característica de Euler orbifold es negativa, el mosaico es hiperbólico ; cuando es positivo, esférico o malo ).

Guía para reconocer grupos de fondos de pantalla

Para determinar qué grupo de papel tapiz corresponde a un diseño determinado, se puede utilizar la siguiente tabla.

Tamaño de la
rotación más pequeña		 ¿Tiene reflejo?
sí No
360 ° / 6 p 6 m (* 632) pág. 6 (632)
360 ° / 4 ¿Tiene espejos a 45 °? p. 4 (442)
Sí: p 4 m (* 442) No: p 4 g (4 * 2)
360 ° / 3 Tiene podredumbre. centrar los espejos? pág. 3 (333)
Sí: p 31 m (3 * 3) No: p 3 m 1 (* 333)
360 ° / 2 ¿Tiene reflejos perpendiculares? ¿Tiene reflejo de deslizamiento?
sí No
Tiene podredumbre. centrar los espejos? pmg (22 *) Sí: pgg (22 ×) No: pág. 2 (2222)
Sí: cmm (2 * 22) No: mmm (* 2222)
ninguno ¿Tiene el eje de deslizamiento fuera de los espejos? ¿Tiene reflejo de deslizamiento?
Sí: cm (* ×) No: pm (**) Sí: pg (××) No: p 1 (o)

Consulte también esta descripción general con diagramas .

Los diecisiete grupos

Cada uno de los grupos de esta sección tiene dos diagramas de estructura de celdas, que deben interpretarse de la siguiente manera (lo importante es la forma, no el color):

Leyenda del diagrama de grupo de fondos de pantalla rotación2.svg un centro de rotación de orden dos (180 °).
Leyenda del diagrama de grupo de fondos de pantalla rotación3.svg un centro de rotación de orden tres (120 °).
Leyenda del diagrama de grupo de fondos de pantalla rotación4.svg un centro de rotación de orden cuatro (90 °).
Rotación de leyenda del diagrama de grupo de papel tapiz6.svg un centro de rotación de orden seis (60 °).
Diagrama de grupo de fondos de pantalla leyenda reflexión.svg un eje de reflexión.
Diagrama de grupo de fondos de pantalla leyenda deslizamiento reflexión.svg un eje de reflexión de deslizamiento.

En los diagramas del lado derecho, las diferentes clases de equivalencia de elementos de simetría están coloreados (y rotados) de manera diferente.

El área marrón o amarilla indica un dominio fundamental , es decir, la parte más pequeña del patrón que se repite.

Los diagramas de la derecha muestran la celda de la celosía correspondiente a las traslaciones más pequeñas; los de la izquierda a veces muestran un área más grande.

Grupo p 1 (o)

Ejemplo y diagrama para p 1
Estructuras celulares para p 1 por tipo de celosía
Diagrama de grupo de fondos de pantalla p1.svg
Oblicuo 		Diagrama de grupo de papel tapiz p1 half.svg
Hexagonal
Diagrama de grupo de papel tapiz p1 rect.svg
Rectangular 		Diagrama de grupo de papel tapiz p1 rhombic.svg
Rómbico 		Diagrama de grupo de papel tapiz p1 square.svg
Cuadrado
  • Firma Orbifold: o
  • Notación de Coxeter (rectangular): [∞ + , 2, ∞ + ] o [∞] + × [∞] +
  • Celosía: oblicua
  • Grupo de puntos: C 1
  • El grupo p 1 contiene solo traducciones; no hay rotaciones, reflejos ni reflejos de deslizamiento.
Ejemplos de grupo p 1

Las dos traslaciones (lados de la celda) pueden tener diferentes longitudes y pueden formar cualquier ángulo.

Grupo p 2 (2222)

Ejemplo y diagrama para p 2
Estructuras celulares para p 2 por tipo de celosía
Diagrama de grupo de fondos de pantalla p2.svg
Oblicuo 		Diagrama de grupo de fondos de pantalla p2 half.svg
Hexagonal
Diagrama de grupo de papel tapiz p2 rect.svg
Rectangular 		Diagrama de grupo de papel tapiz p2 rhombic.svg
Rómbico 		Diagrama de grupo de papel tapiz p2 square.svg
Cuadrado
  • Firma Orbifold: 2222
  • Notación de Coxeter (rectangular): [∞, 2, ∞] +
  • Celosía: oblicua
  • Grupo de puntos: C 2
  • El grupo p 2 contiene cuatro centros de rotación de orden dos (180 °), pero sin reflejos ni reflejos de deslizamiento.
Ejemplos de grupo p 2

Grupo pm (**)

Ejemplo y diagrama para pm
Estructura celular para pm
Diagrama de grupo de fondos de pantalla pm.svg
Espejos horizontales 		Diagrama de grupo de fondos de pantalla pm rotated.svg
Espejos verticales
  • Firma Orbifold: **
  • Notación de Coxeter: [∞, 2, ∞ + ] o [∞ + , 2, ∞]
  • Celosía: rectangular
  • Grupo de puntos: D 1
  • El grupo pm no tiene rotaciones. Tiene ejes de reflexión, todos son paralelos.
Ejemplos de group pm

(Los tres primeros tienen un eje de simetría vertical y los dos últimos tienen cada uno una diagonal diferente).

Grupo pg (× ×)

Ejemplo y diagrama para pg
Estructuras celulares para pg
Diagrama de grupo de fondos de pantalla pg.svg
Deslizamientos horizontales 		Diagrama de grupo de fondos de pantalla pg rotated.svg
Deslizamientos verticales
Rectangular
  • Firma Orbifold: × ×
  • Notación de Coxeter: [(∞, 2) + , ∞ + ] o [∞ + , (2, ∞) + ]
  • Celosía: rectangular
  • Grupo de puntos: D 1
  • El grupo pg contiene solo reflejos de deslizamiento y sus ejes son todos paralelos. No hay rotaciones ni reflejos.
Ejemplos de group pg
  • Generado por computadora
  • Alfombra con diseño de espina de pescado en la que se encontraba el rey egipcio
  • Alfombra egipcia (detalle)
  • Pavimento con dibujo en espiga en Salzburgo . El eje de reflexión de planeo va de noreste a suroeste
  • Uno de los colores de las baldosas cuadradas chatas ; las líneas de reflexión de deslizamiento están en la dirección superior izquierda / inferior derecha; ignorando los colores, hay mucha más simetría que solo pg , entonces es p 4 g (ver esta imagen con triángulos de colores iguales)

Sin los detalles dentro de las bandas en zigzag, el tapete es pmg ; con los detalles pero sin la distinción entre marrón y negro es pgg .

Ignorando los bordes ondulados de las baldosas, el pavimento es pgg .

Grupo cm (* ×)

Ejemplo y diagrama para cm
Estructura celular para cm
Diagrama de grupo de papel tapiz cm.svg
Espejos horizontales 		Diagrama de grupo de papel tapiz cm rotated.svg
Espejos verticales
Rómbico
  • Firma Orbifold: * ×
  • Notación de Coxeter: [∞ + , 2 + , ∞] o [∞, 2 + , ∞ + ]
  • Celosía: rómbica
  • Grupo de puntos: D 1
  • El grupo cm no contiene rotaciones. Tiene ejes de reflexión, todos paralelos. Hay al menos una reflexión de deslizamiento cuyo eje no es un eje de reflexión; está a medio camino entre dos ejes de reflexión paralelos adyacentes.
  • Este grupo se aplica a filas escalonadas simétricamente (es decir, hay un desplazamiento por fila de la mitad de la distancia de traslación dentro de las filas) de objetos idénticos, que tienen un eje de simetría perpendicular a las filas.
Ejemplos de group cm

Grupo pmm (* 2222)

Ejemplo y diagrama para pmm
Estructura celular para pmm
Diagrama de grupo de papel tapiz pmm.svg
rectangular 		Diagrama de grupo de papel tapiz pmm square.svg
cuadrado
  • Firma Orbifold: * 2222
  • Notación de Coxeter (rectangular): [∞, 2, ∞] o [∞] × [∞]
  • Notación de Coxeter (cuadrado): [4,1 + , 4] o [1 + , 4,4,1 + ]
  • Celosía: rectangular
  • Grupo de puntos: D 2
  • El grupo pmm tiene reflejos en dos direcciones perpendiculares y cuatro centros de rotación de orden dos (180 °) ubicados en las intersecciones de los ejes de reflexión.
Ejemplos de group pmm

Grupo pmg (22 *)

Ejemplo y diagrama para pmg
Estructuras celulares para pmg
Diagrama de grupo de fondos de pantalla pmg.svg
Espejos horizontales 		Diagrama de grupo de fondos de pantalla pmg rotated.svg
Espejos verticales
  • Firma Orbifold: 22 *
  • Notación de Coxeter: [(∞, 2) + , ∞] o [∞, (2, ∞) + ]
  • Celosía: rectangular
  • Grupo de puntos: D 2
  • El grupo pmg tiene dos centros de rotación de orden dos (180 °) y reflejos en una sola dirección. Tiene reflejos de deslizamiento cuyos ejes son perpendiculares a los ejes de reflexión. Todos los centros de rotación se encuentran en ejes de reflexión de deslizamiento.
Ejemplos de group pmg

Grupo pgg (22 ×)

Ejemplo y diagrama para pgg
Estructuras celulares para pgg por tipo de celosía
Diagrama de grupo de fondos de pantalla pgg.svg
Rectangular 		Diagrama de grupo de papel tapiz pgg square.svg
Cuadrado
  • Firma Orbifold: 22 ×
  • Notación de Coxeter (rectangular): [((∞, 2) + , (∞, 2) + )]
  • Notación de Coxeter (cuadrado): [4 + , 4 + ]
  • Celosía: rectangular
  • Grupo de puntos: D 2
  • El grupo pgg contiene dos centros de rotación de orden dos (180 °) y reflejos de deslizamiento en dos direcciones perpendiculares. Los centros de rotación no se encuentran en los ejes de reflexión del deslizamiento. No hay reflejos.
Ejemplos de group pgg

Grupo cmm (2 * 22)

Ejemplo y diagrama para cmm
Estructuras celulares para cmm por tipo de celosía
Diagrama de grupo de papel tapiz cmm.svg
Rómbico 		Diagrama de grupo de papel tapiz cmm square.svg
Cuadrado
  • Firma Orbifold: 2 * 22
  • Notación de Coxeter (rómbica): [∞, 2 + , ∞]
  • Notación de Coxeter (cuadrado): [(4,4,2 + )]
  • Celosía: rómbica
  • Grupo de puntos: D 2
  • El grupo cmm tiene reflejos en dos direcciones perpendiculares y una rotación de orden dos (180 °) cuyo centro no está en un eje de reflexión. También tiene dos rotaciones cuyos centros están en un eje de reflexión.
  • Este grupo se ve con frecuencia en la vida cotidiana, ya que la disposición más común de ladrillos en un edificio de ladrillos ( enlace continuo) utiliza este grupo (vea el ejemplo a continuación).

La simetría rotacional de orden 2 con centros de rotación en los centros de los lados del rombo es una consecuencia de las otras propiedades.

El patrón corresponde a cada uno de los siguientes:

  • Filas simétricamente escalonadas de objetos idénticos doblemente simétricos
  • un patrón de tablero de ajedrez de dos baldosas rectangulares alternas, cada una de las cuales, por sí misma, es doblemente simétrica
  • un patrón de tablero de ajedrez de alternativamente una baldosa rectangular simétrica rotacionalmente doble y su imagen de espejo
Ejemplos de group cmm

Grupo p 4 (442)

Ejemplo y diagrama para p 4
Estructura celular para p 4
  • Firma Orbifold: 442
  • Notación de Coxeter: [4,4] +
  • Celosía: cuadrado
  • Grupo de puntos: C 4
  • El grupo p 4 tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90 °) y un centro de rotación de orden dos (180 °). No tiene reflejos ni reflejos de deslizamiento.
Ejemplos de grupo p 4

Un patrón p 4 puede verse como una repetición en filas y columnas de mosaicos cuadrados iguales con simetría rotacional cuádruple. También se puede ver como un patrón de tablero de ajedrez de dos de estos mosaicos, un factor más pequeño y girado 45 °.

Grupo p 4 m (* 442)

Ejemplo y diagrama para p 4 m
Estructura celular para p 4 m
  • Firma Orbifold: * 442
  • Notación de Coxeter: [4,4]
  • Celosía: cuadrado
  • Grupo de puntos: D 4
  • El grupo p 4 m tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90 °) y reflejos en cuatro direcciones distintas (horizontal, vertical y diagonales). Tiene reflejos de deslizamiento adicionales cuyos ejes no son ejes de reflexión; las rotaciones de orden dos (180 °) se centran en la intersección de los ejes de reflexión de deslizamiento. Todos los centros de rotación se encuentran en ejes de reflexión.

Esto corresponde a una cuadrícula sencilla de filas y columnas de cuadrados iguales con los cuatro ejes de reflexión. También corresponde a un patrón de tablero de ajedrez de dos de esos cuadrados.

Ejemplos de grupo p 4 m

Ejemplos mostrados con las traducciones más pequeñas horizontal y vertical (como en el diagrama):

Ejemplos mostrados con la diagonal de traslación más pequeña:

Grupo p 4 g (4 * 2)

Ejemplo y diagrama para p 4 g
Estructura celular para p 4 g
  • Firma Orbifold: 4 * 2
  • Notación de Coxeter: [4 + , 4]
  • Celosía: cuadrado
  • Grupo de puntos: D 4
  • El grupo p 4 g tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90 °), que son la imagen especular del otro, pero tiene reflejos en solo dos direcciones, que son perpendiculares. Hay rotaciones de orden dos (180 °) cuyos centros se ubican en las intersecciones de los ejes de reflexión. Tiene ejes de reflexión de deslizamiento paralelos a los ejes de reflexión, entre ellos, y también en un ángulo de 45 ° con estos.

Un patrón de p 4 g se puede considerar como un patrón de tablero de ajedrez de copias de una baldosa cuadrada con simetría rotacional de 4 pliegues y su imagen especular. Alternativamente, se puede considerar (moviendo media baldosa) como un patrón de tablero de ajedrez de copias de una baldosa simétrica horizontal y verticalmente y su versión girada 90 °. Tenga en cuenta que ninguno de los dos se aplica a un patrón de tablero de ajedrez simple de baldosas blancas y negras, este es el grupo p 4 m (con celdas de traslación diagonales).

Ejemplos de grupo p 4 g

Grupo p 3 (333)

Ejemplo y diagrama para p 3
Estructura celular para p 3
  • Firma Orbifold: 333
  • Notación de Coxeter: [(3,3,3)] + o [3 [3] ] +
  • Celosía: hexagonal
  • Grupo de puntos: C 3
  • El grupo p 3 tiene tres centros de rotación diferentes de orden tres (120 °), pero sin reflejos ni reflejos de deslizamiento.

Imagine una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Entonces la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de fondos de pantalla corresponde al caso de que todos los triángulos de la misma orientación sean iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, pero los dos no son iguales, ni la imagen especular del otro, ni ambos simétricos (si los dos son iguales tenemos p 6 , si son la imagen especular del otro tenemos p 31 m , si ambos son simétricos tenemos p 3 m 1 ; si se aplican dos de los tres, entonces el tercero también, y tenemos p 6 m ). Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con centros de rotación como vértices, es decir, para cualquier teselación son posibles dos cambios. En cuanto a la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.

De manera equivalente, imagine una teselación del plano con hexágonos regulares, con lados iguales a la distancia de traslación más pequeña dividida por √3. Entonces este grupo de papel tapiz corresponde al caso de que todos los hexágonos son iguales (y en la misma orientación) y tienen simetría rotacional de orden tres, mientras que no tienen simetría de imagen especular (si tienen simetría rotacional de orden seis tenemos p 6 , si son simétricas con respecto a las diagonales principales tenemos p 31 m , si son simétricas con respecto a las líneas perpendiculares a los lados tenemos p 3 m 1 ; si se aplican dos de las tres, entonces la tercera también, y tenemos p 6 m ). Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con un tercio de los centros de rotación como centros de los hexágonos. En cuanto a la imagen: los centros de los hexágonos pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.

Ejemplos de grupo p 3
  • Generado por computadora
  • una de las 8 teselaciones semirregulares (ignorando los colores: pág. 6 ); los vectores de traslación se giran un poco hacia la derecha en comparación con las direcciones en la celosía hexagonal subyacente de la imagen
  • Pavimento de calles en Zakopane , Polonia
  • Revestimiento de paredes en la Alhambra , España (y toda la pared ); ignorando todos los colores, esto es p 3 (ignorando solo los colores de las estrellas, es p 1 )

Grupo p 3 m 1 (* 333)

Ejemplo y diagrama para p 3 m 1
Estructura celular para p 3 m 1
  • Firma Orbifold: * 333
  • Notación de Coxeter: [(3,3,3)] o [3 [3] ]
  • Celosía: hexagonal
  • Grupo de puntos: D 3
  • El grupo p 3 m 1 tiene tres centros de rotación diferentes de orden tres (120 °). Tiene reflejos en los tres lados de un triángulo equilátero. El centro de cada rotación se encuentra en un eje de reflexión. Hay reflejos de deslizamiento adicionales en tres direcciones distintas, cuyos ejes se encuentran a medio camino entre ejes de reflexión paralelos adyacentes.

Como para p 3 , imagina una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Entonces la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de fondos de pantalla corresponde al caso de que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, y ambos son simétricos, pero los dos no son iguales, y no son la imagen especular del otro. Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con centros de rotación como vértices. En cuanto a la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul oscuro o verde.

Ejemplos de grupo p 3 m 1

Grupo p 31 m (3 * 3)

Ejemplo y diagrama para p 31 m
Estructura celular para p 31 m
  • Firma Orbifold: 3 * 3
  • Notación de Coxeter: [6,3 + ]
  • Celosía: hexagonal
  • Grupo de puntos: D 3
  • El grupo p 31 m tiene tres centros de rotación diferentes de orden tres (120 °), de los cuales dos son la imagen especular del otro. Tiene reflejos en tres direcciones distintas. Tiene al menos una rotación cuyo centro no se encuentra en un eje de reflexión. Hay reflejos de deslizamiento adicionales en tres direcciones distintas, cuyos ejes se encuentran a medio camino entre ejes de reflexión paralelos adyacentes.

Como para p 3 y p 3 m 1 , imagina una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Entonces la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de fondos de pantalla corresponde al caso de que todos los triángulos de la misma orientación sean iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres y son la imagen especular del otro, pero no simétricos en sí mismos, ni iguales. Para una imagen determinada, solo es posible una de estas teselaciones. En cuanto a la imagen: los vértices no pueden ser triángulos azul oscuro.

Ejemplos de grupo p 31 m

Grupo p 6 (632)

Ejemplo y diagrama para p 6
Estructura celular para p 6
  • Firma Orbifold: 632
  • Notación de Coxeter: [6,3] +
  • Celosía: hexagonal
  • Grupo de puntos: C 6
  • El grupo p 6 tiene un centro de rotación de orden seis (60 °); dos centros de rotación de orden tres (120 °), que son imágenes de cada uno bajo una rotación de 60 °; y tres centros de rotación de orden dos (180 °) que también son imágenes de cada uno bajo una rotación de 60 °. No tiene reflejos ni reflejos de deslizamiento.

Un patrón con esta simetría puede verse como un mosaico del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría C 3 , o de manera equivalente, un mosaico del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría C 6 (con los bordes de los mosaicos no necesariamente parte del patrón).

Ejemplos de grupo p 6

Grupo p 6 m (* 632)

Ejemplo y diagrama para p 6 m
Estructura celular para p 6 m
  • Firma Orbifold: * 632
  • Notación de Coxeter: [6,3]
  • Celosía: hexagonal
  • Grupo de puntos: D 6
  • El grupo p 6 m tiene un centro de rotación de orden seis (60 °); tiene dos centros de rotación de orden tres, que solo se diferencian por una rotación de 60 ° (o, equivalentemente, 180 °), y tres de orden dos, que solo se diferencian por una rotación de 60 °. También tiene reflejos en seis direcciones distintas. Hay reflejos de deslizamiento adicionales en seis direcciones distintas, cuyos ejes se encuentran a medio camino entre ejes de reflexión paralelos adyacentes.

Un patrón con esta simetría puede verse como un mosaico del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría D 3 , o de manera equivalente, un mosaico del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría D 6 (con los bordes de los mosaicos no necesariamente parte del patrón). Así, los ejemplos más simples son una celosía triangular con o sin líneas de conexión, y un mosaico hexagonal con un color para delinear los hexágonos y otro para el fondo.

Ejemplos de grupo p 6 m

Tipos de celosía

Hay cinco tipos de celosía o celosías de Bravais , correspondientes a los cinco posibles grupos de papel tapiz de la celosía en sí. El grupo de papel tapiz de un patrón con este entramado de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que el entramado en sí.

  • En los 5 casos de simetría rotacional de orden 3 o 6, la celda unitaria consta de dos triángulos equiláteros (celosía hexagonal, ella misma p 6 m ). Forman un rombo con ángulos de 60 ° y 120 °.
  • En los 3 casos de simetría rotacional de orden 4, la celda es un cuadrado (celosía cuadrada, en sí misma p 4 m ).
  • En los 5 casos de reflexión o reflexión de deslizamiento, pero no en ambos, la celda es un rectángulo (celosía rectangular, en sí misma pmm ). También se puede interpretar como una celosía rómbica centrada. Casos especiales: cuadrado.
  • En los 2 casos de reflexión combinada con reflexión de deslizamiento, la celda es un rombo (celosía rómbica, en sí misma cmm ). También se puede interpretar como una celosía rectangular centrada. Casos especiales: celda unitaria cuadrada, hexagonal.
  • En el caso de sólo simetría rotacional de orden 2, y en el caso de ninguna otra simetría que la traslacional, la celda es en general un paralelogramo (celosía paralelogramática u oblicua, en sí misma p 2 ). Casos especiales: rectángulo, cuadrado, rombo, celda unitaria hexagonal.

Grupos de simetría

El grupo de simetría real debe distinguirse del grupo de papel tapiz. Los grupos de papel tapiz son colecciones de grupos de simetría. Hay 17 de estas colecciones, pero para cada colección hay infinitos grupos de simetría, en el sentido de grupos reales de isometrías. Estos dependen, además del grupo de papel tapiz, de una serie de parámetros para los vectores de traslación, la orientación y posición de los ejes de reflexión y los centros de rotación.

Los números de grados de libertad son:

  • 6 para p 2
  • 5 para pmm , pmg , pgg y cmm
  • 4 para el resto.

Sin embargo, dentro de cada grupo de papel tapiz, todos los grupos de simetría son algebraicamente isomorfos.

Algunos isomorfismos de grupos de simetría:

  • p 1 : Z 2
  • pm : Z × D ∞
  • pmm : D ∞ × D ∞ .

Dependencia de los grupos de papel tapiz en las transformaciones.

  • El grupo de papel tapiz de un patrón es invariante bajo isometrías y escala uniforme ( transformaciones de similitud ).
  • La simetría traslacional se conserva bajo transformaciones afines biyectivas arbitrarias .
  • Simetría rotacional de orden dos ídem; esto significa también que los centros de rotación de 4 y 6 veces al menos mantienen una simetría de rotación de 2 veces.
  • La reflexión en una línea y la reflexión de deslizamiento se conservan en la expansión / contracción a lo largo o perpendicular al eje de reflexión y la reflexión de deslizamiento. Cambia p 6 m , p 4 g , y p 3 m 1 en cmm , p 3 m 1 en cm , y p 4 m , dependiendo de la dirección de expansión / contracción, en pmm o cmm . Un patrón de filas simétricamente escalonados de puntos es especial en que puede convertir por la expansión / contracción de p 6 m a p 4 m .

Tenga en cuenta que cuando una transformación disminuye la simetría, una transformación del mismo tipo (la inversa) obviamente para algunos patrones aumenta la simetría. Esta propiedad especial de un patrón (por ejemplo, la expansión en una dirección produce un patrón con simetría cuádruple) no se cuenta como una forma de simetría adicional.

El cambio de colores no afecta al grupo de papel tapiz si dos puntos que tienen el mismo color antes del cambio, también tienen el mismo color después del cambio, y dos puntos que tienen colores diferentes antes del cambio, también tienen colores diferentes después del cambio. .

Si se aplica lo primero, pero no lo segundo, como cuando se convierte una imagen en color a una en blanco y negro, las simetrías se conservan, pero pueden aumentar, de modo que el grupo de fondos de pantalla puede cambiar.

Software y demostración web

Varias herramientas gráficas de software le permitirán crear patrones 2D utilizando grupos de simetría de papel tapiz. Por lo general, puede editar el mosaico original y sus copias en todo el patrón se actualizan automáticamente.

  • MadPattern , un conjunto gratuito de plantillas de Adobe Illustrator que admiten los 17 grupos de fondos de pantalla
  • Tess , un programa de teselación de shareware para múltiples plataformas, admite todos los grupos de fondos de pantalla, frisos y rosetas, así como los mosaicos de Heesch.
  • Wallpaper Symmetry es una herramienta de dibujo JavaScript en línea gratuita que admite los 17 grupos. La página principal tiene una explicación de los grupos de fondos de pantalla, así como herramientas de dibujo y explicaciones para los otros grupos de simetría plana .
  • TALES GAME , un software gratuito diseñado con fines educativos que incluye la función de teselación.
  • Kali , subprograma Java del editor de simetría gráfica en línea (no compatible de forma predeterminada en los navegadores).
  • Kali , Kali descargable gratis para Windows y Mac Classic.
  • Inkscape , un editor de gráficos vectoriales gratuito , admite los 17 grupos más escalas, cambios, rotaciones y cambios de color arbitrarios por fila o por columna, opcionalmente aleatorizados en un grado determinado. (Ver [1] )
  • SymmetryWorks es un complemento comercial para Adobe Illustrator , compatible con los 17 grupos.
  • EscherSketch es una herramienta de dibujo JavaScript en línea gratuita que admite los 17 grupos.

Ver también

Notas

Referencias

  • La gramática del ornamento (1856), de Owen Jones . Muchas de las imágenes de este artículo son de este libro; contiene muchos más.
  • John H. Conway (1992). "La notación orbifold para grupos de superficies". En: MW Liebeck y J. Saxl (eds.), Grupos, combinatoria y geometría , Actas del Simposio LMS de Durham, 5 al 15 de julio, Durham, Reino Unido, 1990; London Math. Soc. Serie de notas de conferencias 165 . Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge. págs. 438–447
  • John H. Conway , Heidi Burgiel y Chaim Goodman-Strauss (2008): Las simetrías de las cosas . Worcester MA: AK Peters. ISBN  1-56881-220-5 .
  • Branko Grünbaum y GC Shephard (1987): Tilings and Patterns . Nueva York: Freeman. ISBN  0-7167-1193-1 .
  • Diseño de patrones, Lewis F. Day

enlaces externos