Klein de cuatro grupos - Klein four-group

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Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Lazo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , el grupo de cuatro de Klein es un grupo con cuatro elementos, en el que cada elemento es autoinverso (componerlo consigo mismo produce la identidad) y en el que componer dos de los tres elementos no identitarios produce el tercero. Puede describirse como el grupo de simetría de un rectángulo no cuadrado (con los tres elementos no identitarios siendo la reflexión horizontal y vertical y la rotación de 180 grados), como el grupo de operaciones exclusivas a nivel de bits o de operaciones en valores binarios de dos bits, o de forma más abstracta como Z ₂ × Z ₂ , el producto directo de dos copias del grupo cíclico de orden 2. Fue nombrado Vierergruppe (que significa cuatro grupos) por Felix Klein en 1884. También se le llama el grupo de Klein , y a menudo es simbolizado por la letra V o como K ₄ .

El grupo de cuatro de Klein, con cuatro elementos, es el grupo más pequeño que no es un grupo cíclico . Sólo hay otro grupo de orden cuatro, hasta el isomorfismo , el grupo cíclico de orden 4. Ambos son grupos abelianos . El grupo no abeliano más pequeño es el grupo simétrico de grado 3 , que tiene el orden 6.

Presentaciones

La tabla Cayley del grupo Klein viene dada por:

El grupo de cuatro Klein también se define por la presentación del grupo

${\ Displaystyle \ mathrm {V} = \ left \ langle a, b \ mid a ^ {2} = b ^ {2} = (ab) ^ {2} = e \ right \ rangle.}$

Todos los elementos sin identidad del grupo de Klein tienen orden 2, por lo que dos elementos sin identidad pueden servir como generadores en la presentación anterior. El grupo de cuatro de Klein es el grupo no cíclico más pequeño . Sin embargo, es un grupo abeliano e isomorfo al grupo diedro de orden (cardinalidad) 4, es decir, D ₄ (o D ₂ , usando la convención geométrica); aparte del grupo de orden 2, es el único grupo diedro que es abeliano.

El cuatro-grupo de Klein también es isomorfo a la suma directa Z ₂ ⊕ Z ₂ , por lo que se puede representar como los pares {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1 )} en módulo de adición por componentes 2 (o, de manera equivalente, las cadenas de bits {00, 01, 10, 11} en XOR por bits ); siendo (0,0) el elemento de identidad del grupo. El grupo de cuatro de Klein es, por tanto, un ejemplo de un grupo 2 abeliano elemental , que también se denomina grupo booleano . El grupo de cuatro de Klein es, por tanto, también el grupo generado por la diferencia simétrica como la operación binaria en los subconjuntos de un conjunto de potencias de un conjunto con dos elementos, es decir, sobre un campo de conjuntos con cuatro elementos, por ejemplo ; el conjunto vacío es el elemento de identidad del grupo en este caso. ${\ Displaystyle \ {\ conjunto vacío, \ {\ alpha \}, \ {\ beta \}, \ {\ alpha, \ beta \} \}}$

Otra construcción numérica de los cuatro grupos de Klein es el conjunto {1, 3, 5, 7}, con la operación de multiplicación módulo 8 . Aquí a es 3, b es 5 y c = ab es 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

El grupo de cuatro de Klein tiene una representación como matrices reales de 2 × 2 con la operación de multiplicación de matrices:

${\ displaystyle e = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad a = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, \ quad b = { \ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad c = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$

Geometría

El grupo de simetría de esta cruz es el grupo de cuatro Klein. Se puede voltear horizontalmente ( a ) o verticalmente ( b ) o ambos ( ab ) y permanecer sin cambios. Sin embargo, a diferencia de un cuadrado, una rotación de un cuarto de vuelta cambiará la figura.

Geométricamente, en dos dimensiones, el grupo de cuatro de Klein es el grupo de simetría de un rombo y de rectángulos que no son cuadrados , siendo los cuatro elementos la identidad, la reflexión vertical, la reflexión horizontal y una rotación de 180 grados.

En tres dimensiones hay tres grupos de simetría diferentes que son algebraicamente los cuatro grupos V de Klein:

• uno con tres ejes de rotación de 2 pliegues perpendiculares: D ₂
• uno con un eje de rotación doble y un plano de reflexión perpendicular: C _{2 h} = D _{1 d}
• uno con un eje de rotación doble en un plano de reflexión (y por lo tanto también en un plano de reflexión perpendicular): C _{2 v} = D _{1 h} .

Representación de permutación

Identidad y transposiciones dobles de cuatro objetos forman V

Otras permutaciones de cuatro objetos, formando V también.

Ver 4 subconjuntos de elementos de S ₄

Los tres elementos de orden dos en el grupo de cuatro de Klein son intercambiables: el grupo de automorfismo de V es el grupo de permutaciones de estos tres elementos.

Las permutaciones de los cuatro grupos de Klein de sus propios elementos pueden considerarse abstractamente como su representación de permutación en cuatro puntos:

V = {(), (1,2) (3,4), (1,3) (2,4), (1,4) (2,3)}

En esta representación, V es un subgrupo normal del grupo alterno A ₄ (y también el grupo simétrico S ₄ ) en cuatro letras. De hecho, es el núcleo de un homomorfismo de grupo sobreyectivo de S ₄ a S ₃ .

Otras representaciones dentro de S ₄ son:

{(), (1,2), (3,4), (1,2) (3,4)}

{(), (1,3), (2,4), (1,3) (2,4)}

{(), (1,4), (2,3), (1,4) (2,3)}

No son subgrupos normales de S _4.

Álgebra

Según la teoría de Galois , la existencia de los cuatro grupos de Klein (y en particular, la representación de permutación del mismo) explica la existencia de la fórmula para calcular las raíces de las ecuaciones cuárticas en términos de radicales , como lo estableció Lodovico Ferrari : el mapa S ₄ → S ₃ corresponde al resolutivo cúbico, en términos de los disolventes de Lagrange .

En la construcción de anillos finitos , ocho de los once anillos con cuatro elementos tienen el grupo de cuatro de Klein como su subestructura aditiva.

Si R ^× denota el grupo multiplicativo de reales distintos de cero y R ⁺ el grupo multiplicativo de reales positivos , R ^× × R ^× es el grupo de unidades del anillo R × R , y R ⁺ × R ⁺ es un subgrupo de R ^× × R ^× (de hecho, es el componente de la identidad de R ^× × R ^× ). El grupo cociente ( R ^× × R ^× ) / ( R ⁺ × R ⁺ ) es isomorfo al grupo de cuatro de Klein. De manera similar, el grupo de unidades del anillo de números de complejo dividido, cuando se divide por su componente de identidad, también da como resultado el grupo de cuatro de Klein.

Teoría de grafos

El gráfico conectado simple más simple que admite el grupo de cuatro de Klein como su grupo de automorfismo es el gráfico de diamante que se muestra a continuación. También es el grupo de automorfismos de algunos otros gráficos que son más simples en el sentido de tener menos entidades. Estos incluyen el gráfico con cuatro vértices y un borde, que permanece simple pero pierde conectividad, y el gráfico con dos vértices conectados entre sí por dos bordes, que permanece conectado pero pierde simplicidad.

Música

En la composición musical, el grupo de cuatro es el grupo básico de permutaciones en la técnica de doce tonos . En ese caso, se escribe la tabla Cayley;

Ver también

• Grupo de cuaterniones
• Lista de pequeños grupos

Referencias

Otras lecturas

• MA Armstrong (1988) Grupos y simetría , Springer Verlag , página 53 .
• WE Barnes (1963) Introducción al álgebra abstracta , DC Heath & Co., página 20.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Vierergruppe" . MathWorld .