Centro (teoría de grupos) - Center (group theory)

Tabla Cayley para D 4 que muestra elementos del centro, {e, a 2 }, dispuestos simétricamente con respecto a la diagonal principal (ilustrando que cada uno de ellos se desplaza con todos los demás elementos)
o mi B a un 2 un 3 ab a 2 b a 3 b
mi mi B a un 2 un 3 ab a 2 b a 3 b
B B mi a 3 b a 2 b ab un 3 un 2 a
a a ab un 2 un 3 mi a 2 b a 3 b B
un 2 un 2 a 2 b un 3 mi a a 3 b B ab
un 3 un 3 a 3 b mi a un 2 B ab a 2 b
ab ab a B a 3 b a 2 b mi un 3 un 2
a 2 b a 2 b un 2 ab B a 3 b a mi un 3
a 3 b a 3 b un 3 a 2 b ab B un 2 a mi

En álgebra abstracta , el centro de un grupo , G , es el conjunto de elementos que se desplazan con cada elemento de G . Se denota Z ( G ) , del alemán Zentrum , que significa centro . En notación de constructor de conjuntos ,

Z ( G ) = { zG | ∀ gG , zg = gz } .

El centro es un subgrupo normal , Z ( G ) ⊲ G . Como subgrupo, siempre es característico , pero no necesariamente del todo característico . El grupo del cociente , G / Z ( G ) , es isomorfo al grupo de automorfismo interno , Inn ( G ) .

Un grupo G es abeliano si y sólo si Z ( G ) = G . En el otro extremo, se dice que un grupo no tiene centro si Z ( G ) es trivial ; es decir, consta únicamente del elemento de identidad .

Los elementos del centro a veces se denominan centrales .

Como subgrupo

El centro de G es siempre un subgrupo de G . En particular:

  1. Z ( G ) contiene el elemento de identidad de G , porque conmuta con cada elemento de g , por definición: p . Ej. = G = ge , donde e es la identidad;
  2. Si x y y son en Z ( G ) , entonces también lo es xy , por asociatividad: ( xy ) g = x ( YG ) = x ( GY ) = ( xg ) y = ( gx ) y = g ( xy ) para cada gG ; es decir, Z ( G ) está cerrado;
  3. Si x está en Z ( G ) , entonces también lo está x −1 ya que, para todo g en G , x −1 conmuta con g : ( gx = xg ) ⇒ ( x −1 gxx −1 = x −1 xgx −1 ) ⇒ ( x −1 g = gx −1 ) .

Además, el centro de G es siempre un subgrupo normal de G . Dado que todos los elementos de Z ( G ) conmutan, está cerrado bajo conjugación .

Clases conjugadas y centralizadores

Por definición, el centro es el conjunto de elementos para los cuales la clase de conjugación de cada elemento es el elemento mismo; es decir, Cl ( g ) = { g } .

El centro es también la intersección de todos los centralizadores de cada elemento de G . Como los centralizadores son subgrupos, esto nuevamente muestra que el centro es un subgrupo.

Conjugación

Considere el mapa, f : G → Aut ( G ) , de G al grupo de automorfismo de G definido por f ( g ) = ϕ g , donde ϕ g es el automorfismo de G definido por

f ( g ) ( h ) = ϕ g ( h ) = ghg −1 .

La función, f es un homomorfismo de grupo , y su núcleo es precisamente el centro de G , y su imagen se llama grupo de automorfismo interno de G , denotado Inn ( G ) . Por el primer teorema de isomorfismo obtenemos,

G / Z ( G ) ≃ Posada ( G ) .

El cokernel de este mapa es el grupo Out ( G ) de automorfismos externos , y estos forman la secuencia exacta

1 ⟶ Z ( G ) ⟶ G ⟶ Aut ( G ) ⟶ Fuera ( G ) ⟶ 1 .

Ejemplos de

  • El centro de un grupo abeliano , G , es todo de G .
  • El centro del grupo de Heisenberg , H , es el conjunto de matrices de la forma:
  • El centro de un grupo simple no beliano es trivial.
  • El centro del grupo diedro , D n , es trivial para n impar ≥ 3 . Para incluso n ≥ 4 , el centro consiste en el elemento de identidad junto con la rotación de 180 ° del polígono .
  • El centro del grupo de cuaterniones , Q 8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} , es {1, −1} .
  • El centro del grupo simétrico , S n , es trivial para n ≥ 3 .
  • El centro del grupo alterno , A n , es trivial para n ≥ 4 .
  • El centro del grupo lineal general sobre un campo F , GL n (F) , es la colección de matrices escalares , {sI n ∣ s ∈ F \ {0}} .
  • El centro del grupo ortogonal , O n (F) es {I n , −I n } .
  • El centro del grupo ortogonal especial , SO ( n ) es el grupo completo cuando n = 2 , y de lo contrario {I n , −I n } cuando n es par y trivial cuando n es impar.
  • El centro del grupo unitario , es .
  • El centro del grupo unitario especial , es .
  • El centro del grupo multiplicativo de cuaterniones distintos de cero es el grupo multiplicativo de números reales distintos de cero .
  • Usando la ecuación de clase , se puede probar que el centro de cualquier grupo p finito no trivial no es trivial.
  • Si el grupo de cocientes G / Z ( G ) es cíclico , G es abeliano (y por lo tanto G = Z ( G ) , entonces G / Z ( G ) es trivial).
  • El centro del grupo megaminx es un grupo cíclico de orden 2, y el centro del grupo kilominx es trivial.

Centros superiores

El cociente del centro de un grupo produce una secuencia de grupos denominada serie central superior :

( G 0 = G ) ⟶ ( G 1 = G 0 / Z ( G 0 )) ⟶ ( G 2 = G 1 / Z ( G 1 )) ⟶ ⋯

El núcleo del mapa GG i es el i- ésimo centro de G ( segundo centro , tercer centro , etc.) y se denota Z i ( G ) . Concretamente, el ( i + 1 ) -st centro son los términos que conmutan con todos los elementos hasta un elemento del i- ésimo centro. Siguiendo esta definición, se puede definir el 0º centro de un grupo como el subgrupo de identidad. Esto puede continuar a ordinales transfinitos por inducción transfinita ; la unión de todos los centros superiores se llama hipercentro .

La cadena ascendente de subgrupos

1 ≤ Z ( G ) ≤ Z 2 ( G ) ≤ ⋯

se estabiliza en i (de manera equivalente, Z i ( G ) = Z i + 1 ( G ) ) si y solo si G i no tiene centros.

Ejemplos de

  • Para un grupo sin centros, todos los centros superiores son cero, que es el caso Z 0 ( G ) = Z 1 ( G ) de estabilización.
  • Según el lema de Grün , el cociente de un grupo perfecto por su centro no tiene centro, por lo que todos los centros superiores son iguales al centro. Este es un caso de estabilización en Z 1 ( G ) = Z 2 ( G ) .

Ver también

Notas

Referencias

  • Fraleigh, John B. (2014). Un primer curso de álgebra abstracta (7 ed.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

enlaces externos