Segunda derivada - Second derivative

La segunda derivada de una función cuadrática es constante .

En cálculo , la derivada de segundo orden , o derivada de segundo orden , de una función f es la derivada de la derivada de f . En términos generales, la segunda derivada mide cómo está cambiando la tasa de cambio de una cantidad; por ejemplo, la segunda derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es la aceleración instantánea del objeto, o la tasa a la que la velocidad del objeto cambia con respecto al tiempo. En notación de Leibniz :

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ boldsymbol {x}}} {dt ^ {2}}} ,}$

donde a es la aceleración, v es la velocidad, t es el tiempo, x es la posición yd es el "delta" o cambio instantáneo. La última expresión es la segunda derivada de la posición (x) con respecto al tiempo. ${\ displaystyle {\ tfrac {d ^ {2} {\ boldsymbol {x}}} {dt ^ {2}}}}$

En el gráfico de una función , la segunda derivada corresponde a la curvatura o concavidad del gráfico. La gráfica de una función con una segunda derivada positiva es cóncava hacia arriba, mientras que la gráfica de una función con una segunda derivada negativa se curva de manera opuesta.

Regla de la segunda potencia derivada

La regla de la potencia para la primera derivada, si se aplica dos veces, producirá la regla de la potencia de la segunda derivada de la siguiente manera:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ left [x ^ {n} \ right] = {\ frac {d} {dx}} {\ frac {d} { dx}} \ left [x ^ {n} \ right] = {\ frac {d} {dx}} \ left [nx ^ {n-1} \ right] = n {\ frac {d} {dx}} \ left [x ^ {n-1} \ right] = n (n-1) x ^ {n-2}.}$

Notación

Por lo general, se denota la segunda derivada de una función . Es decir: ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f '' (x)}$

${\ displaystyle f '' = \ left (f '\ right)'}$

Cuando se usa la notación de Leibniz para derivadas, se escribe la segunda derivada de una variable dependiente y con respecto a una variable independiente x

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}.}$

Esta notación se deriva de la siguiente fórmula:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} \, = \, {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {dy} {dx}} \Derecha).}$

Notación alternativa

Como se señala en la sección anterior, la notación estándar de Leibniz para la segunda derivada es . Sin embargo, esta forma no es manipulable algebraicamente. Es decir, aunque se forma como una fracción de diferenciales, la fracción no se puede dividir en pedazos, los términos no se pueden cancelar, etc. Sin embargo, esta limitación se puede remediar usando una fórmula alternativa para la segunda derivada. Éste se deriva de aplicar la regla del cociente a la primera derivada. Hacer esto produce la fórmula: ${\ textstyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle y '' (x) = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) = {\ frac {d \ left ({\ frac {dy } {dx}} \ right)} {dx}} = {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - {\ frac {dy} {dx}} {\ frac {d ^ {2} x} {dx ^ {2}}}}$

En esta fórmula, representa el operador diferencial aplicada a , es decir, , representa aplicando el operador diferencial dos veces, es decir, y se refiere a la plaza del operador diferencial aplicada a , es decir, . ${\ Displaystyle du}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle d (u)}$${\ Displaystyle d ^ {2} u}$${\ Displaystyle d (d (u))}$${\ Displaystyle du ^ {2}}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle (d (u)) ^ {2}}$

Cuando se escribe de esta manera (y teniendo en cuenta el significado de la notación dada anteriormente), los términos de la segunda derivada pueden manipularse libremente como cualquier otro término algebraico. Por ejemplo, la fórmula de la función inversa para la segunda derivada se puede deducir de manipulaciones algebraicas de la fórmula anterior, así como la regla de la cadena para la segunda derivada. Aún se debate si hacer tal cambio en la notación es lo suficientemente útil como para que valga la pena.

Ejemplo

Dada la función

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {3},}$

la derivada de f es la función

${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x) = 3x ^ {2}.}$

La segunda derivada de f es la derivada de , a saber ${\ Displaystyle f ^ {\ prime}}$

${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x) = 6x.}$

Relación con el gráfico

Una parcela de desde hasta . La línea tangente es azul donde la curva es cóncava hacia arriba, verde donde la curva es cóncava hacia abajo y roja en los puntos de inflexión (0, / 2 y ).${\ Displaystyle f (x) = \ sin (2x)}$${\ Displaystyle - \ pi / 4}$${\ Displaystyle 5 \ pi / 4}$${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ pi}$

Concavidad

La segunda derivada de una función f se puede usar para determinar la concavidad de la gráfica de f . Una función cuya segunda derivada es positiva será cóncava hacia arriba (también denominada convexa), lo que significa que la recta tangente estará debajo de la gráfica de la función. De manera similar, una función cuya segunda derivada es negativa será cóncava hacia abajo (también llamada simplemente cóncava), y sus líneas tangentes estarán por encima de la gráfica de la función.

Puntos de inflexión

Si la segunda derivada de una función cambia de signo, la gráfica de la función cambiará de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba, o viceversa. Un punto donde esto ocurre se llama punto de inflexión . Suponiendo que la segunda derivada es continua, debe tomar un valor de cero en cualquier punto de inflexión, aunque no todos los puntos donde la segunda derivada es cero es necesariamente un punto de inflexión.

Prueba de la segunda derivada

La relación entre la segunda derivada y el gráfico se puede utilizar para probar si un punto estacionario para una función (es decir, un punto donde ) es un máximo local o un mínimo local . Específicamente, ${\ Displaystyle f '(x) = 0}$

• Si , entonces tiene un máximo local en .${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x) <0}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$
• Si , entonces tiene un mínimo local en .${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x)> 0}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$
• Si , la prueba de la segunda derivada no dice nada sobre el punto , un posible punto de inflexión.${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x) = 0}$${\ Displaystyle x}$

La razón por la que la segunda derivada produce estos resultados puede verse mediante una analogía del mundo real. Considere un vehículo que al principio avanza a gran velocidad, pero con una aceleración negativa. Claramente, la posición del vehículo en el punto donde la velocidad llega a cero será la distancia máxima desde la posición inicial; después de este tiempo, la velocidad se volverá negativa y el vehículo retrocederá. Lo mismo ocurre con el mínimo, con un vehículo que al principio tiene una velocidad muy negativa pero una aceleración positiva.

Límite

Es posible escribir un solo límite para la segunda derivada:

${\ Displaystyle f '' (x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}}.}$

El límite se llama segunda derivada simétrica . Tenga en cuenta que la segunda derivada simétrica puede existir incluso cuando la segunda derivada (habitual) no existe.

La expresión de la derecha se puede escribir como un cociente de diferencias de cocientes de diferencias:

${\ Displaystyle {\ frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + h) -f ( x)} {h}} - {\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}} {h}}.}$

Este límite puede verse como una versión continua de la segunda diferencia para secuencias .

Sin embargo, la existencia del límite anterior no significa que la función tenga una segunda derivada. El límite anterior solo brinda la posibilidad de calcular la segunda derivada, pero no brinda una definición. Un contraejemplo es la función de signo , que se define como: ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ begin {cases} -1 & {\ text {if}} x <0, \\ 0 & {\ text {if}} x = 0, \\ 1 & {\ texto {if}} x> 0. \ end {cases}}}$

La función de signo no es continua en cero y, por lo tanto, la segunda derivada de no existe. Pero el límite anterior existe para : ${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle x = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ operatorname {sgn} (0 + h) -2 \ operatorname {sgn} (0) + \ operatorname {sgn} (0 -h)} {h ^ {2}}} & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ operatorname {sgn} (h) -2 \ cdot 0+ \ operatorname {sgn} (- h) } {h ^ {2}}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ operatorname {sgn} (h) + (- \ operatorname {sgn} (h))} {h ^ {2}}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {0} {h ^ {2}}} = 0. \ end {alineado}}}$

Aproximación cuadrática

Así como la primera derivada está relacionada con aproximaciones lineales , la segunda derivada está relacionada con la mejor aproximación cuadrática para una función f . Esta es la función cuadrática cuya primera y segunda derivadas son las mismas que las de f en un punto dado. La fórmula para la mejor aproximación cuadrática a una función f alrededor del punto x = a es

${\ Displaystyle f (x) \ approx f (a) + f '(a) (xa) + {\ tfrac {1} {2}} f' '(a) (xa) ^ {2}.}$

Esta aproximación cuadrática es el polinomio de Taylor de segundo orden para la función centrada en x  =  a .

Autovalores y autovectores de la segunda derivada

Para muchas combinaciones de condiciones de contorno, se pueden obtener fórmulas explícitas para valores propios y vectores propios de la segunda derivada . Por ejemplo, asumiendo condiciones de frontera de Dirichlet homogéneas (es decir, ), los valores propios son y los vectores propios correspondientes (también llamados funciones propias ) son . Aquí,${\ Displaystyle x \ in [0, L]}$${\ Displaystyle v (0) = v (L) = 0}$${\ Displaystyle \ lambda _ {j} = - {\ tfrac {j ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$${\ Displaystyle v_ {j} (x) = {\ sqrt {\ tfrac {2} {L}}} \ sin \ left ({\ tfrac {j \ pi x} {L}} \ right)}$${\ Displaystyle v '' _ {j} (x) = \ lambda _ {j} v_ {j} (x), \, j = 1, \ ldots, \ infty.}$

Para otros casos bien conocidos, consulte Autovalores y autovectores de la segunda derivada .

Generalización a dimensiones superiores

El arpillera

La segunda derivada se generaliza a dimensiones superiores mediante la noción de segundas derivadas parciales . Para una función f : R ³  →  R , estos incluyen los tres parciales de segundo orden

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x ^ {2}}}, \; {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial y ^ {2}}} , {\ text {y}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}}}$

y los parciales mixtos

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x \, \ parcial y}}, \; {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x \, \ parcial z }}, {\ text {y}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial y \, \ parcial z}}.}$

Si la imagen y el dominio de la función tienen potencial, entonces estos encajan en una matriz simétrica conocida como hessiana . Los valores propios de esta matriz se pueden utilizar para implementar un análogo multivariable de la prueba de la segunda derivada. (Véase también la prueba de la segunda derivada parcial ).

El laplaciano

Otra generalización común de la segunda derivada es la laplaciana . Este es el operador diferencial (o ) definido por ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}}.}$

El laplaciano de una función es igual a la divergencia del gradiente y la traza de la matriz de Hesse.

Ver también

• Alegría , segunda derivada de la fase instantánea
• Diferencia finita , utilizada para aproximar la segunda derivada
• Prueba de la segunda derivada parcial
• Simetría de segundas derivadas

Referencias

Otras lecturas

Impresión

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2 de febrero de 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8a ed.), Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (junio de 1967), Cálculo, vol. 1: Cálculo de una variable con una introducción al álgebra lineal , 1 (2a ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (junio de 1969), Cálculo, vol. 2: Cálculo multivariable y álgebra lineal con aplicaciones , 1 (2a ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (2 de enero de 1990), Introducción a la historia de las matemáticas (6a ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P .; Edwards, Bruce H. (28 de febrero de 2006), Cálculo: Funciones trascendentales tempranas (4a ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (septiembre de 1994), Cálculo (3.a ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (24 de diciembre de 2002), Cálculo (5.a ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (8 de septiembre de 1998), Calculus Made Easy (Ed. Revisada, actualizada, ampliada), Nueva York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Libros en línea

• Crowell, Benjamin (2003), Cálculo
• Garrett, Paul (2004), Notas sobre cálculo de primer año
• Hussain, Faraz (2006), Comprensión del cálculo
• Keisler, H. Jerome (2000), Cálculo elemental: un enfoque que utiliza infinitesimales
• Mauch, Sean (2004), versión íntegra del libro de matemáticas aplicadas de Sean , archivado desde el original el 15 de abril de 2006
• Sloughter, Dan (2000), Ecuaciones en diferencias a ecuaciones diferenciales
• Strang, Gilbert (1991), cálculo
• Stroyan, Keith D. (1997), Una breve introducción al cálculo infinitesimal , archivado desde el original el 11 de septiembre de 2005
• Wikilibros, Cálculo

enlaces externos

• Segunda derivada discreta de puntos espaciados desigualmente