Reglas de diferenciación - Differentiation rules

Parte de una serie de artículos sobre
Cálculo
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Este es un resumen de las reglas de diferenciación , es decir, reglas para calcular la derivada de una función en cálculo .

Reglas elementales de diferenciación

A menos que se indique lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( R ) que devuelven valores reales; aunque de manera más general, las fórmulas siguientes se aplican siempre que estén bien definidas , incluido el caso de números complejos ( C ) .

La diferenciación es lineal

Para cualquier función y cualquier número real y , la derivada de la función con respecto a es ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle h (x) = af (x) + bg (x)}$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle h '(x) = af' (x) + bg '(x).}$

En la notación de Leibniz, esto se escribe como:

${\ Displaystyle {\ frac {d (af + bg)} {dx}} = a {\ frac {df} {dx}} + b {\ frac {dg} {dx}}.}$

Los casos especiales incluyen:

• La regla del factor constante

${\ Displaystyle (af) '= af'}$

• La regla de la suma

${\ Displaystyle (f + g) '= f' + g '}$

• La regla de la resta

${\ Displaystyle (fg) '= f'-g'.}$

La regla del producto

Para las funciones f y g , la derivada de la función h ( x ) = f ( x ) g ( x ) con respecto ax es

${\ Displaystyle h '(x) = (fg)' (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x).}$

En la notación de Leibniz esto está escrito

${\ Displaystyle {\ frac {d (fg)} {dx}} = {\ frac {df} {dx}} g + f {\ frac {dg} {dx}}.}$

La regla de la cadena

La derivada de la función es ${\ Displaystyle h (x) = f (g (x))}$

${\ Displaystyle h '(x) = f' (g (x)) \ cdot g '(x).}$

En la notación de Leibniz, esto se escribe como:

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} h (x) = {\ frac {d} {dz}} f (z) | _ {z = g (x)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} g (x),}$

a menudo resumido a

${\ Displaystyle {\ frac {dh (x)} {dx}} = {\ frac {df (g (x))} {dg (x)}} \ cdot {\ frac {dg (x)} {dx} }.}$

Centrándonos en la noción de mapas, y siendo el diferencial un mapa , esto se escribe de una manera más concisa como: ${\ Displaystyle {\ text {D}}}$

${\ Displaystyle [{\ text {D}} (f \ circ g)] _ {x} = [{\ text {D}} f] _ {g (x)} \ cdot [{\ text {D}} g] _ {x} \ ,.}$

La regla de la función inversa

Si la función f tiene una función inversa g , lo que significa que y luego ${\ Displaystyle g (f (x)) = x}$${\ Displaystyle f (g (y)) = y,}$

${\ Displaystyle g '= {\ frac {1} {f' \ circ g}}.}$

En notación de Leibniz, esto se escribe como

${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ frac {dy} {dx}}}.}$

Leyes de potencia, polinomios, cocientes y recíprocos

La regla de potencia polinomial o elemental

Si , para cualquier número real, entonces ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {r}}$${\ Displaystyle r \ neq 0,}$

${\ Displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1}.}$

Cuando este se convierte en el caso especial de que si entonces${\ Displaystyle r = 1,}$${\ Displaystyle f (x) = x,}$${\ Displaystyle f '(x) = 1.}$

La combinación de la regla de la potencia con la suma y las reglas de múltiplos constantes permite calcular la derivada de cualquier polinomio.

La regla recíproca

La derivada de para cualquier función f (que no desaparece) es: ${\ Displaystyle h (x) = {\ frac {1} {f (x)}}}$

${\ Displaystyle h '(x) = - {\ frac {f' (x)} {(f (x)) ^ {2}}}}$donde f es distinto de cero.

En la notación de Leibniz, esto está escrito

${\ displaystyle {\ frac {d (1 / f)} {dx}} = - {\ frac {1} {f ^ {2}}} {\ frac {df} {dx}}.}$

La regla recíproca puede derivarse de la regla del cociente o de la combinación de regla de potencia y regla de cadena.

La regla del cociente

Si f y g son funciones, entonces:

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) '= {\ frac {f'g-g'f} {g ^ {2}}} \ quad}$donde g es distinto de cero.

Esto puede derivarse de la regla del producto y la regla recíproca.

Regla de poder generalizada

La regla de poder elemental se generaliza considerablemente. La regla de potencia más general es la regla de potencia funcional : para cualquier función f y g ,

${\ displaystyle (f ^ {g}) '= \ left (e ^ {g \ ln f} \ right)' = f ^ {g} \ left (f '{g \ sobre f} + g' \ ln f \ right), \ quad}$

siempre que ambos lados estén bien definidos.

Casos especiales

• Si , entonces cuando a es cualquier número real distinto de cero y x es positivo.${\ textstyle f (x) = x ^ {a} \!}$${\ textstyle f '(x) = ax ^ {a-1}}$
• La regla recíproca puede derivarse como el caso especial donde .${\ estilo de texto g (x) = - 1 \!}$

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (c ^ {ax} \ right) = {ac ^ {ax} \ ln c}, \ qquad c> 0}$

la ecuación anterior es verdadera para todo c , pero la derivada de produce un número complejo. ${\ textstyle c <0}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (e ^ {ax} \ right) = ae ^ {ax}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ log _ {c} x \ right) = {1 \ over x \ ln c}, \ qquad c> 0, c \ neq 1}$

la ecuación anterior también es cierta para todo c , pero produce un número complejo si . ${\ textstyle c <0 \!}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln x \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x> 0.}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln | x | \ right) = {1 \ over x}.}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {x} \ right) = x ^ {x} (1+ \ ln x).}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = g (x) f (x) ^ {g (x) -1} {\ frac {df} {dx}} + f (x) ^ {g (x)} \ ln {(f (x))} {\ frac {dg} {dx}}, \ qquad {\ text {if}} f (x)> 0, {\ text {y if}} {\ frac {df} {dx}} {\ text {y}} {\ frac {dg} {dx}} {\ text {existen.}} }$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f_ {1} (x) ^ {f_ {2} (x) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} ( x)}}} \ derecha) = \ izquierda [\ suma \ límites _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {k}}} \ izquierda (f_ {1} ( x_ {1}) ^ {f_ {2} (x_ {2}) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} (x_ {n})}}} \ right) \ right] { \ biggr \ vert} _ {x_ {1} = x_ {2} = ... = x_ {n} = x}, {\ text {if}} f_ {i <n} (x)> 0 {\ text {y}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {df_ {i}} {dx}} {\ text {existe. }}}$

Derivadas logarítmicas

La derivada logarítmica es otra forma de enunciar la regla para diferenciar el logaritmo de una función (usando la regla de la cadena):

${\ Displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad}$donde f es positivo.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos se pueden usar para eliminar exponentes, convertir productos en sumas y convertir la división en resta, cada uno de los cuales puede conducir a una expresión simplificada para tomar derivadas.

Derivadas de funciones trigonométricas

${\ Displaystyle (\ sin x) '= \ cos x}$	${\ displaystyle (\ arcsin x) '= {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle (\ cos x) '= - \ sin x}$	${\ Displaystyle (\ arccos x) '= - {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle (\ tan x) '= \ sec ^ {2} x = {1 \ over \ cos ^ {2} x} = 1 + \ tan ^ {2} x}$	${\ displaystyle (\ arctan x) '= {1 \ over 1 + x ^ {2}}}$
${\ Displaystyle (\ cot x) '= - \ csc ^ {2} x = - {1 \ over \ sin ^ {2} x} = - (1+ \ cot ^ {2} x)}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arccot} x) '= - {1 \ over 1 + x ^ {2}}}$
${\ Displaystyle (\ sec x) '= \ tan x \ sec x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcsec} x) '= {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$
${\ Displaystyle (\ csc x) '= - \ cot x \ csc x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arccsc} x) '= - {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$

Es común para definir adicionalmente una función tangente inversa con dos argumentos , . Su valor se encuentra en el rango y refleja el cuadrante del punto . Para el primer y cuarto cuadrante (es decir ) uno tiene . Sus derivadas parciales son ${\ Displaystyle \ arctan (y, x) \!}$${\ Displaystyle [- \ pi, \ pi] \!}$${\ Displaystyle (x, y) \!}$${\ Displaystyle x> 0 \!}$${\ Displaystyle \ arctan (y, x> 0) = \ arctan (y / x) \!}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial \ arctan (y, x)} {\ parcial y}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$y ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial x}} = {\ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Derivadas de funciones hiperbólicas

${\ Displaystyle (\ sinh x) '= \ cosh x = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arsinh} \, x) '= {1 \ over {\ sqrt {x ^ {2} +1}}}}$
${\ Displaystyle (\ cosh x) '= \ sinh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcosh} \, x) '= {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$
${\ displaystyle (\ tanh x) '= {\ operatorname {sech} ^ {2} \, x}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {artanh} \, x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}}$
${\ Displaystyle (\ operatorname {coth} \, x) '= - \, \ operatorname {csch} ^ {2} \, x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcoth} \, x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}}$
${\ Displaystyle (\ operatorname {sech} \, x) '= - \ tanh x \, \ operatorname {sech} \, x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arsech} \, x) '= - {1 \ over x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle (\ operatorname {csch} \, x) '= - \, \ operatorname {coth} \, x \, \ operatorname {csch} \, x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcsch} \, x) '= - {1 \ over | x | {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$

Consulte Funciones hiperbólicas para conocer las restricciones sobre estas derivadas.

Derivadas de funciones especiales

Función gamma ${\ Displaystyle \ quad \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \, dt}$ ${\ Displaystyle \ Gamma '(x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \ ln t \, dt}$ ${\ Displaystyle \, = \ Gamma (x) \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ ln \ left (1 + {\ dfrac {1} {n}} \ right) - {\ dfrac {1} {x + n}} \ right) - {\ dfrac {1} {x}} \ right)}$ ${\ Displaystyle \, = \ Gamma (x) \ psi (x)}$ con siendo la función digamma , expresada por la expresión entre paréntesis a la derecha de la línea anterior. ${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ Gamma (x)}$

Función Riemann Zeta${\ Displaystyle \ quad \ zeta (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}}}$ ${\ Displaystyle \ zeta '(x) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln n} {n ^ {x}}} = - {\ frac {\ ln 2} {2 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 3} {3 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 4} {4 ^ {x}}} - \ cdots}$ ${\ Displaystyle \, = - \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {p ^ {- x} \ ln p} {(1-p ^ {- x}) ^ {2}} } \ prod _ {q {\ text {prime}}, q \ neq p} {\ frac {1} {1-q ^ {- x}}}}$

Derivadas de integrales

Suponga que se requiere diferenciar con respecto ax la función

${\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,}$

donde las funciones y son continuas en ambos y en alguna región del plano, incluida , y las funciones y son continuas y ambas tienen derivadas continuas para . Entonces para : ${\ Displaystyle f (x, t)}$${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \, f (x, t)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle (t, x)}$${\ Displaystyle a (x) \ leq t \ leq b (x),}$ ${\ Displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$${\ Displaystyle a (x)}$${\ Displaystyle b (x)}$${\ Displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$${\ Displaystyle \, x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$

${\ Displaystyle F '(x) = f (x, b (x)) \, b' (x) -f (x, a (x)) \, a '(x) + \ int _ {a (x )} ^ {b (x)} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \, f (x, t) \; dt \,.$

Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y se puede derivar usando el teorema fundamental del cálculo .

Derivados a N º orden

Existen algunas reglas para calcular la n - ésima derivada de funciones, donde n es un número entero positivo. Éstos incluyen:

La fórmula de Faà di Bruno

Si f y g son n veces diferenciables, entonces

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (g (x))] = n! \ sum _ {\ {k_ {m} \}} ^ {} f ^ {(r)} (g (x)) \ prod _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {m}!}} \ left (g ^ {(m)} (x ) \ right) ^ {k_ {m}}}$

donde y el conjunto consta de todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación diofántica . ${\ Displaystyle r = \ sum _ {m = 1} ^ {n-1} k_ {m}}$${\ Displaystyle \ {k_ {m} \}}$${\ Displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {n} mk_ {m} = n}$

Regla general de Leibniz

Si f y g son n veces diferenciables, entonces

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (x) g (x)] = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {d ^ {nk}} {dx ^ {nk}}} f (x) {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} g (x)}$

Ver también

• Identidades de cálculo vectorial
• Función diferenciable
• Diferencial de una función
• Lista de funciones matemáticas
• Funciones trigonométricas
• Funciones trigonométricas inversas
• Funciones hiperbólicas
• Funciones hiperbólicas inversas
• Cálculo de matrices
• Diferenciación bajo el signo integral

Referencias

Fuentes y lectura adicional

Estas reglas se dan en muchos libros, tanto sobre cálculo elemental como avanzado, en matemáticas puras y aplicadas. Los de este artículo (además de las referencias anteriores) se pueden encontrar en:

• Manual matemático de fórmulas y tablas (tercera edición) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN  978-0-07-154855-7 .
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Métodos matemáticos para la física y la ingeniería , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-86153-3
• Manual de funciones matemáticas del NIST , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-19225-5 .

enlaces externos

Recursos de la biblioteca sobre reglas de diferenciación

Recursos en su biblioteca

• Calculadora de derivadas con simplificación de fórmulas