Diferencia finita - Finite difference

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma $f (x + b) - f (x + a)$ . Si una diferencia finita se divide por $b - a$ , se obtiene un cociente de diferencias . La aproximación de derivadas por diferencias finitas juega un papel central en los métodos de diferencias finitas para la solución numérica de ecuaciones diferenciales , especialmente problemas de valores en la frontera .

Ciertas relaciones de recurrencia se pueden escribir como ecuaciones en diferencias reemplazando la notación de iteración con diferencias finitas.

Hoy en día, el término "diferencia finita" a menudo se toma como sinónimo de aproximaciones de derivadas en diferencias finitas , especialmente en el contexto de métodos numéricos . Las aproximaciones en diferencias finitas son cocientes en diferencias finitas en la terminología empleada anteriormente.

Las diferencias finitas fueron introducidas por Brook Taylor en 1715 y también se han estudiado como objetos matemáticos abstractos autónomos en trabajos de George Boole (1860), LM Milne-Thomson (1933) y Károly Jordan (1939). Las diferencias finitas remontan sus orígenes a uno de los algoritmos de Jost Bürgi ( c. 1592 ) y el trabajo de otros, incluido Isaac Newton . El cálculo formal de diferencias finitas puede verse como una alternativa al cálculo de infinitesimales .

Tipos basicos

Los tres tipos de diferencias finitas. La diferencia central sobre x da la mejor aproximación de la derivada de la función en x.

Normalmente se consideran tres tipos básicos: diferencias finitas hacia adelante , hacia atrás y centrales .

Una diferencia hacia adelante , denotada por una función $f,$ es una función definida como ${\ Displaystyle \ Delta _ {h} [f],}$

{\ Displaystyle \ Delta _ {h} [f] (x) = f (x + h) -f (x).}

Dependiendo de la aplicación, la separación $h$ puede ser variable o constante. Cuando se omite, $h$ se toma como 1; es decir,

{\ Displaystyle \ Delta [f] (x) = \ Delta _ {1} [f] (x) = f (x + 1) -f (x).}

A diferencia hacia atrás utiliza los valores de la función en $x$ y $x - h$ , en lugar de los valores en $x + h$ y $x$ :

{\ Displaystyle \ nabla _ {h} [f] (x) = f (x) -f (xh) = \ Delta _ {h} [f] (xh).}

Finalmente, la diferencia central viene dada por

{\ Displaystyle \ delta _ {h} [f] (x) = f \ left (x + {\ tfrac {h} {2}} \ right) -f \ left (x - {\ tfrac {h} {2} } \ right) = \ Delta _ {h} [f] (x - {\ tfrac {h} {2}}).}

Relación con derivados

La diferencia finita se usa a menudo como una aproximación de la derivada, típicamente en la diferenciación numérica .

La derivada de una función $f$ en un punto $x$ está definida por el límite .

{\ Displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}

Si $h$ tiene un valor fijo (distinto de cero) en lugar de aproximarse a cero, entonces el lado derecho de la ecuación anterior se escribiría

{\ Displaystyle {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}.}

Por tanto, la diferencia directa dividida por $h se$ aproxima a la derivada cuando $h$ es pequeña. El error en esta aproximación se puede derivar del teorema de Taylor . Suponiendo que $f$ es dos veces diferenciable, tenemos

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}

La misma fórmula es válida para la diferencia hacia atrás:

{\ Displaystyle {\ frac {\ nabla _ {h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O (h) \ to 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}

Sin embargo, la diferencia central (también llamada centrada) produce una aproximación más precisa. Si $f$ es tres veces diferenciable,

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta _ {h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O \ left (h ^ {2} \ right).}

Sin embargo, el principal problema con el método de la diferencia central es que las funciones oscilantes pueden producir una derivada cero. Si $f (nh) = 1$ para $n$ impar y $f (nh) = 2$ para $n$ par, entonces $f' (nh) = 0$ si se calcula con el esquema de diferencia central . Esto es particularmente problemático si el dominio de $f$ es discreto. Ver también derivada simétrica

Los autores para quienes diferencias finitas significan aproximaciones en diferencias finitas definen las diferencias hacia adelante / hacia atrás / centrales como los cocientes dados en esta sección (en lugar de emplear las definiciones dadas en la sección anterior).

Diferencias de orden superior

De manera análoga, se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden superior y operadores diferenciales. Por ejemplo, utilizando la fórmula de diferencia central anterior para $f ′ ( x +.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} h/2)$ y $f' (x - h / 2)$ y aplicando una fórmula de diferencia central para la derivada de $f'$ en $x$ , obtenemos la aproximación de diferencia central de la segunda derivada de $f$ :

Central de segundo orden: ${\ Displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} - {\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x + h) -2f (x) + f (xh)} {h ^ {2}}}.}$

Del mismo modo, podemos aplicar otras fórmulas de diferenciación de forma recursiva.

Segundo orden hacia adelante: ${\ Displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x + 2h) -f (x + h)} {h}} - {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}} {h}} = {\ frac {f ( x + 2h) -2f (x + h) + f (x)} {h ^ {2}}}.}$

Segundo orden al revés: ${\ Displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ nabla _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}} - {\ frac {f (xh) -f (x-2h)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x) -2f (xh) + f (x-2h)} {h ^ {2}}}.}$

Más generalmente, el $n$ º orden hacia adelante, hacia atrás y centrales diferencias están dadas por, respectivamente,

Hacia adelante: ${\ Displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} {\ binom {n} {i}} f {\ bigl (} x + ih {\ bigr)},}$

o para $h = 1$ ,

{\ Displaystyle \ Delta ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (- 1) ^ {nk} f (x + k)}

Hacia atrás: ${\ Displaystyle \ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f (x-ih),}$

Central: ${\ Displaystyle \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f \ left (x + \ left ({\ frac {n} {2}} - i \ right) h \ right).}$

Estas ecuaciones usan coeficientes binomiales después del signo de suma que se muestra como $(n yo)$ . Cada fila deltriángulodePascalproporciona el coeficiente para cada valor de $i$ .

Tenga en cuenta que la diferencia central, para $n$ impar , tendrá $h$ multiplicado por no enteros. Esto suele ser un problema porque equivale a cambiar el intervalo de discretización. El problema se puede solucionar tomando el promedio de $δ n [f] (x - h / 2)$ y $δ n [f] (x + h / 2)$ .

Las diferencias hacia adelante aplicadas a una secuencia a veces se denominan transformada binomial de la secuencia y tienen varias propiedades combinatorias interesantes. Las diferencias hacia adelante se pueden evaluar utilizando la integral de Nörlund-Rice . La representación integral para estos tipos de series es interesante, porque la integral a menudo se puede evaluar usando técnicas de expansión asintótica o de punto silla ; por el contrario, la serie de diferencias progresivas puede ser extremadamente difícil de evaluar numéricamente, porque los coeficientes binomiales crecen rápidamente para $n$ grandes .

La relación de estas diferencias de orden superior con los respectivos derivados es sencilla,

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}} (x) = {\ frac {\ Delta _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O (h) = {\ frac {\ nabla _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O (h) = {\ frac { \ delta _ {h} ^ {n} [f] (x)} {h ^ {n}}} + O \ left (h ^ {2} \ right).}

Las diferencias de orden superior también se pueden utilizar para construir mejores aproximaciones. Como se mencionó anteriormente, la diferencia de primer orden se aproxima a la derivada de primer orden hasta un término de orden $h$ . Sin embargo, la combinación

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x) - {\ frac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} [f] (x)} {h} } = - {\ frac {f (x + 2h) -4f (x + h) + 3f (x)} {2h}}}

aproxima $f' (x)$ hasta un término de orden $h 2$ . Esto se puede probar expandiendo la expresión anterior en series de Taylor , o usando el cálculo de diferencias finitas, que se explica a continuación.

Si es necesario, la diferencia finita se puede centrar alrededor de cualquier punto mezclando diferencias hacia adelante, hacia atrás y centrales.

Granos de tamaño arbitrario

Usando álgebra lineal se pueden construir aproximaciones en diferencias finitas que utilizan un número arbitrario de puntos a la izquierda y un número (posiblemente diferente) de puntos a la derecha del punto de evaluación, para cualquier orden derivada. Esto implica resolver un sistema lineal tal que la expansión de Taylor de la suma de esos puntos alrededor del punto de evaluación se aproxime mejor a la expansión de Taylor de la derivada deseada. Estas fórmulas se pueden representar gráficamente en una cuadrícula hexagonal o en forma de diamante.

Esto es útil para diferenciar una función en una cuadrícula, donde, a medida que uno se acerca al borde de la cuadrícula, debe muestrear cada vez menos puntos en un lado.

Los detalles se describen en estas notas .

La calculadora de coeficientes de diferencia finita construye aproximaciones en diferencias finitas para plantillas no estándar (e incluso no enteras) dadas una plantilla arbitraria y un orden derivado deseado.

Propiedades

Para todos los $k$ y $n$ positivos

{\ Displaystyle \ Delta _ {kh} ^ {n} (f, x) = \ sum \ limits _ {i_ {1} = 0} ^ {k-1} \ sum \ limits _ {i_ {2} = 0 } ^ {k-1} \ cdots \ sum \ limits _ {i_ {n} = 0} ^ {k-1} \ Delta _ {h} ^ {n} \ left (f, x + i_ {1} h + i_ {2} h + \ cdots + i_ {n} h \ derecha).}

Regla de Leibniz :

{\ Displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} (fg, x) = \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ Delta _ {h} ^ {k} (f, x) \ Delta _ {h} ^ {nk} (g, x + kh).}

En ecuaciones diferenciales

Una aplicación importante de las diferencias finitas se encuentra en el análisis numérico , especialmente en las ecuaciones diferenciales numéricas , que apuntan a la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . La idea es reemplazar las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial por diferencias finitas que las aproximen. Los métodos resultantes se denominan métodos de diferencias finitas .

Las aplicaciones comunes del método de diferencias finitas se encuentran en las ciencias computacionales y las disciplinas de la ingeniería, como la ingeniería térmica , la mecánica de fluidos , etc.

Serie de Newton

La serie de Newton consta de los términos de la ecuación de diferencias progresivas de Newton , que lleva el nombre de Isaac Newton ; en esencia, es la fórmula de interpolación de Newton , publicada por primera vez en su Principia Mathematica en 1687, es decir, el análogo discreto de la expansión continua de Taylor,

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Delta ^ {k} [f] (a)} {k!}} \, (xa) _ { k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {xa} {k}} \, \ Delta ^ {k} [f] (a),}$

que se cumple para cualquier función polinomial $f$ y para muchas (pero no todas) funciones analíticas (no se cumple cuando $f$ es de tipo exponencial . Esto se ve fácilmente, ya que la función seno desaparece en múltiplos enteros de ; la serie de Newton correspondiente es idénticamente cero , ya que todas las diferencias finitas son cero en este caso. Sin embargo, es evidente que la función seno no es cero). Aquí, la expresión ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle \ pi}$

{\ Displaystyle {\ binom {x} {k}} = {\ frac {(x) _ {k}} {k!}}}

es el coeficiente binomial , y

{\ Displaystyle (x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k + 1)}

es el " factorial descendente " o "factorial inferior", mientras que el producto vacío $(x) 0$ se define como 1. En este caso particular, hay una suposición de pasos unitarios para los cambios en los valores de $x, h = 1$ de la generalización a continuación.

Note la correspondencia formal de este resultado con el teorema de Taylor . Históricamente, esto, así como la identidad Chu-Vandermonde ,

{\ Displaystyle (x + y) _ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (x) _ {nk} \, (y) _ {k },}

(que siguen de él, y que corresponden al teorema del binomio ), se incluyen en las observaciones que maduraron al sistema de cálculo umbral .

Para ilustrar cómo se puede usar la fórmula de Newton en la práctica, considere los primeros términos de duplicar la secuencia de Fibonacci $f = 2, 2, 4, ...$ Uno puede encontrar un polinomio que reproduzca estos valores, calculando primero una tabla de diferencias, y luego sustituyendo las diferencias que corresponden $ax 0$ (subrayado) en la fórmula de la siguiente manera,

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {array} {| c || c | c | c |} \ hline x & f = \ Delta ^ {0} & \ Delta ^ {1} & \ Delta ^ {2 } \\\ hline 1 & {\ underline {2}} && \\ && {\ underline {0}} & \\ 2 & 2 && {\ underline {2}} \\ && 2 & \\ 3 & 4 && \\\ hline \ end {array} } & \ quad {\ begin {alineado} f (x) & = \ Delta ^ {0} \ cdot 1+ \ Delta ^ {1} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {1} } {1!}} + \ Delta ^ {2} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {2}} {2!}} \ Quad (x_ {0} = 1) \\\ \ & = 2 \ cdot 1 + 0 \ cdot {\ dfrac {x-1} {1}} + 2 \ cdot {\ dfrac {(x-1) (x-2)} {2}} \\\\ & = 2 + (x-1) (x-2) \\\ end {alineado}} \ end {matriz}}}

Para el caso de pasos no uniformes en los valores de $x$ , Newton calcula las diferencias divididas ,

{\ Displaystyle \ Delta _ {j, 0} = y_ {j}, \ qquad \ Delta _ {j, k} = {\ frac {\ Delta _ {j + 1, k-1} - \ Delta _ {j , k-1}} {x_ {j + k} -x_ {j}}} \ quad \ ni \ quad \ left \ {k> 0, \; j \ leq \ max \ left (j \ right) -k \ right \}, \ qquad \ Delta 0_ {k} = \ Delta _ {0, k}}

la serie de productos,

{\ Displaystyle {P_ {0}} = 1, \ quad \ quad P_ {k + 1} = P_ {k} \ cdot \ left (\ xi -x_ {k} \ right),}

y el polinomio resultante es el producto escalar ,

{\ Displaystyle f (\ xi) = \ Delta 0 \ cdot P \ left (\ xi \ right)}

.

En el análisis con números $p$ -ádicos , el teorema de Mahler establece que la suposición de que $f$ es una función polinomial puede debilitarse hasta la suposición de que $f$ es meramente continua.

El teorema de Carlson proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que una serie de Newton sea única, si es que existe. Sin embargo, una serie de Newton, en general, no existe.

La serie de Newton, junto con la serie de Stirling y la serie de Selberg , es un caso especial de la serie de diferencias generales , todas las cuales se definen en términos de diferencias hacia adelante adecuadamente escaladas.

En una forma comprimida y un poco más general y nodos equidistantes, la fórmula dice

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} {\ binom {\ frac {xa} {h}} {k}} \ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} {\ binom {k} {j}} f (a + jh).}

Cálculo de diferencias finitas

La diferencia hacia adelante se puede considerar como un operador , llamado operador de diferencia , que asigna la función $f$ a $Δ h [f]$ . Este operador asciende a

{\ Displaystyle \ Delta _ {h} = T_ {h} -I,}

donde $T h$ es el operador de desplazamiento con el paso h , definido por $T h [f] (x) = f (x + h)$ , e $I$ es el operador de identidad .

La diferencia finita de órdenes superiores se puede definir de manera recursiva como $Δ n h \equiv Δ h (Δ n - 1 hora)$ . Otra definición equivalente es $Δ n h = [T h - I] n$ .

El operador de diferencia $Δ h$ es un operador lineal , como tal, satisface $Δ h [αf + βg] (x) = α Δ h [f] (x) + β Δ h [g] (x)$ .

También satisface una regla especial de Leibniz indicada anteriormente, $Δ h (f (x) g (x)) = (Δ h f (x)) g (x + h) + f (x) (Δ h g (x))$ . Declaraciones similares son válidas para las diferencias centrales y hacia atrás.

Al aplicar formalmente la serie de Taylor con respecto a $h$ , se obtiene la fórmula

{\ Displaystyle \ Delta _ {h} = hD + {\ frac {1} {2!}} h ^ {2} D ^ {2} + {\ frac {1} {3!}} h ^ {3} D ^ {3} + \ cdots = \ mathrm {e} ^ {hD} -I,}

donde $D$ denota el operador de la derivada del continuo, mapeando $f$ a su derivada $f'$ . La expansión es válida cuando ambos lados actúan sobre funciones analíticas , para $h$ suficientemente pequeño . Por lo tanto, $T h = e hD$ , y formalmente invirtiendo los rendimientos exponenciales

{\ Displaystyle hD = \ log (1+ \ Delta _ {h}) = \ Delta _ {h} - {\ tfrac {1} {2}} \ Delta _ {h} ^ {2} + {\ tfrac { 1} {3}} \ Delta _ {h} ^ {3} - \ cdots.}

Esta fórmula es válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio.

Incluso para las funciones analíticas, no se garantiza que la serie de la derecha converja; puede ser una serie asintótica . Sin embargo, se puede utilizar para obtener aproximaciones más precisas para la derivada. Por ejemplo, retener los dos primeros términos de la serie produce la aproximación de segundo orden a $f' (x)$ mencionada al final de la sección Diferencias de orden superior .

Las fórmulas análogas para los operadores de diferencia central y hacia atrás son

{\ Displaystyle hD = - \ log (1- \ nabla _ {h}) \ quad {\ text {y}} \ quad hD = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ delta _ {h} \ right).}

El cálculo de diferencias finitas está relacionado con el cálculo umbral de la combinatoria. Esta correspondencia notablemente sistemática se debe a la identidad de los conmutadores de las cantidades umbral con sus análogos continuos ( límites $h \to 0$ ),

${\ Displaystyle \ left [{\ frac {\ Delta _ {h}} {h}}, x \, T_ {h} ^ {- 1} \ right] = [D, x] = I.}$

Un gran número de relaciones diferenciales formales de cálculo estándar que involucran funciones $f (x)$ se asignan sistemáticamente a los análogos umbral de diferencias finitas que involucran $f (xT -1 h)$ .

Por ejemplo, el análogo umbral de un monomio $x n$ es una generalización del factorial descendente anterior ( símbolo k de Pochhammer ),

{\ Displaystyle ~ (x) _ {n} \ equiv \ left (xT_ {h} ^ {- 1} \ right) ^ {n} = x (xh) (x-2h) \ cdots {\ bigl (} x - (n-1) h {\ bigr)},}

así que eso

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (x) _ {n} = n (x) _ {n-1},}

de ahí la fórmula de interpolación de Newton anterior (haciendo coincidir los coeficientes en la expansión de una función arbitraria $f (x)$ en tales símbolos), y así sucesivamente.

Por ejemplo, el seno umbral es

{\ Displaystyle \ sin \ left (x \, T_ {h} ^ {- 1} \ right) = x - {\ frac {(x) _ {3}} {3!}} + {\ frac {(x ) _ {5}} {5!}} - {\ frac {(x) _ {7}} {7!}} + \ Cdots}

Como en el límite del continuo, la función propia de $Δ h / h$ también resulta ser exponencial,

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (1+ \ lambda h) ^ {\ frac {x} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h}} {h }} e ^ {\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}}} = \ lambda e ^ {\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}} },}

y por lo tanto, las sumas de Fourier de funciones continuas se asignan fácilmente a sumas umbral de Fourier fielmente , es decir, involucrando los mismos coeficientes de Fourier multiplicando estos exponenciales de base umbral. Este umbral exponencial equivale a la función generadora exponencial de los símbolos de Pochhammer .

Así, por ejemplo, la función delta de Dirac se asigna a su correspondiente umbral, la función del seno cardinal ,

{\ Displaystyle \ delta (x) \ mapsto {\ frac {\ sin \ left [{\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 + {\ frac {x} {h}} \ right) \ right ]} {\ pi (x + h)}},}

Etcétera. Las ecuaciones en diferencias a menudo se pueden resolver con técnicas muy similares a las que se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales .

El operador inverso del operador de diferencia hacia adelante, entonces la integral umbral, es el operador de suma indefinida o antidiferencia.

Reglas para el cálculo de operadores de diferencias finitas

De manera análoga a las reglas para encontrar la derivada , tenemos:

Regla de la constante : si $c$ es una constante , entonces

{\ Displaystyle \ Delta c = 0}

Linealidad : si $un$ y $b$ son constantes ,

{\ Displaystyle \ Delta (af + bg) = a \, \ Delta f + b \, \ Delta g}

Todas las reglas anteriores se aplican igualmente bien a cualquier operador de diferencia, incluido $\nabla$ como $Δ$ .

Regla de producto :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta (fg) & = f \, \ Delta g + g \, \ Delta f + \ Delta f \, \ Delta g \\\ nabla (fg) & = f \, \ nabla g + g \, \ nabla f- \ nabla f \, \ nabla g \ end {alineado}}}

Regla del cociente :

{\ Displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {1} {g}} \ det {\ begin {bmatrix} \ nabla f & \ nabla g \\ f & g \ end {bmatrix}} \ left (\ det {\ begin {bmatrix} g & \ nabla g \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} \ right) ^ {- 1}}

o

{\ Displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {g \, \ nabla ff \, \ nabla g} {g \ cdot (g- \ nabla g)} }}

Reglas de suma :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n = a} ^ {b} \ Delta f (n) & = f (b + 1) -f (a) \\\ sum _ {n = a} ^ {b} \ nabla f (n) & = f (b) -f (a-1) \ end {alineado}}}

Ver referencias.

Generalizaciones

Una diferencia finita generalizada generalmente se define como ${\ Displaystyle \ Delta _ {h} ^ {\ mu} [f] (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ mu _ {k} f (x + kh),}$ donde $μ = (μ 0,\dots, μ N)$ es su vector de coeficientes. Una diferencia infinita es una generalización adicional, donde la suma finita anterior se reemplaza por una serie infinita . Otra forma de generalización es hacer que los coeficientes $μ k$ dependan del punto $x$ : $μ k = μ k (x)$ , considerando así la diferencia finita ponderada . También se puede hacer que el paso $h$ dependa del punto $x$ : $h = h (x)$ . Estas generalizaciones son útiles para construir diferentes módulos de continuidad .
La diferencia generalizada puede verse como los anillos polinomiales $R [T h]$ . Conduce a álgebras de diferencias.
El operador de diferencia se generaliza a la inversión de Möbius sobre un conjunto parcialmente ordenado .
Como operador de convolución: a través del formalismo de álgebras de incidencia , los operadores de diferencia y otras inversiones de Möbius pueden representarse mediante convolución con una función en el poset, llamada función de Möbius $μ$ ; para el operador de diferencia, $μ$ es la secuencia (1, −1, 0, 0, 0,…) .

Diferencias finitas multivariadas

Las diferencias finitas se pueden considerar en más de una variable. Son análogos a las derivadas parciales en varias variables.

Algunas aproximaciones derivadas parciales son:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} f_ {x} (x, y) & \ approx {\ frac {f (x + h, y) -f (xh, y)} {2h}} \\ f_ {y } (x, y) & \ approx {\ frac {f (x, y + k) -f (x, yk)} {2k}} \\ f_ {xx} (x, y) & \ approx {\ frac {f (x + h, y) -2f (x, y) + f (xh, y)} {h ^ {2}}} \\ f_ {yy} (x, y) & \ approx {\ frac { f (x, y + k) -2f (x, y) + f (x, yk)} {k ^ {2}}} \\ f_ {xy} (x, y) & \ approx {\ frac {f (x + h, y + k) -f (x + h, yk) -f (xh, y + k) + f (xh, yk)} {4hk}}. \ end {alineado}}}

Alternativamente, para aplicaciones en las que el cálculo de $f$ es el paso más costoso, y se deben calcular tanto la primera como la segunda derivada, una fórmula más eficiente para el último caso es

{\ Displaystyle f_ {xy} (x, y) \ approx {\ frac {f (x + h, y + k) -f (x + h, y) -f (x, y + k) + 2f (x , y) -f (xh, y) -f (x, yk) + f (xh, yk)} {2hk}},}

ya que los únicos valores para calcular que no son necesarios para las cuatro ecuaciones anteriores son $f (x + h, y + k)$ y $f (x - h, y - k)$ .

Ver también

Referencias

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enlaces externos

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