La fórmula de Faà di Bruno - Faà di Bruno's formula

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La fórmula de Faà di Bruno es una identidad matemática que generaliza la regla de la cadena a derivadas superiores. Lleva el nombre de Francesco Faà di Bruno  ( 1855 , 1857 ), aunque no fue el primero en enunciar o probar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast había establecido la fórmula en un libro de texto de cálculo, que se considera la primera referencia publicada sobre el tema.

Quizás la forma más conocida de la fórmula de Faà di Bruno dice que

donde la suma está sobre todos los n - tuplas de enteros no negativos ( m ₁ , ..., m _n ) que satisfacen la restricción

A veces, para darle un patrón memorable, está escrito de una manera en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria discutida a continuación son menos explícitos:

${\ Displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \, m_ {n}!}} \ cdot f ^ {(m_ {1} + \ cdots + m_ {n})} (g (x)) \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {g ^ {(j)} (x)} {j!}} \ right) ^ {m_ {j}}.}$

Combinar los términos con el mismo valor de m ₁  +  m ₂  + ... +  m _n  =  k y notar que m _j tiene que ser cero para j  >  n  -  k  + 1 conduce a una fórmula algo más simple expresada en términos de Bell polinomios B _{n , k} ( x ₁ , ..., x _{n - k +1} ):

${\ Displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) \ cdot B_ {n, k} \ left (g '(x), g' '(x), \ dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) \ right).}$

Forma combinatoria

La fórmula tiene una forma "combinatoria":

${\ Displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = (f \ circ g) ^ {(n)} (x) = \ sum _ {\ pi \ in \ Pi} f ^ {(\ left | \ pi \ right |)} (g (x)) \ cdot \ prod _ {B \ in \ pi} g ^ {(\ left | B \ right |)} (x) }$

dónde

• π recorre el conjunto Π de todas las particiones del conjunto {1, ..., n },
• " B ∈ π " significa que la variable B recorre la lista de todos los "bloques" de la partición π , y
• | A | denota la cardinalidad del conjunto A (de modo que | π | es el número de bloques en la partición π y | B | es el tamaño del bloque B ).

Ejemplo

La siguiente es una explicación concreta de la forma combinatoria para el caso n = 4 .

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} (f \ circ g) '' '' (x) = {} & f '' '' (g (x)) g '(x) ^ {4} + 6f' '' (g (x)) g '' (x) g '(x) ^ {2} \\ [8pt] & {} + \; 3f' '(g (x)) g' '(x) ^ {2 } + 4f '' (g (x)) g '' '(x) g' (x) \\ [8pt] & {} + \; f '(g (x)) g' '' '(x) . \ end {alineado}}}$

El patrón es:

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccc} g '(x) ^ {4} && \ leftrightarrow && 1 + 1 + 1 + 1 && \ leftrightarrow && f' '' '(g (x)) && \ leftrightarrow && 1 \\ [12pt] g '' (x) g '(x) ^ {2} && \ leftrightarrow && 2 + 1 + 1 && \ leftrightarrow && f' '' (g (x)) && \ leftrightarrow && 6 \\ [12pt] g '' (x) ^ {2} && \ leftrightarrow && 2 + 2 && \ leftrightarrow && f '' (g (x)) && \ leftrightarrow && 3 \\ [12pt] g '' '(x) g' (x) && \ leftrightarrow && 3 + 1 && \ leftrightarrow && f '' (g (x)) && \ leftrightarrow && 4 \\ [12pt] g '' '' (x) && \ leftrightarrow && 4 && \ leftrightarrow && f '(g (x)) && \ leftrightarrow && 1 \ end { formación}}}$

El factor corresponde a la partición 2 + 1 + 1 del entero 4, de forma obvia. El factor que lo acompaña corresponde al hecho de que hay tres sumandos en esa partición. El coeficiente 6 que acompaña a esos factores corresponde al hecho de que hay exactamente seis particiones de un conjunto de cuatro miembros que lo dividen en una parte de tamaño 2 y dos partes de tamaño 1. ${\ Displaystyle g '' (x) g '(x) ^ {2}}$${\ Displaystyle f '' '(g (x))}$

De manera similar, el factor en la tercera línea corresponde a la partición 2 + 2 del entero 4, (4, porque estamos encontrando la cuarta derivada), mientras que corresponde al hecho de que hay dos sumandos (2 + 2) en esa partición. . El coeficiente 3 corresponde al hecho de que hay formas de dividir 4 objetos en grupos de 2. El mismo concepto se aplica a los demás. ${\ Displaystyle g '' (x) ^ {2}}$${\ Displaystyle f '' (g (x))}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ tbinom {4} {2}} = 3}$

Un esquema memorizable es el siguiente:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {D ^ {1} (f \ circ {} g)} {1!}} & = \ left (f ^ {(1)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {1!}} \\ [8pt] & {\ frac {D ^ {2} (f \ circ g)} {2!}} & = \ Left (f ^ {(1)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + \ left (f ^ {(2)} \ circ {} g \ right) {\ frac {{\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ frac {g ^ { (1)}} {1!}}} {2!}} \\ [8pt] & {\ frac {D ^ {3} (f \ circ g)} {3!}} & = \ Left (f ^ {(1)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ {(3)}} {3!}} {1!}} & {} + \ Left (f ^ {(2 )} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {1!}} {\ frac {\ frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + \ Left (f ^ {(3)} \ circ {} g \ right) {\ frac {{\ frac {g ^ {(1)}} {1 !}} {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}}} {3!}} \\ [8pt] & { \ frac {D ^ {4} (f \ circ g)} {4!}} & = \ left (f ^ {(1)} \ circ {} g \ right) {\ frac {\ frac {g ^ { (4)}} {4!}} {1!}} & {} + \ Left (f ^ {(2)} \ circ {} g \ right) \ left ({\ frac {\ frac {g ^ { (1)}} {1!}} {1!}} {\ Frac {\ frac {g ^ {(3)}} {3!}} {1!}} + {\ Frac {{\ frac {g ^ {(2)}} {2!}} {\ Frac {g ^ {(2)}} {2!}}} {2!}} \ Right) & {} + \ left (f ^ {(3 )} \ circ {} g \ right) {\ frac {{\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ frac {g ^ {(1)}} {1!}}} { 2!}} {\ Frac {\ frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + \ left (f ^ {(4)} \ circ {} g \ right) {\ frac {{\ frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ Frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ Frac {g ^ {(1)}} {1!}} {\ Frac { g ^ {(1)}} {1!}}} {4!}} \ end {alineado}}}$

Combinatoria de los coeficientes de Faà di Bruno

Estos coeficientes de Faà di Bruno de recuento de particiones tienen una expresión de "forma cerrada". El número de particiones de un conjunto de tamaño n correspondiente a la partición entera

${\ Displaystyle \ Displaystyle n = \ underbrace {1+ \ cdots +1} _ {m_ {1}} \, + \, \ underbrace {2+ \ cdots +2} _ {m_ {2}} \, + \ , \ underbrace {3+ \ cdots +3} _ {m_ {3}} + \ cdots}$

del entero n es igual a

${\ displaystyle {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, m_ {3}! \, \ cdots 1! ^ {m_ {1}} \, 2! ^ {m_ {2}} \, 3! ^ {M_ {3}} \, \ cdots}}.}$

Estos coeficientes también surgen en los polinomios de Bell , que son relevantes para el estudio de los acumulados .

Variaciones

Versión multivariante

Sea y = g ( x ₁ , ..., x _n ). Entonces, la siguiente identidad se mantiene independientemente de si las n variables son todas distintas, o todas idénticas, o si están divididas en varias clases distinguibles de variables indistinguibles (si parece opaca, vea el ejemplo muy concreto a continuación):

${\ Displaystyle {\ parcial ^ {n} \ sobre \ parcial x_ {1} \ cdots \ parcial x_ {n}} f (y) = \ sum _ {\ pi \ in \ Pi} f ^ {(\ left | \ pi \ derecha |)} (y) \ cdot \ prod _ {B \ en \ pi} {\ parcial ^ {\ izquierda | B \ derecha |} y \ sobre \ prod _ {j \ en B} \ parcial x_ {j}}}$

donde (como arriba)

• π recorre el conjunto Π de todas las particiones del conjunto {1, ..., n },
• " B ∈ π " significa que la variable B recorre la lista de todos los "bloques" de la partición π , y
• | A | denota la cardinalidad del conjunto A (de modo que | π | es el número de bloques en la partición π y | B | es el tamaño del bloque B ).

Las versiones más generales son válidas para los casos en los que todas las funciones tienen valores vectoriales e incluso de espacio de Banach . En este caso, es necesario considerar el derivado de Fréchet o el derivado de Gateaux .

Ejemplo

Los cinco términos de la siguiente expresión corresponden de forma obvia a las cinco particiones del conjunto {1, 2, 3}, y en cada caso el orden de la derivada de f es el número de partes de la partición:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ parcial ^ {3} \ sobre \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {2} \, \ parcial x_ {3}} f (y) = {} & f ' y ) \ izquierda ({\ y parcial sobre \ parcial x_ {1}} \ cdot {\ parcial ^ {2} y \ sobre \ parcial x_ {2} \, \ parcial x_ {3}} + {\ parcial y \ más de \ parciales x_ {2}} \ cdot {\ parciales ^ {2} y \ más de \ parciales x_ {1} \, \ parciales x_ {3}} + {\ parciales y \ más de \ parciales x_ {3}} \ cdot {\ parcial ^ {2} y \ sobre \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {2}} \ derecha) \\ [10pt] & {} + f '' '(y) {\ parcial y \ sobre \ parcial x_ {1}} \ cdot {\ parcial y \ sobre \ parcial x_ {2}} \ cdot {\ parcial y \ sobre \ parcial x_ {3}}. \ end {alineado}}}$

Si las tres variables son indistinguibles entre sí, entonces tres de los cinco términos anteriores también son indistinguibles entre sí, y entonces tenemos la fórmula clásica de una variable.

Versión formal de la serie Power

Supongamos que y son series de potencias formales y . ${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {a_ {n}} x ^ {n}}$${\ Displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {b_ {n}} x ^ {n}}$${\ Displaystyle b_ {0} = 0}$

Entonces la composición es nuevamente una serie de poder formal, ${\ Displaystyle f \ circ g}$

${\ Displaystyle f (g (x)) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {c_ {n}} x ^ {n},}$

donde c ₀ = a ₀ y el otro coeficiente c _n para n ≥ 1 se puede expresar como una suma sobre composiciones de n o como una suma equivalente sobre particiones de n :

${\ Displaystyle c_ {n} = \ sum _ {\ mathbf {i} \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{n}} a_ {k} b_ {i_ {1}} b_ {i_ {2}} \ cdots b_ {i_ {k}},}$

dónde

${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{n} = \ {(i_ {1}, i_ {2}, \ dots, i_ {k}) \,: \ 1 \ leq k \ leq n, \ i_ {1} + i_ {2} + \ cdots + i_ {k} = n \}}$

es el conjunto de composiciones de n donde k denota el número de partes,

o

${\ Displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ sum _ {\ mathbf {\ pi} \ in {\ mathcal {P}} _ {n, k}} {\ binom {k} {\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, ..., \ pi _ {n}}} b_ {1} ^ {\ pi _ {1}} b_ {2} ^ {\ pi _ {2}} \ cdots b_ {n} ^ {\ pi _ {n}},}$

dónde

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {n, k} = \ {(\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ dots, \ pi _ {n}) \,: \ pi _ {1} + \ pi _ {2} + \ cdots + \ pi _ {n} = k, \ \ pi _ {1} \ cdot 1+ \ pi _ {2} \ cdot 2+ \ cdots + \ pi _ {n} \ cdot n = n \}}$

es el conjunto de particiones de n en k partes, en forma de frecuencia de partes.

La primera forma se obtiene seleccionando el coeficiente de x ⁿ en "por inspección", y la segunda forma se obtiene luego recolectando términos similares, o alternativamente, aplicando el teorema multinomial . ${\ Displaystyle (b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + \ cdots) ^ {k}}$

El caso especial f ( x ) = e ^x , g ( x ) = Σ _{n ≥ 1} a _n / n ! x ⁿ da la fórmula exponencial . El caso especial f ( x ) = 1 / (1 -  x ), g ( x ) = Σ _{n ≥ 1} (- a _n ) x ⁿ da una expresión para el recíproco de la serie formal de potencias Σ _{n ≥ 0} a _n x ⁿ en el caso a ₀ = 1.

Stanley da una versión para series de potencias exponenciales. En la serie de poder formal

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n} {\ frac {a_ {n}} {n!}} x ^ {n},}$

tenemos la n- ésima derivada en 0:

${\ Displaystyle f ^ {(n)} (0) = a_ {n}.}$

Esto no debe interpretarse como el valor de una función, ya que estas series son puramente formales; no existe tal cosa como convergencia o divergencia en este contexto.

Si

${\ Displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {b_ {n}} {n!}} x ^ {n}}$

y

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n!}} x ^ {n}}$

y

${\ Displaystyle g (f (x)) = h (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {n}} {n!}} x ^ {n},}$

entonces el coeficiente c _n (que sería la n- ésima derivada de h evaluada en 0 si estuviéramos tratando con series convergentes en lugar de series de potencias formales) viene dado por

${\ Displaystyle c_ {n} = \ sum _ {\ pi = \ left \ {B_ {1}, \ ldots, B_ {k} \ right \}} a _ {\ left | B_ {1} \ right |} \ cdots a _ {\ left | B_ {k} \ right |} b_ {k}}$

donde π recorre el conjunto de todas las particiones del conjunto {1, ..., n } y B ₁ , ...,  B _k son los bloques de la partición π y | B _j  | es el número de miembros del j- ésimo bloque, para  j  = 1, ...,  k .

Esta versión de la fórmula se adapta particularmente bien a los propósitos de la combinatoria .

También podemos escribir con respecto a la notación anterior.

${\ Displaystyle g (f (x)) = b_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} B_ {n, k} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n-k + 1})} {n!}} x ^ {n},}$

donde B _{n , k} ( a ₁ , ..., a _{n - k +1} ) son polinomios de Bell .

Un caso especial

Si f ( x ) = e ^x , entonces todas las derivadas de f son iguales y son un factor común a todos los términos. En caso de que g ( x ) sea una función generadora de acumuladores , entonces f ( g ( x )) es una función generadora de momentos , y el polinomio en varias derivadas de g es el polinomio que expresa los momentos como funciones de los acumulados .

Notas

Referencias

Estudios y ensayos históricos

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Trabajos de investigación

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• Faà di Bruno, F. (1857), "Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel" [Sobre una nueva fórmula de cálculo diferencial], The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (en francés), 1 : 359–360. Totalmente disponible de forma gratuita en los libros de Google .
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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fórmula de Faa di Bruno" . MathWorld .