Generalizaciones de la derivada - Generalizations of the derivative

En matemáticas , la derivada es una construcción fundamental del cálculo diferencial y admite muchas generalizaciones posibles dentro de los campos del análisis matemático , combinatoria , álgebra y geometría .

Derivados en análisis

En el análisis real, complejo y funcional, las derivadas se generalizan a funciones de varias variables y funciones reales o complejas entre espacios vectoriales topológicos . Un caso importante es la derivada variacional en el cálculo de variaciones . La aplicación repetida de la diferenciación conduce a derivadas de orden superior y operadores diferenciales.

Cálculo multivariable

La derivada a menudo se cumple por primera vez como una operación sobre una única función real de una única variable real. Una de las configuraciones más simples para generalizaciones es vectorizar funciones valoradas de varias variables (la mayoría de las veces el dominio también forma un espacio vectorial). Este es el campo del cálculo multivariable .

En el cálculo de una variable, decimos que una función es diferenciable en un punto x si el límite ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

existe. Su valor es entonces la derivada ƒ '( x ). Una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en cada punto dentro del intervalo. Dado que la recta es tangente a la función original en el punto, la derivada puede verse como una forma de encontrar la mejor aproximación lineal de una función. Si uno ignora el término constante, ajuste , L ( z ) se convierte en un operador lineal real en R considerado como un espacio vectorial sobre sí mismo. ${\ Displaystyle L (z) = f '(x) (zx) + f (x)}$ ${\ Displaystyle (x, f (x)),}$ ${\ Displaystyle L (z) = f '(x) z}$

Esto motiva la siguiente generalización a funciones mapeadas a : ƒ es diferenciable en x si existe un operador lineal A ( x ) (dependiendo de x ) tal que ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ Displaystyle \ lim _ {\ | h \ | \ to 0} {\ frac {\ | f (x + h) -f (x) -A (x) h \ |} {\ | h \ |}} = 0.}

Aunque esta definición quizás no sea tan explícita como la anterior, si tal operador existe, entonces es único, y en el caso unidimensional coincide con la definición original. (En este caso, la derivada está representada por una matriz de 1 por 1 que consta de la única entrada f ' ( x ).) Tenga en cuenta que, en general, nos preocupamos sobre todo de que las funciones sean diferenciables en algún entorno abierto de en lugar de en puntos individuales, ya que no hacerlo tiende a dar lugar a muchos contraejemplos patológicos . ${\ Displaystyle x}$

Una matriz de n por m , del operador lineal A ( x ) se conoce como matriz jacobiana J _x (ƒ) del mapeo ƒ en el punto x . Cada entrada de esta matriz representa una derivada parcial , que especifica la tasa de cambio de una coordenada de rango con respecto a un cambio en una coordenada de dominio. Por supuesto, la matriz jacobiana de composición g _° f es un producto de las matrices jacobianas correspondientes: J _x ( g _° f ) = J _{ƒ (}_x₎ ( g ) J _x (ƒ). Esta es una declaración de dimensiones superiores de la regla de la cadena .

Para funciones con valores reales de R ⁿ a R ( campos escalares ), la derivada total se puede interpretar como un campo vectorial llamado gradiente . Una interpretación intuitiva del gradiente es que apunta "hacia arriba": en otras palabras, apunta en la dirección de aumento más rápido de la función. Se puede utilizar para calcular derivadas direccionales de funciones escalares o direcciones normales.

Varias combinaciones lineales de derivadas parciales son especialmente útiles en el contexto de ecuaciones diferenciales definidas por una función de valor vectorial R ⁿ a R ⁿ . La divergencia da una medida de cuánta "fuente" o "sumidero" hay cerca de un punto. Se puede utilizar para calcular el flujo mediante el teorema de divergencia . El rizo mide cuánta " rotación " tiene un campo vectorial cerca de un punto.

Para funciones con valores vectoriales de R a R ⁿ (es decir, curvas paramétricas ), se puede tomar la derivada de cada componente por separado. La derivada resultante es otra función de valor vectorial. Esto es útil, por ejemplo, si la función con valores vectoriales es el vector de posición de una partícula a través del tiempo, entonces la derivada es el vector de velocidad de la partícula a través del tiempo.

La derivada convectiva tiene en cuenta los cambios debidos a la dependencia del tiempo y al movimiento a través del espacio a lo largo del campo vectorial.

Análisis convexo

La subderivada y el subgradiente son generalizaciones de la derivada a funciones convexas .

Derivadas de orden superior y operadores diferenciales

Se puede iterar el proceso de diferenciación, es decir, aplicar derivadas más de una vez, obteniendo derivadas de segundo y superior orden. Una idea más sofisticada es combinar varias derivadas, posiblemente de diferentes órdenes, en una expresión algebraica, un operador diferencial . Esto es especialmente útil al considerar ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes. Por ejemplo, si f ( x ) es una función dos veces diferenciable de una variable, la ecuación diferencial

{\ Displaystyle f '' + 2f'-3f = 4x-1}

puede ser reescrito en la forma

{\ Displaystyle L (f) = 4x-1,}

dónde

{\ Displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + 2 {\ frac {d} {dx}} - 3}

es un operador diferencial de coeficiente constante lineal de segundo orden que actúa sobre funciones de x . La idea clave aquí es que consideramos una combinación lineal particular de derivadas de primer y segundo orden cero, "todas a la vez". Esto nos permite pensar en el conjunto de soluciones de esta ecuación diferencial como una "antiderivada generalizada" de su lado derecho 4 x - 1, por analogía con la integración ordinaria , y escribir formalmente

{\ Displaystyle f (x) = L ^ {- 1} (4x-1).}

También se pueden definir derivadas superiores para funciones de varias variables, estudiadas en cálculo multivariable . En este caso, en lugar de aplicar repetidamente la derivada, se aplican repetidamente derivadas parciales con respecto a diferentes variables. Por ejemplo, las derivadas parciales de segundo orden de una función escalar de n variables se pueden organizar en una matriz de n por n , la matriz de Hesse . Uno de los puntos sutiles es que las derivadas superiores no están intrínsecamente definidas y dependen de la elección de las coordenadas de una manera complicada (en particular, la matriz hessiana de una función no es un tensor ). No obstante, las derivadas superiores tienen aplicaciones importantes para el análisis de los extremos locales de una función en sus puntos críticos . Para una aplicación avanzada de este análisis a la topología de variedades , consulte la teoría de Morse .

Como en el caso de las funciones de una variable, podemos combinar derivadas parciales de primer orden y de orden superior para llegar a una noción de operador diferencial parcial . Algunos de estos operadores son tan importantes que tienen sus propios nombres:

El operador de Laplace o Laplaciano en R ³ es un operador diferencial parcial de segundo orden $Δ$ dado por la divergencia del gradiente de una función escalar de tres variables, o explícitamente como ${\ estilo de visualización \ Delta = {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial z ^ {2}}}.}$ Se pueden definir operadores análogos para funciones de cualquier número de variables.
El operador d'Alembertian o de onda es similar al Laplacian, pero actúa sobre funciones de cuatro variables. Su definición utiliza el tensor métrico indefinido del espacio de Minkowski , en lugar del producto escalar euclidiano de R ³ : ${\ Displaystyle \ cuadrado = {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2}}}.}$

Derivadas débiles

Dada una función que es localmente integrable , pero no necesariamente clásicamente diferenciable, una derivada débil puede definirse mediante integración por partes . Primero defina las funciones de prueba, que son funciones infinitamente diferenciables y con soporte compacto , y los índices múltiples , que son listas de longitud de enteros con . Aplicado a las funciones de prueba, . Entonces la derivada débil de existe si hay una función tal que para todas las funciones de prueba , tenemos ${\ Displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ ${\ textstyle | \ alpha |: = \ sum _ {1} ^ {n} \ alpha _ {i}}$ ${\ textstyle D ^ {\ alpha} \ varphi: = {\ frac {\ parcial ^ {| \ alpha |} \ varphi} {\ parcial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dotsm x_ {n } ^ {\ alpha _ {n}}}}}$ ${\ textstyle \ alpha ^ {\ text {th}}}$ ${\ Displaystyle u}$ ${\ Displaystyle v: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$

{\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} u \ D ^ {\ alpha} \! \ varphi \ dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n}} v \ \ varphi \ dx}

Si existe tal función, entonces , que es única en casi todas partes . Esta definición coincide con la derivada clásica para funciones y puede extenderse a un tipo de funciones generalizadas llamadas distribuciones , el espacio dual de funciones de prueba. Las derivadas débiles son particularmente útiles en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y dentro de partes del análisis funcional. ${\ Displaystyle D ^ {\ alpha} u: = v}$ ${\ Displaystyle u \ en C ^ {| \ alpha |} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$

Análisis de fractales

Los laplacianos y las ecuaciones diferenciales se pueden definir en fractales .

Derivados fraccionales

Además de las n- ésimas derivadas para cualquier número natural n , existen varias formas de definir derivadas de órdenes fraccionarios o negativos, que se estudian en cálculo fraccional . La derivada de orden −1 corresponde a la integral, de ahí el término diffintegral .

Análisis complejo

En el análisis complejo , los objetos centrales de estudio son las funciones holomórficas , que son funciones de valores complejos en los números complejos que satisfacen una definición de diferenciabilidad adecuadamente ampliada .

La derivada de Schwarzian describe cómo una función compleja es aproximada por un mapa lineal fraccional , de la misma manera que una derivada normal describe cómo una función es aproximada por un mapa lineal.

Las derivadas de Wirtinger son un conjunto de operadores diferenciales que permiten la construcción de un cálculo diferencial para funciones complejas que es completamente análogo al cálculo diferencial ordinario para funciones de variables reales.

Análisis cuaterniónico

En el análisis cuaterniónico , las derivadas se pueden definir de manera similar a las funciones reales y complejas. Dado que los cuaterniones no son conmutativos, el límite del cociente de diferencias produce dos derivadas diferentes: una derivada izquierda ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

{\ Displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left [h ^ {- 1} \, \ left (f \ left (a + h \ right) -f \ left (a \ right) \ right) \ right ]}

y una derivada derecha

{\ Displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left [\ left (f \ left (a + h \ right) -f \ left (a \ right) \ right) \, h ^ {- 1} \ right ] ~.}

La existencia de estos límites son condiciones muy restrictivas. Por ejemplo, si tiene derivadas a la izquierda en cada punto de un conjunto conectado abierto , entonces para . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {H} \ to \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle U \ subconjunto \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle f (q) = a + q \, b}$ ${\ Displaystyle a, \, b \ in \ mathbb {H}}$

Análisis funcional

En el análisis funcional , la derivada funcional define la derivada con respecto a una función de un funcional en un espacio de funciones. Ésta es una extensión de la derivada direccional a un espacio vectorial de dimensión infinita .

La derivada de Fréchet permite la extensión de la derivada direccional a un espacio de Banach general . La derivada Gateaux extiende el concepto a espacios vectoriales topológicos localmente convexos . La diferenciabilidad de Fréchet es una condición estrictamente más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux, incluso en dimensiones finitas. Entre los dos extremos está la cuasi derivada .

En la teoría de medidas , la derivada Radon-Nikodym generaliza el jacobiano , utilizado para cambiar variables, a medidas. Expresa una medida μ en términos de otra medida ν (en determinadas condiciones).

En la teoría de los espacios abstractos de Wiener , la derivada H define una derivada en ciertas direcciones correspondientes al espacio de Cameron-Martin Hilbert .

En un espacio de funciones , el operador lineal que asigna a cada función su derivada es un ejemplo de un operador diferencial . Los operadores diferenciales generales incluyen derivados de orden superior. Por medio de la transformada de Fourier , los operadores de los pseudo-diferencial pueden ser definidos que permiten el cálculo fraccional.

Análogos de derivadas en campos de característica positiva

La derivada de Carlitz es una operación similar a la diferenciación habitual que se ha ideado con el contexto habitual de números reales o complejos cambiados a campos locales de característica positiva en forma de series formales de Laurent con coeficientes en algún campo finito F _q (se sabe que cualquier campo local de característica positiva es isomorfo a un campo de la serie de Laurent).

Junto con los análogos adecuadamente definidos de la función exponencial , los logaritmos y otros, la derivada se puede utilizar para desarrollar nociones de suavidad, analidad, integración, series de Taylor, así como una teoría de ecuaciones diferenciales.

Operador de diferencia, análogos q y escalas de tiempo

La derivada q de una función se define mediante la fórmula ${\ Displaystyle D_ {q} f (x) = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.}$ Para x diferente de cero, si f es una función diferenciable de x, entonces en el límite cuando $q \to 1$ obtenemos la derivada ordinaria, por lo que la q -derivada puede verse como su q-deformación . Un gran cuerpo de resultados del cálculo diferencial ordinario, como la fórmula binomial y la expansión de Taylor , tienen análogos q naturales que se descubrieron en el siglo XIX, pero que permanecieron relativamente oscuros durante gran parte del siglo XX, fuera de la teoría de los valores especiales. funciones . El progreso de la combinatoria y el descubrimiento de grupos cuánticos han cambiado la situación de manera espectacular, y la popularidad de los q -análogos va en aumento.
El operador de diferencia de ecuaciones en diferencia es otro análogo discreto de la derivada estándar. ${\ Displaystyle \ Delta f (x) = f (x + 1) -f (x)}$
La derivada q , el operador de diferencia y la derivada estándar pueden verse como lo mismo en diferentes escalas de tiempo . Por ejemplo, tomando , podemos tener ${\ Displaystyle \ varepsilon = (q-1) x}$ ${\ Displaystyle {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}} = {\ frac {f (x + \ varepsilon) -f (x)} {\ varepsilon}}.}$ La derivada q es un caso especial de la diferencia de Hahn , ${\ Displaystyle {\ frac {f (qx + \ omega) -f (x)} {qx + \ omega -x}}.}$ La diferencia de Hahn no es solo una generalización de la derivada q, sino también una extensión de la diferencia hacia adelante.
También tenga en cuenta que la derivada q no es más que un caso especial de la derivada familiar. Toma . Entonces nosotros tenemos, ${\ Displaystyle z = qx}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {z \ to x} {\ frac {f (z) -f (x)} {zx}} = \ lim _ {q \ to 1} {\ frac {f (qx) -f (x)} {qx-x}} = \ lim _ {q \ to 1} {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.}$

Derivadas en álgebra

En álgebra, las generalizaciones de la derivada se pueden obtener imponiendo la regla de diferenciación de Leibniz en una estructura algebraica, como un anillo o un álgebra de Lie .

Derivaciones

Una derivación es un mapa lineal en un anillo o álgebra que satisface la ley de Leibniz (la regla del producto). También se pueden definir derivadas superiores y operadores diferenciales algebraicos . Se estudian en un entorno puramente algebraico en la teoría diferencial de Galois y la teoría de módulos D , pero también aparecen en muchas otras áreas, donde a menudo concuerdan con definiciones menos algebraicas de derivadas.

Por ejemplo, la derivada formal de un polinomio sobre un anillo conmutativo R se define por

{\ Displaystyle \ left (a_ {d} x ^ {d} + a_ {d-1} x ^ {d-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} \ right) '= da_ { d} x ^ {d-1} + (d-1) a_ {d-1} x ^ {d-2} + \ cdots + a_ {1}.}

El mapeo es entonces una derivación del anillo polinomial R [ X ]. Esta definición también se puede extender a funciones racionales . ${\ Displaystyle f \ mapsto f '}$

La noción de derivación se aplica tanto a los anillos conmutativos como a los no conmutativos, e incluso a las estructuras algebraicas no asociativas, como las álgebras de Lie.

Consulte también Derivado de Pincherle y Derivado aritmético .

Álgebra conmutativa

En álgebra conmutativa , los diferenciales de Kähler son derivaciones universales de un anillo o módulo conmutativo . Se pueden usar para definir un análogo de la derivada exterior de la geometría diferencial que se aplica a variedades algebraicas arbitrarias , en lugar de solo variedades suaves.

Teoría de los números

En el análisis p-ádico , la definición habitual de derivada no es lo suficientemente fuerte y, en su lugar, se requiere una diferenciación estricta .

Consulte también derivada aritmética y derivada de Hasse .

Teoría de tipos

Muchos tipos de datos abstractos en matemáticas e informática pueden describirse como el álgebra generada por una transformación que mapea estructuras basadas en el tipo de nuevo en el tipo. Por ejemplo, el tipo T de árboles binarios que contienen valores de tipo A se puede representar como el álgebra generada por la transformación 1 + A × T ² → T. El "1" representa la construcción de un árbol vacío y el segundo término representa la construcción de un árbol a partir de un valor y dos subárboles. El "+" indica que un árbol se puede construir de cualquier manera.

La derivada de tal tipo es el tipo que describe el contexto de una subestructura particular con respecto a su siguiente estructura de contención externa. Dicho de otra manera, es el tipo que representa la "diferencia" entre los dos. En el ejemplo del árbol, la derivada es un tipo que describe la información necesaria, dado un subárbol en particular, para construir su árbol padre. Esta información es una tupla que contiene un indicador binario de si el hijo está a la izquierda o a la derecha, el valor en el padre y el subárbol del hermano. Este tipo se puede representar como 2 × A × T, que se parece mucho a la derivada de la transformación que generó el tipo de árbol.

Este concepto de derivado de un tipo tiene aplicaciones prácticas, como la técnica de la cremallera utilizada en los lenguajes de programación funcional .

Derivadas en geometría

Los principales tipos de derivadas en geometría son las derivadas de Lie a lo largo de un campo vectorial, diferencial exterior y derivadas covariantes.

Topología diferencial

En topología diferencial , un campo vectorial se puede definir como una derivación en el anillo de funciones suaves en una variedad , y un vector tangente se puede definir como una derivación en un punto. Esto permite la abstracción de la noción de una derivada direccional de una función escalar a variedades generales. Para variedades que son subconjuntos de R ⁿ , este vector tangente estará de acuerdo con la derivada direccional definida anteriormente.

El diferencial o avance de un mapa entre variedades es el mapa inducido entre los espacios tangentes de esos mapas. Se abstrae la matriz jacobiana .

En el álgebra exterior de formas diferenciales sobre una variedad suave , la derivada exterior es el mapa lineal único que satisface una versión graduada de la ley de Leibniz y cuadra a cero. Es una derivación de grado 1 en el álgebra exterior.

La derivada de Lie es la tasa de cambio de un campo vectorial o tensorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial. En los campos vectoriales, es un ejemplo de un corchete de Lie (los campos vectoriales forman el álgebra de Lie del grupo de difeomorfismo de la variedad). Es una derivación de grado 0 en el álgebra.

Junto con el producto interior (una derivación de grado -1 en el álgebra exterior definida por la contracción con un campo vectorial), la derivada exterior y la derivada de Lie forman una superalgebra de Lie .

Geometría diferencial

En geometría diferencial , la derivada covariante hace una elección para tomar derivadas direccionales de campos vectoriales a lo largo de curvas . Esto extiende la derivada direccional de funciones escalares a secciones de paquetes vectoriales o paquetes principales . En la geometría de Riemann , la existencia de una métrica elige una derivada covariante sin torsión preferida única , conocida como la conexión Levi-Civita . Consulte también la derivada covariante de calibre para un tratamiento orientado a la física.

La derivada covariante exterior extiende la derivada exterior a formas vectoriales valoradas.

Cálculo geométrico

En cálculo geométrico , la derivada geométrica satisface una forma más débil de la regla de Leibniz. Especializa la derivada de Frechet a los objetos del álgebra geométrica. El cálculo geométrico es un formalismo poderoso que se ha demostrado que abarca los marcos similares de formas diferenciales y geometría diferencial.

Otras generalizaciones

Puede ser posible combinar dos o más de las diferentes nociones anteriores de extensión o abstracción de la derivada original. Por ejemplo, en la geometría de Finsler , se estudian espacios que lucen localmente como espacios de Banach . Por tanto, uno podría querer una derivada con algunas de las características de una derivada funcional y la derivada covariante .

El estudio de los procesos estocásticos requiere una forma de cálculo conocida como cálculo de Malliavin . Una noción de derivada en este contexto es la derivada H de una función en un espacio de Wiener abstracto .

El cálculo multiplicativo reemplaza la suma con la multiplicación y, por lo tanto, en lugar de tratar con el límite de una razón de diferencias, se ocupa del límite de una exponenciación de razones. Esto permite el desarrollo de la derivada geométrica y la derivada bigeométrica. Además, al igual que el operador diferencial clásico tiene un análogo discreto, el operador de diferencia, también hay análogos discretos de estas derivadas multiplicativas .

Languages

In other projects