Punto estacionario - Stationary point

Los puntos estacionarios son los círculos rojos. En este gráfico, todos son máximos o mínimos relativos. Los cuadrados azules son puntos de inflexión .

En matemáticas , particularmente en cálculo , un punto estacionario de una función diferenciable de una variable es un punto en la gráfica de la función donde la derivada de la función es cero. De manera informal, es un punto donde la función "deja" de aumentar o disminuir (de ahí el nombre).

Para una función diferenciable de varias variables reales , un punto estacionario es un punto en la superficie del gráfico donde todas sus derivadas parciales son cero (de manera equivalente, el gradiente es cero).

Los puntos estacionarios son fáciles de visualizar en la gráfica de una función de una variable: corresponden a los puntos en la gráfica donde la tangente es horizontal (es decir, paralela al eje x ). Para una función de dos variables, corresponden a los puntos en el gráfico donde el plano tangente es paralelo al plano xy .

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto en el que la derivada cambia de signo. Un punto de inflexión puede ser un máximo relativo o un mínimo relativo (también conocido como mínimo y máximo local). Si la función es diferenciable, entonces un punto de inflexión es un punto estacionario; sin embargo, no todos los puntos estacionarios son puntos de inflexión. Si la función es dos veces diferenciable, los puntos estacionarios que no son puntos de inflexión son puntos de inflexión horizontal . Por ejemplo, la función tiene un punto estacionario en x = 0 , que también es un punto de inflexión, pero no es un punto de inflexión. ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {3}}$

Clasificación

Un gráfico en el que se han etiquetado los extremos locales y los extremos globales.

Los puntos estacionarios aislados de una función con valor real se clasifican en cuatro tipos, mediante la prueba de la primera derivada : ${\ Displaystyle C ^ {1}}$${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

• un mínimo local ( punto de inflexión mínimo o mínimo relativo ) es aquel en el que la derivada de la función cambia de negativa a positiva;
• un máximo local ( punto de inflexión máximo o máximo relativo ) es aquel en el que la derivada de la función cambia de positiva a negativa;

Puntos de silla ( puntos estacionarios que no son ni máximos ni mínimos locales: son puntos de inflexión . La izquierda es un "punto de inflexión ascendente" (la derivada es positiva en ambos lados del punto rojo); la derecha es un "punto de inflexión descendente". "(la derivada es negativa en ambos lados del punto rojo).

• un punto de inflexión ascendente (o inflexión ) es aquel en el que la derivada de la función es positiva en ambos lados del punto estacionario; tal punto marca un cambio en la concavidad ;
• un punto de inflexión descendente (o inflexión ) es aquel en el que la derivada de la función es negativa en ambos lados del punto estacionario; tal punto marca un cambio en la concavidad.

Las dos primeras opciones se conocen colectivamente como " extremos locales ". De manera similar, un punto que es un máximo global (o absoluto) o un mínimo global (o absoluto) se llama un extremo global (o absoluto). Las dos últimas opciones, puntos estacionarios que no son extremos locales, se conocen como puntos silla .

Según el teorema de Fermat , los extremos globales deben ocurrir (para una función) en el límite o en puntos estacionarios. ${\ Displaystyle C ^ {1}}$

Bosquejo de curvas

Las raíces , puntos estacionarios , punto de inflexión y concavidad de un polinomio cúbico x ³ - 3 x ² - 144 x + 432 (línea negra) y su primera y segunda derivadas (rojo y azul).

Determinar la posición y la naturaleza de los puntos estacionarios ayuda a trazar curvas de funciones diferenciables. Resolver la ecuación f ' ( x ) = 0 devuelve las coordenadas x de todos los puntos estacionarios; las coordenadas y son trivialmente los valores de la función en esas coordenadas x . La naturaleza específica de un punto estacionario en x se puede determinar en algunos casos examinando la segunda derivada f '' ( x ):

• Si f '' ( x ) <0, el punto estacionario en x es cóncavo hacia abajo; un extremo máximo.
• Si f '' ( x )> 0, el punto estacionario en x es cóncavo hacia arriba; un extremo mínimo.
• Si f '' ( x ) = 0, la naturaleza del punto estacionario debe determinarse por otros medios, a menudo notando un cambio de signo alrededor de ese punto.

Una forma más sencilla de determinar la naturaleza de un punto estacionario es examinando los valores de la función entre los puntos estacionarios (si la función está definida y es continua entre ellos).

Un ejemplo simple de un punto de inflexión es la función f ( x ) = x ³ . Hay un claro cambio de concavidad en el punto x = 0, y podemos demostrarlo mediante cálculo . La segunda derivada de f es la 6 x continua en todas partes , y en x = 0, f ′ ′ = 0, y el signo cambia alrededor de este punto. Entonces x = 0 es un punto de inflexión.

De manera más general, los puntos estacionarios de una función con valor real son aquellos puntos x ₀ donde la derivada en cada dirección es igual a cero, o equivalentemente, el gradiente es cero. ${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

Ejemplo

Para la función f ( x ) = x ⁴ tenemos f ' (0) = 0 y f' ' (0) = 0. Aunque f' ' (0) = 0, este punto no es un punto de inflexión. La razón es que el signo de f ' ( x ) cambia de negativo a positivo.

Para la función f ( x ) = sin ( x ) tenemos f ' (0) ≠ 0 y f' ' (0) = 0. Pero este no es un punto estacionario, sino un punto de inflexión. Esto se debe a que la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y el signo de f ' ( x ) no cambia; se mantiene positivo.

Para la función f ( x ) = x ³ tenemos f ' (0) = 0 y f' ' (0) = 0. Este es tanto un punto estacionario como un punto de inflexión. Esto se debe a que la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y el signo de f ' ( x ) no cambia; se mantiene positivo.

Ver también

• Optimización (matemáticas)
• Teorema de fermat
• Prueba de la derivada
• Punto fijo (matemáticas)
• Punto de silla

Referencias

enlaces externos

• Puntos de inflexión de polinomios de cuarto grado: una apariencia sorprendente de la proporción áurea al cortar el nudo