Teorema del transporte de Reynolds - Reynolds transport theorem
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En cálculo diferencial , el teorema del transporte de Reynolds (también conocido como el teorema del transporte de Leibniz-Reynolds), o simplemente el teorema de Reynolds , llamado así por Osborne Reynolds (1842-1912), es una generalización tridimensional de la regla integral de Leibniz . Se utiliza para refundir derivadas temporales de cantidades integradas y es útil para formular las ecuaciones básicas de la mecánica del continuo .
Considere integrar f = f ( x , t ) sobre la región dependiente del tiempo Ω ( t ) que tiene un límite ∂Ω ( t ) , luego tome la derivada con respecto al tiempo:
Si deseamos mover la derivada dentro de la integral, hay dos cuestiones: la dependencia temporal de f , y la introducción y eliminación del espacio de Ω debido a su límite dinámico. El teorema del transporte de Reynolds proporciona el marco necesario.
Forma general
El teorema del transporte de Reynolds se puede expresar de la siguiente manera:
donde n ( x , t ) es el vector normal unitario que apunta hacia afuera, x es un punto en la región y es la variable de integración, dV y dA son elementos de volumen y superficie en x , y v b ( x , t ) es la velocidad del elemento de área ( no la velocidad del flujo). La función f puede tener un valor tensorial, vectorial o escalar. Tenga en cuenta que la integral del lado izquierdo es una función únicamente del tiempo, por lo que se ha utilizado la derivada total.
Forma para un elemento material
En mecánica continua, este teorema se usa a menudo para elementos materiales . Son paquetes de fluidos o sólidos en los que no entra ni sale ningún material. Si Ω ( t ) es un elemento material, entonces hay una función de velocidad v = v ( x , t ) , y los elementos de contorno obedecen
Esta condición se puede sustituir para obtener:
Prueba de un elemento material Sea Ω 0 la configuración de referencia de la región Ω ( t ) . Sea el movimiento y el gradiente de deformación dados por
Sea J ( X , t ) = det F ( X , t ) . Definir
Entonces las integrales en las configuraciones actual y de referencia están relacionadas por
Que esta derivación sea para un elemento material está implícito en la constancia temporal de la configuración de referencia: es constante en las coordenadas del material. La derivada en el tiempo de una integral sobre un volumen se define como
Al convertir en integrales sobre la configuración de referencia, obtenemos
Dado que Ω 0 es independiente del tiempo, tenemos
La derivada de J en el tiempo viene dada por:
Por lo tanto,
donde es la derivada del tiempo material de f . La derivada material viene dada por
Por lo tanto,
o,
Usando la identidad
entonces tenemos
Usando el teorema de la divergencia y la identidad ( a ⊗ b ) · n = ( b · n ) a , tenemos
Un caso especial
Si consideramos que Ω es constante con respecto al tiempo, entonces v b = 0 y la identidad se reduce a
como se esperaba. (Esta simplificación no es posible si la velocidad del flujo se usa incorrectamente en lugar de la velocidad de un elemento de área).
Interpretación y reducción a una dimensión
El teorema es la extensión dimensional superior de la diferenciación bajo el signo integral y se reduce a esa expresión en algunos casos. Suponga que f es independiente de y y z , y que Ω ( t ) es un cuadrado unitario en el plano yz y tiene x límites a ( t ) y b ( t ) . Entonces el teorema del transporte de Reynolds se reduce a
que, hasta intercambiar x y t , es la expresión estándar para la diferenciación bajo el signo integral.
Ver también
Notas
Referencias
- Leal, LG (2007). Fenómenos de transporte avanzados: mecánica de fluidos y procesos de transporte por convección . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-84910-4.
- Marsden, JE ; Tromba, A. (2003). Cálculo vectorial (5ª ed.). Nueva York: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-4992-9.
-
Reynolds, O. (1903). Artículos sobre temas mecánicos y físicos . Vol. 3, La submecánica del universo. Cambridge: Cambridge University Press.
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enlaces externos
- Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, en tres volúmenes, publicado alrededor de 1903, ahora disponible completa y gratuitamente en formato digital: Volumen 1 , Volumen 2 , Volumen 3 ,
- "Módulo 6 - Teorema del transporte de Reynolds" . ME6601: Introducción a la mecánica de fluidos . Georgia Tech. Archivado desde el original el 27 de marzo de 2008.
- http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem