Prueba de término - Term test

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v t mi

En matemáticas , el n prueba th-plazo para la divergencia es una prueba simple para la divergencia de una serie infinita :

• Si o si el límite no existe, entonces diverge. ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ neq 0}$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$

Muchos autores no nombran esta prueba ni le dan un nombre más corto.

Al probar si una serie converge o diverge, esta prueba a menudo se verifica primero debido a su facilidad de uso.

Uso

A diferencia de las pruebas de convergencia más sólidas , el término prueba no puede probar por sí mismo que una serie converge . En particular, lo contrario a la prueba no es cierto; en cambio, todo lo que uno puede decir es:

• Si entonces puede o no puede converger. En otras palabras, si la prueba no es concluyente. ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0,}$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0,}$

La serie armónica es un ejemplo clásico de una serie divergente cuyos términos se limitan a cero. La clase más general de p -series ,

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {p}}},}$

ejemplifica los posibles resultados de la prueba:

• Si p ≤ 0, entonces el término prueba identifica la serie como divergente.
• Si 0 < p ≤ 1, entonces el término prueba no es concluyente, pero la serie es divergente según la prueba integral de convergencia .
• Si 1 < p , entonces el término prueba no es concluyente, pero la serie es convergente, nuevamente por la prueba integral de convergencia.

Pruebas

La prueba generalmente se prueba en forma contrapositiva :

• Si converge, entonces ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}$

Limita la manipulación

Si s _n son las sumas parciales de la serie, entonces la suposición de que la serie converge significa que

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = L}$

para algunos números s . Entonces

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} (s_ {n} -s_ {n-1}) = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} - \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n-1} = LL = 0.}$

Criterio de Cauchy

La suposición de que la serie converge significa que pasa la prueba de convergencia de Cauchy : para cada hay un número N tal que ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$

${\ Displaystyle \ left | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + \ cdots + a_ {n + p} \ right | <\ varepsilon}$

se cumple para todo n > N y p ≥ 1. Al establecer p = 1 se recupera la definición del enunciado

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}$

Alcance

La versión más simple del término prueba se aplica a series infinitas de números reales . Las dos demostraciones anteriores, al invocar el criterio de Cauchy o la linealidad del límite, también funcionan en cualquier otro espacio vectorial normalizado (o cualquier grupo abeliano (escrito aditivamente)).

Notas

Referencias

• Brabenec, Robert (2005). Recursos para el estudio del análisis real . MAA. ISBN   0883857375 .
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Análisis funcional: entrar en el espacio de Hilbert . World Scientific. ISBN   9812565639 .
• Kaczor, Wiesława y Maria Nowak (2003). Problemas de análisis matemático . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN   0821820508 .
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principios del análisis matemático (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN   0-07-054235-X .
• Stewart, James (1999). Cálculo: principios trascendentales (4e ed.). Brooks / Cole. ISBN   0-534-36298-2 .
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Análisis funcional . Saltador. ISBN   1402016166 .