Integración de disco - Disc integration

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La integración de disco , también conocida en cálculo integral como método de disco , es un método para calcular el volumen de un sólido de revolución de un material en estado sólido cuando se integra a lo largo de un eje "paralelo" al eje de revolución . Este método modela la forma tridimensional resultante como una pila de un número infinito de discos de radio variable y espesor infinitesimal. También es posible utilizar los mismos principios con anillos en lugar de discos (el " método de lavado ") para obtener sólidos huecos de revoluciones. Esto contrasta con la integración de la carcasa , que se integra a lo largo de un eje perpendicular al eje de revolución.

Definición

Función de x

Si la función a revolucionar es una función de x , la siguiente integral representa el volumen del sólido de revolución:

${\ Displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} R (x) ^ {2} \, dx}$

donde R ( x ) es la distancia entre la función y el eje de rotación. Esto solo funciona si el eje de rotación es horizontal (ejemplo: y = 3 o alguna otra constante).

Función de y

Si la función a revolucionar es función de y , la siguiente integral obtendrá el volumen del sólido de revolución:

${\ Displaystyle \ pi \ int _ {c} ^ {d} R (y) ^ {2} \, dy}$

donde R ( y ) es la distancia entre la función y el eje de rotación. Esto solo funciona si el eje de rotación es vertical (ejemplo: x = 4 o alguna otra constante).

Método de lavado

Para obtener un sólido hueco de revolución (el “método de arandela”), el procedimiento sería tomar el volumen del sólido interior de revolución y restarlo del volumen del sólido exterior de revolución. Esto se puede calcular en una única integral similar a la siguiente:

${\ Displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left (R _ {\ mathrm {O}} (x) ^ {2} -R _ {\ mathrm {I}} (x) ^ {2} \ derecha) \, dx}$

donde R _O ( x ) es la función que está más alejada del eje de rotación y R _I ( x ) es la función que está más cerca del eje de rotación. Por ejemplo, la siguiente figura muestra la rotación a lo largo del eje x de la "hoja" roja encerrada entre la raíz cuadrada y las curvas cuadráticas:

El volumen de este sólido es:

${\ Displaystyle \ pi \ int _ {0} ^ {1} \ left (\ left ({\ sqrt {x}} \ right) ^ {2} - \ left (x ^ {2} \ right) ^ {2 } \ derecha) \, dx \ ,.}$

Se debe tener cuidado de no evaluar el cuadrado de la diferencia de las dos funciones, sino de evaluar la diferencia de los cuadrados de las dos funciones.

${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {O}} (x) ^ {2} -R _ {\ mathrm {I}} (x) ^ {2} \ neq \ left (R _ {\ mathrm {O}} (x) -R _ {\ mathrm {I}} (x) \ derecha) ^ {2}}$

(Esta fórmula solo funciona para revoluciones sobre el eje x ).

Para rotar sobre cualquier eje horizontal, simplemente reste de ese eje cada fórmula. Si h es el valor de un eje horizontal, entonces el volumen es igual a

${\ Displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ left (h-R _ {\ mathrm {O}} (x) \ right) ^ {2} - \ left (h-R _ {\ mathrm {I}} (x) \ right) ^ {2} \ right) \, dx \ ,.}$

Por ejemplo, para rotar la región entre y = −2 x + x ² y y = x a lo largo del eje y = 4 , se integraría de la siguiente manera:

${\ Displaystyle \ pi \ int _ {0} ^ {3} \ left (\ left (4- \ left (-2x + x ^ {2} \ right) \ right) ^ {2} - (4-x) ^ {2} \ right) \, dx \ ,.}$

Los límites de integración son los ceros de la primera ecuación menos la segunda. Tenga en cuenta que al integrar a lo largo de un eje que no sea x , la gráfica de la función que está más alejada del eje de rotación puede no ser tan obvia. En el ejemplo anterior, aunque la gráfica de y = x está, con respecto al eje x, más arriba que la gráfica de y = −2 x + x ² , con respecto al eje de rotación la función y = x es la función interna: su gráfica está más cerca de y = 4 o la ecuación del eje de rotación en el ejemplo.

La misma idea se puede aplicar tanto a la y eje x y cualquier otro eje vertical. Uno simplemente debe resolver cada ecuación para x antes de insertarlas en la fórmula de integración.

Ver también

• Sólido de revolución
• Integración de Shell

Referencias