Aproximación lineal - Linear approximation

Recta tangente en ( a , f ( a ))

En matemáticas , una aproximación lineal es una aproximación de una función general usando una función lineal (más precisamente, una función afín ). Se utilizan ampliamente en el método de diferencias finitas para producir métodos de primer orden para resolver o aproximar soluciones a ecuaciones.

Definición

Dada una función dos veces continuamente diferenciable de una variable real , el teorema de Taylor para el caso establece que ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle n = 1}$

{\ Displaystyle f (x) = f (a) + f '(a) (xa) + R_ {2} \}

donde es el término restante. La aproximación lineal se obtiene eliminando el resto: ${\ Displaystyle R_ {2}}$

{\ Displaystyle f (x) \ approx f (a) + f '(a) (xa)}

.

Ésta es una buena aproximación cuando está lo suficientemente cerca de ; ya que una curva, cuando se observa de cerca, comenzará a parecerse a una línea recta. Por lo tanto, la expresión del lado derecho es solo la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en . Por esta razón, este proceso también se denomina aproximación de línea tangente . ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle (a, f (a))}$

Si es cóncava hacia abajo en el intervalo entre y , la aproximación será una sobreestimación (ya que la derivada es decreciente en ese intervalo). Si es cóncava hacia arriba , la aproximación será una subestimación. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle f}$

Las aproximaciones lineales para funciones vectoriales de una variable vectorial se obtienen de la misma manera, con la derivada en un punto reemplazada por la matriz jacobiana . Por ejemplo, dada una función diferenciable con valores reales, uno puede aproximarse por cerca de la fórmula ${\ Displaystyle f (x, y)}$ ${\ Displaystyle f (x, y)}$ ${\ Displaystyle (x, y)}$ ${\ Displaystyle (a, b)}$

{\ Displaystyle f \ left (x, y \ right) \ approx f \ left (a, b \ right) + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ left (a, b \ right) \ izquierda (xa \ derecha) + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} \ izquierda (a, b \ derecha) \ izquierda (yb \ derecha).}

El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica de en ${\ Displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ Displaystyle (a, b).}$

En el caso más general de los espacios de Banach , uno tiene

{\ Displaystyle f (x) \ approx f (a) + Df (a) (xa)}

donde es el derivado de Fréchet de at . ${\ Displaystyle Df (a)}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle a}$

Aplicaciones

Óptica

La óptica gaussiana es una técnica en óptica geométrica que describe el comportamiento de los rayos de luz en sistemas ópticos mediante la aproximación paraxial , en la que solo se consideran los rayos que forman pequeños ángulos con el eje óptico del sistema. En esta aproximación, las funciones trigonométricas se pueden expresar como funciones lineales de los ángulos. La óptica gaussiana se aplica a sistemas en los que todas las superficies ópticas son planas o son porciones de una esfera . En este caso, se pueden dar fórmulas explícitas simples para los parámetros de un sistema de imagen, como la distancia focal, el aumento y el brillo, en términos de las formas geométricas y las propiedades del material de los elementos constituyentes.

Periodo de oscilación

El período de oscilación de un péndulo de gravedad simple depende de su longitud , la fuerza local de la gravedad y, en pequeña medida, del ángulo máximo en el que el péndulo se aleja de la vertical, θ ₀ , llamado amplitud . Es independiente de la masa del bob. El verdadero período T de un péndulo simple, el tiempo necesario para un ciclo completo de un péndulo de gravedad simple ideal, se puede escribir en varias formas diferentes (ver péndulo ), un ejemplo es la serie infinita :

{\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {L \ over g}} \ left (1 + {\ frac {1} {16}} \ theta _ {0} ^ {2} + {\ frac {11} {3072}} \ theta _ {0} ^ {4} + \ cdots \ right)}

donde L es la longitud del péndulo yg es la aceleración local de la gravedad .

Sin embargo, si se toma la aproximación lineal (es decir, si la amplitud se limita a pequeñas oscilaciones), el período es:

{\ Displaystyle T \ approx 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ theta _ {0} \ ll 1 \ qquad (1) \,}

En la aproximación lineal, el período de oscilación es aproximadamente el mismo para oscilaciones de diferentes tamaños: es decir, el período es independiente de la amplitud . Esta propiedad, llamada isocronismo , es la razón por la que los péndulos son tan útiles para el cronometraje. Las oscilaciones sucesivas del péndulo, incluso si cambian de amplitud, toman la misma cantidad de tiempo.

Resistividad electrica

La resistividad eléctrica de la mayoría de los materiales cambia con la temperatura. Si la temperatura T no varía demasiado, normalmente se usa una aproximación lineal:

{\ Displaystyle \ rho (T) = \ rho _ {0} [1+ \ alpha (T-T_ {0})]}

donde se llama coeficiente de temperatura de resistividad , es una temperatura de referencia fija (generalmente temperatura ambiente) y es la resistividad a temperatura . El parámetro es un parámetro empírico ajustado a partir de datos de medición. Debido a que la aproximación lineal es solo una aproximación, es diferente para diferentes temperaturas de referencia. Por esta razón, es habitual especificar la temperatura a la que se midió con un sufijo, como , y la relación solo se mantiene en un rango de temperaturas alrededor de la referencia. Cuando la temperatura varía en un amplio rango de temperatura, la aproximación lineal es inadecuada y se debe utilizar un análisis y una comprensión más detallados. ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle T_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {0}}$ ${\ Displaystyle T_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {15}}$

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas

Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Cálculo III . Berlín: Springer-Verlag. pag. 775. ISBN 0-387-90985-0.
Strang, Gilbert (1991). Cálculo . Wellesley College. pag. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). Cómo prepararse para el cálculo AP . Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. pag. 118 . ISBN 0-7641-2382-3.

Languages

In other projects