Prueba de comparación de límites - Limit comparison test

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En matemáticas , la prueba de comparación de límites (LCT) (en contraste con la prueba de comparación directa relacionada ) es un método para probar la convergencia de una serie infinita .

Declaración

Supongamos que tenemos dos series y con para todas . ${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {n} \ geq 0, b_ {n}> 0}$${\ Displaystyle n}$

Entonces, si es con , entonces ambas series convergen o ambas series divergen. ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ Displaystyle 0 <c <\ infty}$

Prueba

Porque sabemos que para cada hay un entero positivo tal que para todos tenemos eso , o equivalentemente ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle n_ {0}}$${\ Displaystyle n \ geq n_ {0}}$${\ Displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c \ right | <\ varepsilon}$

${\ Displaystyle - \ varepsilon <{\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c <\ varepsilon}$

${\ Displaystyle c- \ varepsilon <{\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} <c + \ varepsilon}$

${\ Displaystyle (c- \ varepsilon) b_ {n} <a_ {n} <(c + \ varepsilon) b_ {n}}$

Como podemos optar por ser lo suficientemente pequeños como para que sea ​​positivo. Entonces, y por la prueba de comparación directa , si converge, también lo hace . ${\ Displaystyle c> 0}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle c- \ varepsilon}$${\ Displaystyle b_ {n} <{\ frac {1} {c- \ varepsilon}} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}$

De manera similar , si diverge, nuevamente mediante la prueba de comparación directa, también lo hace . ${\ Displaystyle a_ {n} <(c + \ varepsilon) b_ {n}}$${\ Displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}$

Es decir, ambas series convergen o ambas series divergen.

Ejemplo

Queremos determinar si la serie converge. Para esto comparamos con la serie convergente . ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + 2n}}}$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

Como tenemos que la serie original también converge. ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + 2n}} {\ frac {n ^ {2}} {1}} = 1> 0}$

Versión unilateral

Se puede establecer una prueba de comparación unilateral utilizando límite superior . Dejemos para todos . Entonces, si con y converge, necesariamente converge. ${\ Displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$${\ Displaystyle 0 \ leq c <\ infty}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$

Ejemplo

Dejemos y para todos los números naturales . Ahora no existe, por lo que no podemos aplicar la prueba de comparación estándar. Sin embargo, y dado que converge, la prueba de comparación unilateral implica que converge. ${\ Displaystyle a_ {n} = {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$${\ Displaystyle b_ {n} = {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n })}$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n }) = 2 \ in [0, \ infty)}$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$

Inversa de la prueba de comparación unilateral

Dejemos para todos . Si diverge y converge, entonces necesariamente , es decir, . El contenido esencial aquí es que, en cierto sentido, los números son más grandes que los números . ${\ Displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}}$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ infty}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}} = 0}$${\ Displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle b_ {n}}$

Ejemplo

Sea analítico en el disco unitario y tenga una imagen de área finita. Según la fórmula de Parseval, el área de la imagen de es . Además, diverge. Por lo tanto, por el contrario de la prueba de comparación, tenemos , es decir, . ${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$${\ Displaystyle D = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 \}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n | a_ {n} | ^ {2}}$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {n | a_ {n} | ^ {2}} {1 / n}} = \ liminf _ {n \ to \ infty} (n | a_ {n} |) ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} n | a_ {n} | = 0}$

Ver también

• Pruebas de convergencia
• Prueba de comparación directa

Referencias

Otras lecturas

• Rinaldo B. Schinazi: del cálculo al análisis . Springer, 2011, ISBN  9780817682897 , pp. 50
• Michele Longo y Vincenzo Valori: la prueba de comparación: no solo para series no negativas . Revista de matemáticas, vol. 79, núm. 3 (junio de 2006), págs. 205–210 ( JSTOR )
• J. Marshall Ash: La prueba de comparación de límites necesita positividad . Revista de matemáticas, vol. 85, núm. 5 (diciembre de 2012), págs. 374–375 ( JSTOR )

enlaces externos

• Notas en línea de Pauls sobre la prueba de comparación