Álgebra - Algebra

La fórmula cuadrática expresa la solución de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 , donde una no es cero, en términos de sus coeficientes de un , b y c .

El álgebra (del árabe : الجبر , romanizadoal-jabr , literalmente , 'reunión de partes rotas, establecimiento de huesos') es una de las áreas más amplias de las matemáticas , junto con la teoría de números , la geometría y el análisis . En su forma más general, el álgebra es el estudio de símbolos matemáticos y las reglas para manipular estos símbolos; es un hilo conductor de casi todas las matemáticas. Incluye todo, desde la resolución de ecuaciones elementales hasta el estudio de abstracciones como grupos , anillos y campos . Las partes más básicas del álgebra se llaman álgebra elemental ; las partes más abstractas se llaman álgebra abstracta o álgebra moderna. El álgebra elemental generalmente se considera esencial para cualquier estudio de matemáticas, ciencias o ingeniería, así como para aplicaciones como la medicina y la economía. El álgebra abstracta es un área importante en matemáticas avanzadas, estudiada principalmente por matemáticos profesionales.

El álgebra elemental se diferencia de la aritmética en el uso de abstracciones, como el uso de letras para representar números que son desconocidos o que pueden tomar muchos valores. Por ejemplo, en la carta es una incógnita, pero aplicando inversos aditivos pueden revelar su valor: . El álgebra proporciona métodos para escribir fórmulas y resolver ecuaciones que son mucho más claros y fáciles que el método anterior de escribir todo en palabras.

La palabra álgebra también se usa de ciertas formas especializadas. Un tipo especial de objeto matemático en álgebra abstracta se llama "álgebra", y la palabra se usa, por ejemplo, en las frases álgebra lineal y topología algebraica .

Un matemático que investiga álgebra se llama algebrista.

Etimología

La palabra álgebra proviene del título de un libro de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi .

La palabra álgebra proviene del árabe : الجبر , romanizadoal-jabr , lit. 'reunión de partes rotas, fraguado de huesos ' del título del libro c Ilm al-jabr wa l-muqābala de principios del siglo IX "La ciencia de la restauración y el equilibrio" del matemático y astrónomo persa al-Khwarizmi . En su trabajo, el término al-jabr se refería a la operación de mover un término de un lado de una ecuación al otro, المقابلة al-muqābala "equilibrar" se refería a agregar términos iguales en ambos lados. Acortado a simplemente álgeber o álgebra en latín, la palabra finalmente ingresó al idioma inglés durante el siglo XV, ya sea del español, italiano o latín medieval . Originalmente se refería al procedimiento quirúrgico de colocar huesos rotos o dislocados . El significado matemático se registró por primera vez (en inglés) en el siglo XVI.

Diferentes significados de "álgebra"

La palabra "álgebra" tiene varios significados relacionados en matemáticas, como una sola palabra o con calificativos.

El álgebra como rama de las matemáticas

El álgebra comenzó con cálculos similares a los de la aritmética , con letras que representan números. Esto permitió pruebas de propiedades que son verdaderas sin importar qué números estén involucrados. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática

puede ser cualquier número (excepto que no puede ser ), y la fórmula cuadrática se puede usar para encontrar rápida y fácilmente los valores de la cantidad desconocida que satisfacen la ecuación. Es decir, encontrar todas las soluciones de la ecuación.

Históricamente, y en la enseñanza actual, el estudio del álgebra comienza con la resolución de ecuaciones, como la ecuación cuadrática anterior. Luego, preguntas más generales, como "¿una ecuación tiene solución?", "¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?", "¿Qué se puede decir sobre la naturaleza de las soluciones?" son considerados. Estas preguntas llevaron a extender el álgebra a objetos no numéricos, como permutaciones , vectores , matrices y polinomios . Las propiedades estructurales de estos objetos no numéricos se abstrajeron luego en estructuras algebraicas como grupos , anillos y campos .

Antes del siglo XVI, las matemáticas se dividían en solo dos subcampos, aritmética y geometría . Aunque algunos métodos, que se habían desarrollado mucho antes, pueden considerarse hoy en día como álgebra, el surgimiento del álgebra y, poco después, del cálculo infinitesimal como subcampos de las matemáticas solo data del siglo XVI o XVII. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, aparecieron muchos campos nuevos de las matemáticas, la mayoría de los cuales utilizaban tanto la aritmética como la geometría, y casi todos utilizaban el álgebra.

Hoy en día, el álgebra ha crecido hasta incluir muchas ramas de las matemáticas, como se puede ver en la Clasificación de asignaturas de matemáticas, donde ninguna de las áreas de primer nivel (entradas de dos dígitos) se llama álgebra . Hoy el álgebra incluye la sección 08-Sistemas algebraicos generales, 12- Teoría de campos y polinomios , 13- Álgebra conmutativa , 15- Álgebra lineal y multilineal ; teoría de matrices , 16- Anillos asociativos y álgebras , 17- Anillos y álgebras no asociativos , 18- Teoría de categorías ; álgebra homológica , 19- Teoría K y 20- Teoría de grupos . El álgebra también se usa ampliamente en 11- Teoría de números y 14- Geometría algebraica .

Historia

Historia temprana del álgebra

Las raíces del álgebra se remontan a los antiguos babilonios , que desarrollaron un sistema aritmético avanzado con el que podían hacer cálculos de forma algorítmica . Los babilonios desarrollaron fórmulas para calcular soluciones a problemas que normalmente se resuelven hoy mediante el uso de ecuaciones lineales , ecuaciones cuadráticas y ecuaciones lineales indeterminadas . Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta era, así como las matemáticas griegas y chinas en el primer milenio antes de Cristo, solían resolver estas ecuaciones mediante métodos geométricos, como los descritos en el Papiro matemático de Rhind , Los elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre matemáticas. Art . El trabajo geométrico de los griegos, tipificado en los Elementos , proporcionó el marco para generalizar fórmulas más allá de la solución de problemas particulares en sistemas más generales de enunciado y resolución de ecuaciones, aunque esto no se realizaría hasta que las matemáticas se desarrollaran en el Islam medieval .

En la época de Platón , las matemáticas griegas habían experimentado un cambio drástico. Los griegos crearon un álgebra geométrica donde los términos estaban representados por lados de objetos geométricos, generalmente líneas, que tenían letras asociadas. Diofanto (siglo III d.C.) fue un matemático griego alejandrino y autor de una serie de libros llamados Arithmetica . Estos textos tratan de la resolución de ecuaciones algebraicas y han llevado, en teoría de números , a la noción moderna de ecuación diofántica .

Las tradiciones anteriores discutidas anteriormente tuvieron una influencia directa en el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780–850). Más tarde escribió The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , que estableció el álgebra como una disciplina matemática que es independiente de la geometría y la aritmética .

Los matemáticos helenísticos Héroe de Alejandría y Diofanto, así como los matemáticos indios como Brahmagupta , continuaron las tradiciones de Egipto y Babilonia, aunque Arithmetica de Diofanto y Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta están en un nivel superior. Por ejemplo, Brahmagupta describió la primera solución aritmética completa escrita con palabras en lugar de símbolos, incluidas soluciones cero y negativas, para ecuaciones cuadráticas en su libro Brahmasphutasiddhanta, publicado en 628 d.C. Más tarde, los matemáticos persas y árabes desarrollaron métodos algebraicos con un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque Diofanto y los babilonios utilizaron principalmente métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental. Resolvió ecuaciones lineales y cuadráticas sin simbolismo algebraico, números negativos o cero , por lo que tuvo que distinguir varios tipos de ecuaciones.

En el contexto en el que el álgebra se identifica con la teoría de las ecuaciones , el matemático griego Diofanto ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra" y en el contexto en el que se identifica con las reglas para manipular y resolver ecuaciones, el matemático persa al-Khwarizmi es considerado como "el padre del álgebra". Existe ahora un debate sobre si quién (en el sentido general) tiene más derecho a ser conocido como "el padre del álgebra". Aquellos que apoyan a Diofanto señalan el hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es un poco más elemental que el álgebra que se encuentra en Arithmetica y que Arithmetica es sincopado mientras que Al-Jabr es completamente retórico. Quienes apoyan a Al-Khwarizmi señalan el hecho de que introdujo los métodos de " reducción " y "equilibrio" (la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación) a la que se refería originalmente el término al-jabr , y que dio una explicación exhaustiva de la resolución de ecuaciones cuadráticas, respaldada por pruebas geométricas mientras trataba el álgebra como una disciplina independiente por derecho propio. Su álgebra tampoco se preocupaba más "por una serie de problemas por resolver, sino por una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que de ahora en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación por sí misma y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está específicamente llamada a definir una clase infinita de problemas".

A otro matemático persa, Omar Khayyam, se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica y encontró la solución geométrica general de la ecuación cúbica . Su libro Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra (1070), que estableció los principios del álgebra, es parte del cuerpo de las matemáticas persas que finalmente se transmitió a Europa. Otro matemático persa, Sharaf al-Dīn al-Tūsī , encontró soluciones algebraicas y numéricas para varios casos de ecuaciones cúbicas. También desarrolló el concepto de función . Los matemáticos indios Mahavira y Bhaskara II , el matemático persa Al-Karaji y el matemático chino Zhu Shijie , resolvieron varios casos de ecuaciones polinómicas cúbicas, cuárticas , quínticas y de orden superior utilizando métodos numéricos. En el siglo XIII, la solución de una ecuación cúbica de Fibonacci es representativa del comienzo de un renacimiento del álgebra europea. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1486) dio "los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico". También calculó Σ n 2 , Σ n 3 y utilizó el método de aproximación sucesiva para determinar las raíces cuadradas.

Historia moderna del álgebra

El matemático italiano Girolamo Cardano publicó las soluciones de las ecuaciones cúbicas y cuárticas en su libro de 1545 Ars magna .

El trabajo de François Viète sobre el nuevo álgebra a finales del siglo XVI fue un paso importante hacia el álgebra moderna. En 1637, René Descartes publicó La Géométrie , inventando la geometría analítica e introduciendo la notación algebraica moderna. Otro evento clave en el desarrollo posterior del álgebra fue la solución algebraica general de las ecuaciones cúbica y cuártica, desarrollada a mediados del siglo XVI. La idea de un determinante fue desarrollada por el matemático japonés Seki Kōwa en el siglo XVII, seguido de forma independiente por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el propósito de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices . Gabriel Cramer también hizo algunos trabajos sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Las permutaciones fueron estudiadas por Joseph-Louis Lagrange en su artículo de 1770 " Réflexions sur la résolution algébrique des équations " dedicado a las soluciones de ecuaciones algebraicas, en el que introdujo los solventes de Lagrange . Paolo Ruffini fue la primera persona en desarrollar la teoría de los grupos de permutación y, como sus predecesores, también en el contexto de la resolución de ecuaciones algebraicas.

El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, derivado del interés por la resolución de ecuaciones, centrándose inicialmente en lo que ahora se llama teoría de Galois , y en cuestiones de constructibilidad . George Peacock fue el fundador del pensamiento axiomático en aritmética y álgebra. Augustus De Morgan descubrió el álgebra de relaciones en su Syllabus of a Proposed System of Logic . Josiah Willard Gibbs desarrolló un álgebra de vectores en el espacio tridimensional y Arthur Cayley desarrolló un álgebra de matrices (esta es un álgebra no conmutativa).

Áreas de matemáticas con la palabra álgebra en su nombre

Conferencia de álgebra lineal en la Universidad de Aalto

Algunas subáreas del álgebra tienen la palabra álgebra en su nombre; el álgebra lineal es un ejemplo. Otros no lo hacen: la teoría de grupos , la teoría de anillos y la teoría de campos son ejemplos. En esta sección, enumeramos algunas áreas de las matemáticas con la palabra "álgebra" en el nombre.

Muchas estructuras matemáticas se llaman álgebras :

Álgebra elemental

Notación de expresión algebraica:
  1 - potencia (exponente)
  2 - coeficiente
  3 - término
  4 - operador
  5 - término constante
  x y c - variables / constantes

El álgebra elemental es la forma más básica de álgebra. Se enseña a estudiantes que se presume que no tienen conocimientos de matemáticas más allá de los principios básicos de la aritmética . En aritmética, solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas (como +, -, ×, ÷). En álgebra, los números a menudo se representan mediante símbolos llamados variables (como a , n , x , y o z ). Esto es útil porque:

  • Permite la formulación general de las leyes aritméticas (como un + b = b + una para todos una y b ), y por lo tanto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades del sistema de números reales .
  • Permite la referencia a números "desconocidos", la formulación de ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. (Por ejemplo, "Encuentra un número x tal que 3 x + 1 = 10" o yendo un poco más lejos "Encuentra un número x tal que ax + b = c ". Este paso lleva a la conclusión de que no es la naturaleza de los números específicos que nos permiten resolverlo, sino el de las operaciones involucradas).
  • Permite la formulación de relaciones funcionales . (Por ejemplo, "Si vende x entradas, su beneficio será 3 x - 10 dólares, o f ( x ) = 3 x - 10, donde f es la función y x es el número al que se aplica la función ".)

Polinomios

La gráfica de una función polinomial de grado 3

Un polinomio es una expresión que es la suma de un número finito de términos distintos de cero , y cada término consiste en el producto de una constante y un número finito de variables elevadas a potencias de números enteros. Por ejemplo, x 2 + 2 x - 3 es un polinomio en la variable única x . Una expresión polinomial es una expresión que puede reescribirse como un polinomio, utilizando conmutatividad, asociatividad y distributividad de suma y multiplicación. Por ejemplo, ( x - 1) ( x + 3) es una expresión polinomial que, propiamente hablando, no es un polinomio. Una función polinomial es una función definida por un polinomio o, de forma equivalente, por una expresión polinomial. Los dos ejemplos anteriores definen la misma función polinomial.

Dos problemas importantes y relacionados en álgebra son la factorización de polinomios , es decir, la expresión de un polinomio dado como un producto de otros polinomios que no se pueden factorizar más, y el cálculo de los máximos divisores comunes de polinomios . El polinomio de ejemplo anterior se puede factorizar como ( x - 1) ( x + 3). Una clase de problemas relacionados es encontrar expresiones algebraicas para las raíces de un polinomio en una sola variable.

Educación

Se ha sugerido que el álgebra elemental debería enseñarse a estudiantes desde los once años, aunque en los últimos años es más común que las lecciones públicas comiencen en el octavo grado (≈ 13 años ±) en los Estados Unidos. Sin embargo, en algunas escuelas de EE. UU., El álgebra se inicia en noveno grado.

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta extiende los conceptos familiares que se encuentran en el álgebra elemental y la aritmética de números a conceptos más generales. Aquí están los conceptos fundamentales enumerados en álgebra abstracta.

Conjuntos : en lugar de simplemente considerar los diferentes tipos de números , el álgebra abstracta se ocupa del concepto más general de conjuntos : una colección de todos los objetos (llamados elementos ) seleccionados por propiedad específica para el conjunto. Todas las colecciones de los tipos familiares de números son conjuntos. Otros ejemplos de conjuntos incluyen el conjunto de todas las matrices de dos por dos , el conjunto de todos los polinomios de segundo grado ( ax 2 + bx + c ), el conjunto de todos los vectores bidimensionales en el plano y los diversos grupos finitos como como los grupos cíclicos , que son los grupos de números enteros módulo n . La teoría de conjuntos es una rama de la lógica y no técnicamente una rama del álgebra.

Operaciones binarias : La noción de suma (+) se abstrae para dar una operación binaria , ∗ digamos. La noción de operación binaria no tiene sentido sin el conjunto en el que se define la operación. Para dos elementos a y b en un conjunto S , un * b es otro elemento en el conjunto; esta condición se llama cierre . La suma (+), la resta (-), la multiplicación (×) y la división (÷) pueden ser operaciones binarias cuando se definen en diferentes conjuntos, al igual que la suma y multiplicación de matrices, vectores y polinomios.

Elementos de identidad : los números cero y uno se abstraen para dar la noción de un elemento de identidad para una operación. El cero es el elemento de identidad para la suma y el uno es el elemento de identidad para la multiplicación. Para un operador binario * en general la identidad elemento de correo debe satisfacer un * e = una y e * un = un , y es necesariamente único, si existe. Esto es válido para la adición como un + 0 = un y 0 + un = un y multiplicación un × 1 = una y 1 × un = un . No todos los conjuntos y combinaciones de operadores tienen un elemento de identidad; por ejemplo, el conjunto de números naturales positivos (1, 2, 3, ...) no tiene ningún elemento de identidad para sumar.

Elementos inversos : Los números negativos dan lugar al concepto de elementos inversos . Para la suma, la inversa de a se escribe - a , y para la multiplicación, la inversa se escribe como −1 . Un elemento inverso general de dos lados a −1 satisface la propiedad de que aa −1 = e y a −1a = e , donde e es el elemento de identidad.

Asociatividad : la suma de números enteros tiene una propiedad llamada asociatividad. Es decir, la agrupación de los números a sumar no afecta la suma. Por ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) . En general, esto se convierte en ( ab ) ∗ c = a ∗ ( bc ). Esta propiedad la comparten la mayoría de las operaciones binarias, pero no la resta, la división o la multiplicación de octoniones .

Conmutatividad : la suma y la multiplicación de números reales son conmutativas. Es decir, el orden de los números no afecta el resultado. Por ejemplo: 2 + 3 = 3 + 2. En general, esto se convierte en ab = ba . Esta propiedad no es válida para todas las operaciones binarias. Por ejemplo, la multiplicación de matrices y la multiplicación de cuaterniones no son conmutativas.

Grupos

La combinación de los conceptos anteriores da una de las estructuras más importantes en matemáticas: un grupo . Un grupo es una combinación de un conjunto S y una única operación binaria ∗, definida de la forma que elija, pero con las siguientes propiedades:

  • Existe un elemento de identidad e , tal que para cada miembro a de S , ea y ae son ambos idénticos a a .
  • Cada elemento tiene una inversa: para cada miembro a de S , existe un miembro a −1 tal que aa −1 y a −1a son ambos idénticos al elemento identidad.
  • La operación es asociativa: si una , b y c son miembros de S , entonces ( a * b ) * c es idéntica a un * ( b * c ).

Si un grupo también es conmutativa - es decir, para cualquier par de miembros de una y b de S , un * b es idéntica a b * un - a continuación, el grupo se dice que es abeliano .

Por ejemplo, el conjunto de números enteros bajo la operación de suma es un grupo. En este grupo, el elemento de identidad es 0 y el inverso de cualquier elemento a es su negación, - a . Se cumple el requisito de asociatividad, porque para cualquier número entero a , b y c , ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Los números racionales distintos de cero forman un grupo bajo la multiplicación. Aquí, el elemento de identidad es 1, ya que 1 × a = a × 1 = a para cualquier número racional a . La inversa de a es1/a, ya que a ×1/a = 1.

Los enteros bajo la operación de multiplicación, sin embargo, no forman un grupo. Esto se debe a que, en general, el inverso multiplicativo de un número entero no es un número entero. Por ejemplo, 4 es un número entero, pero su inverso multiplicativo es1/4, que no es un número entero.

La teoría de los grupos se estudia en la teoría de grupos . Un resultado importante de esta teoría es la clasificación de grupos simples finitos , publicados principalmente entre 1955 y 1983, que separa los grupos simples finitos en aproximadamente 30 tipos básicos.

Los semi-grupos , cuasi-grupos y monoides tienen una estructura similar a los grupos, pero más general. Comprenden un conjunto y una operación binaria cerrada pero no necesariamente satisfacen las otras condiciones. Un semigrupo tiene una operación binaria asociativa , pero es posible que no tenga un elemento de identidad. Un monoide es un semigrupo que tiene una identidad, pero puede que no tenga una inversa para cada elemento. Un cuasi-grupo satisface el requisito de que cualquier elemento puede convertirse en cualquier otro mediante una multiplicación única por la izquierda o por la derecha; sin embargo, es posible que la operación binaria no sea asociativa.

Todos los grupos son monoides y todos los monoides son semigrupos.

Ejemplos de
Colocar Números naturales N Enteros Z Números racionales Q (también números R reales y C complejos ) Enteros módulo 3: Z 3 = {0, 1, 2}
Operación + × (sin cero) + × (sin cero) + - × (sin cero) ÷ (sin cero) + × (sin cero)
Cerrado
Identidad 0 1 0 1 0 N / A 1 N / A 0 1
Inverso N / A N / A - un N / A - un N / A 1 / a N / A 0, 2, 1, respectivamente N / A, 1, 2, respectivamente
De asociación No No
Conmutativo No No
Estructura monoide monoide grupo abeliano monoide grupo abeliano cuasi-grupo grupo abeliano cuasi-grupo grupo abeliano grupo abeliano (Z 2 )

Anillos y campos

Los grupos solo tienen una operación binaria. Para explicar completamente el comportamiento de los diferentes tipos de números, es necesario estudiar las estructuras con dos operadores. Los más importantes son los anillos y los campos .

Un anillo tiene dos operaciones binarias (+) y (×), con × distributiva sobre +. Bajo el primer operador (+) forma un grupo abeliano . Bajo el segundo operador (×) es asociativo, pero no necesita tener una identidad o inversa, por lo que no se requiere división. El elemento de identidad aditivo (+) se escribe como 0 y el inverso aditivo de a se escribe como - a .

La distributividad generaliza la ley distributiva de los números. Para los enteros ( a + b ) × c = a × c + b × c y c × ( a + b ) = c × a + c × b , y se dice que × es distributivo sobre +.

Los números enteros son un ejemplo de anillo. Los números enteros tienen propiedades adicionales que lo convierten en un dominio integral .

Un campo es un anillo con la propiedad adicional de que todos los elementos excepto 0 forman un grupo abeliano debajo de ×. La identidad multiplicativa (×) se escribe como 1 y el inverso multiplicativo de un se escribe como un -1 .

Los números racionales, los números reales y los números complejos son todos ejemplos de campos.

Ver también

Referencias

Citas

Trabajos citados

Otras lecturas

enlaces externos