Cálculo de escala de tiempo - Time-scale calculus

En matemáticas , el cálculo de escalas de tiempo es una unificación de la teoría de ecuaciones en diferencias con la de ecuaciones diferenciales , unificando el cálculo integral y diferencial con el cálculo de diferencias finitas , ofreciendo un formalismo para el estudio de sistemas dinámicos discretos-continuos híbridos . Tiene aplicaciones en cualquier campo que requiera modelado simultáneo de datos discretos y continuos. Da una nueva definición de una derivada tal que si se diferencia una función definida en los números reales, entonces la definición es equivalente a la diferenciación estándar, pero si se usa una función definida en los números enteros, entonces es equivalente al operador de diferencia hacia adelante .

Historia

El cálculo de escala de tiempo fue introducido en 1988 por el matemático alemán Stefan Hilger . Sin embargo, ideas similares se han utilizado antes y se remontan al menos a la introducción de la integral de Riemann-Stieltjes , que unifica sumas e integrales.

Ecuaciones dinámicas

Muchos resultados relacionados con ecuaciones diferenciales se transfieren con bastante facilidad a los resultados correspondientes para ecuaciones en diferencias, mientras que otros resultados parecen ser completamente diferentes de sus contrapartes continuas . El estudio de ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo revela tales discrepancias y ayuda a evitar probar los resultados dos veces: una para las ecuaciones diferenciales y una vez más para las ecuaciones en diferencias. La idea general es probar un resultado para una ecuación dinámica donde el dominio de la función desconocida es una llamada escala de tiempo (también conocida como un conjunto de tiempo), que puede ser un subconjunto cerrado arbitrario de los reales. De esta manera, los resultados se aplican no solo al conjunto de números reales o al conjunto de enteros, sino a escalas de tiempo más generales, como un conjunto de Cantor .

Los tres ejemplos más populares de cálculo en escalas de tiempo son el cálculo diferencial , cálculo de diferencia , y el cálculo cuántico . Las ecuaciones dinámicas en una escala de tiempo tienen potencial para aplicaciones tales como dinámica de poblaciones . Por ejemplo, pueden modelar poblaciones de insectos que evolucionan continuamente durante la temporada, mueren en invierno mientras sus huevos están incubando o inactivos, y luego eclosionan en una nueva temporada, dando lugar a una población que no se superpone.

Definiciones formales

Una escala de tiempo (o cadena de medida ) es un subconjunto cerrado de la línea real . La notación común para una escala de tiempo general es . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$

Los dos ejemplos más comunes de escalas de tiempo son los números reales y la escala de tiempo discreta . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle h \ mathbb {Z}}$

Un solo punto en una escala de tiempo se define como:

{\ Displaystyle t: t \ in \ mathbb {T}}

Operaciones en escalas de tiempo

Los operadores de salto hacia adelante, salto hacia atrás y granulosidad en una escala de tiempo discreta

Los operadores de salto hacia adelante y salto hacia atrás representan el punto más cercano en la escala de tiempo a la derecha e izquierda de un punto dado , respectivamente. Formalmente: ${\ Displaystyle t}$

{\ Displaystyle \ sigma (t) = \ inf \ {s \ in \ mathbb {T}: s> t \}}

(operador de cambio / salto hacia adelante)

{\ Displaystyle \ rho (t) = \ sup \ {s \ in \ mathbb {T}: s <t \}}

(operador de cambio / salto hacia atrás)

La granulosidad es la distancia desde un punto al punto más cercano a la derecha y viene dada por: ${\ Displaystyle \ mu}$

{\ Displaystyle \ mu (t) = \ sigma (t) -t.}

Por un derecho de alta densidad , y . Para una izquierda densa , ${\ Displaystyle t}$ ${\ Displaystyle \ sigma (t) = t}$ ${\ Displaystyle \ mu (t) = 0}$
${\ Displaystyle t}$ ${\ Displaystyle \ rho (t) = t.}$

Clasificación de puntos

Varios puntos en una escala de tiempo con diferentes clasificaciones.

Para cualquiera , es: ${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle t}$

dejó denso si ${\ Displaystyle \ rho (t) = t}$
derecho denso si ${\ Displaystyle \ sigma (t) = t}$
dejado esparcido si ${\ Displaystyle \ rho (t) <t}$
derecho disperso si ${\ Displaystyle \ sigma (t)> t}$
denso si tanto denso a la izquierda como denso a la derecha
aislado si tanto la izquierda dispersa como la derecha dispersa

Como se ilustra en la figura de la derecha:

El punto es denso ${\ Displaystyle t_ {1}}$
El punto es denso a la izquierda y disperso a la derecha ${\ Displaystyle t_ {2}}$
El punto está aislado ${\ Displaystyle t_ {3}}$
Punto se dejó dispersos y densa derecha ${\ Displaystyle t_ {4}}$

Continuidad

La continuidad de una escala de tiempo se redefine como equivalente a la densidad. Se dice que una escala de tiempo es continua a la derecha en el punto ${\ Displaystyle t}$ si es densa a la derecha en el punto . De manera similar, se dice que una escala de tiempo se deja continua en el punto si se deja densa en el punto . ${\ Displaystyle t}$ ${\ Displaystyle t}$ ${\ Displaystyle t}$

Derivado

Toma una función:

{\ Displaystyle f: \ mathbb {T} \ to \ mathbb {R},}

(donde R podría ser cualquier espacio de Banach , pero se establece en la línea real para simplificar).

Definición: La derivada delta (también derivada de Hilger) existe si y solo si: ${\ Displaystyle f ^ {\ Delta} (t)}$

Por cada existe un barrio de tal que: ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle t}$

{\ Displaystyle \ left | f (\ sigma (t)) - f (s) -f ^ {\ Delta} (t) (\ sigma (t) -s) \ right | \ leq \ varepsilon \ left | \ sigma (t) -s \ right |}

para todos en . ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle U}$

Tome Entonces , , ; es la derivada utilizada en el cálculo estándar . Si (los números enteros ), , , es el operador de diferencia hacia delante se utiliza en ecuaciones en diferencias. ${\ Displaystyle \ mathbb {T} = \ mathbb {R}.}$ ${\ Displaystyle \ sigma (t) = t}$ ${\ Displaystyle \ mu (t) = 0}$ ${\ Displaystyle f ^ {\ Delta} = f '}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {T} = \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ sigma (t) = t + 1}$ ${\ Displaystyle \ mu (t) = 1}$ ${\ Displaystyle f ^ {\ Delta} = \ Delta f}$

Integración

La integral delta se define como la antiderivada con respecto a la derivada delta. Si tiene una derivada continua, se establece ${\ Displaystyle F (t)}$ ${\ Displaystyle f (t) = F ^ {\ Delta} (t)}$

{\ Displaystyle \ int _ {r} ^ {s} f (t) \ Delta (t) = F (s) -F (r).}

Transformada de Laplace y transformada z

Se puede definir una transformada de Laplace para funciones en escalas de tiempo, que utiliza la misma tabla de transformaciones para cualquier escala de tiempo arbitraria. Esta transformación se puede utilizar para resolver ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo. Si la escala de tiempo son los enteros no negativos, entonces la transformación es igual a una transformación Z modificada :

{\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} '\ {x [z] \} = {\ frac {{\ mathcal {Z}} \ {x [z + 1] \}} {z + 1}}}

Diferenciación parcial

Las ecuaciones diferenciales parciales y las ecuaciones en diferencias parciales se unifican como ecuaciones dinámicas parciales en escalas de tiempo.

Integración múltiple

La integración múltiple en escalas de tiempo se trata en Bohner (2005).

Ecuaciones dinámicas estocásticas en escalas de tiempo

Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las ecuaciones en diferencias estocásticas se pueden generalizar a ecuaciones dinámicas estocásticas en escalas de tiempo.

Medir la teoría en escalas de tiempo

Asociado con cada escala de tiempo hay una medida natural definida a través de

{\ Displaystyle \ mu ^ {\ Delta} (A) = \ lambda (\ rho ^ {- 1} (A)),}

donde denota la medida de Lebesgue y es el operador de cambio hacia atrás definido en . La integral delta resulta ser la integral de Lebesgue-Stieltjes habitual con respecto a esta medida ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ int _ {r} ^ {s} f (t) \ Delta t = \ int _ {[r, s)} f (t) d \ mu ^ {\ Delta} (t)}

y la derivada delta resulta ser la derivada Radon-Nikodym con respecto a esta medida

{\ Displaystyle f ^ {\ Delta} (t) = {\ frac {df} {d \ mu ^ {\ Delta}}} (t).}

Distribuciones en escalas de tiempo

El delta de Dirac y el delta de Kronecker están unificados en escalas de tiempo como el delta de Hilger :

{\ Displaystyle \ delta _ {a} ^ {\ mathbb {H}} (t) = {\ begin {cases} {\ dfrac {1} {\ mu (a)}}, & t = a \\ 0, & t \ neq a \ end {casos}}}

Ecuaciones integrales en escalas de tiempo

Las ecuaciones integrales y las ecuaciones de suma se unifican como ecuaciones integrales en escalas de tiempo.

Cálculo fraccional en escalas de tiempo

El cálculo fraccional en escalas de tiempo se trata en Bastos, Mozyrska y Torres.

Ver también

Análisis de fractales para ecuaciones dinámicas en un conjunto de Cantor .
Análisis de múltiples escalas
Método de promediar
Método de promediado de Krylov-Bogoliubov

Referencias

Otras lecturas

Agarwal, Ravi; Bohner, Martin; O'Regan, Donal; Peterson, Allan (2002). "Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo: una encuesta" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 141 (1–2): 1–26. Código bibliográfico : 2002JCoAM.141 .... 1A . doi : 10.1016 / S0377-0427 (01) 00432-0 .
Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo Número especial de Journal of Computational and Applied Mathematics (2002)
Ecuaciones dinámicas y aplicaciones Número especial de avances en ecuaciones en diferencias (2006)
Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo: análisis cualitativo y aplicaciones Número especial de Teoría de sistemas y dinámica no lineal (2009)

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