Rotación - Rotation

Una esfera que gira (gira) alrededor de un eje.

La rotación es el movimiento circular de un objeto alrededor de un eje de rotación . Un objeto tridimensional puede tener un número infinito de ejes de rotación.

Si el eje de rotación pasa internamente a través del propio centro de masa del cuerpo, entonces se dice que el cuerpo está girando automáticamente o girando , y la intersección de la superficie del eje puede llamarse un polo . Una rotación alrededor de un eje completamente externo, por ejemplo, el planeta Tierra alrededor del Sol , se llama giratoria u orbital , generalmente cuando se produce por gravedad , y los extremos del eje de rotación se pueden llamar polos orbitales .

Matemáticas

Rotación ( desplazamiento angular ) de una figura plana alrededor de un punto
Órbita rotacional v Giro
Relaciones entre eje de rotación, plano de órbita e inclinación axial (para la Tierra).

Matemáticamente , una rotación es un movimiento de cuerpo rígido que, a diferencia de una traslación , mantiene un punto fijo. Esta definición se aplica a rotaciones en dos y tres dimensiones (en un plano y en el espacio, respectivamente).

Todos los movimientos del cuerpo rígido son rotaciones, traslaciones o combinaciones de los dos.

Una rotación es simplemente una orientación radial progresiva hacia un punto común. Ese punto común se encuentra dentro del eje de ese movimiento. El eje es de 90 grados perpendicular al plano del movimiento. Si el eje de rotación se encuentra fuera del cuerpo en cuestión, se dice que el cuerpo está en órbita. No hay una diferencia fundamental entre una "rotación" y una "órbita" yo "giro". La distinción clave es simplemente dónde se encuentra el eje de rotación, ya sea dentro o fuera de un cuerpo en cuestión. Esta distinción puede demostrarse tanto para cuerpos "rígidos" como "no rígidos".

Si una rotación alrededor de un punto o eje va seguida de una segunda rotación alrededor del mismo punto / eje, se produce una tercera rotación. El reverso ( inverso ) de una rotación también es una rotación. Así, las rotaciones alrededor de un punto / eje forman un grupo . Sin embargo, una rotación alrededor de un punto o eje y una rotación alrededor de un punto / eje diferente puede resultar en algo diferente a una rotación, por ejemplo, una traslación.

Las rotaciones alrededor de los ejes x , y y z se denominan rotaciones principales . Rotación alrededor de cualquier eje se puede realizar mediante la adopción de una rotación alrededor del x eje, seguido por una rotación alrededor del y eje, y seguido por una rotación alrededor de la z eje. Es decir, cualquier rotación espacial se puede descomponer en una combinación de rotaciones principales.

En dinámica de vuelo , las rotaciones principales se conocen como guiñada , cabeceo y balanceo (conocidos como ángulos de Tait-Bryan ). Esta terminología también se utiliza en gráficos por computadora .

Astronomía

Estelas de estrellas causadas por la rotación de la Tierra durante el largo tiempo de exposición de la cámara .

En astronomía , la rotación es un fenómeno comúnmente observado. Las estrellas , los planetas y cuerpos similares giran sobre sus ejes. La tasa de rotación de los planetas en el sistema solar se midió primero mediante el seguimiento de características visuales. La rotación estelar se mide mediante el desplazamiento Doppler o mediante el seguimiento de las características de la superficie activa.

Esta rotación induce una aceleración centrífuga en el marco de referencia de la Tierra que contrarresta levemente el efecto de la gravitación cuanto más cerca se está del ecuador . La gravedad de la Tierra combina ambos efectos de masa, de modo que un objeto pesa un poco menos en el ecuador que en los polos. Otra es que, con el tiempo, la Tierra se deforma levemente hasta convertirse en un esferoide achatado ; un abultamiento ecuatorial similar se desarrolla para otros planetas.

Otra consecuencia de la rotación de un planeta es el fenómeno de la precesión . Como un giroscopio , el efecto general es un ligero "bamboleo" en el movimiento del eje de un planeta. Actualmente, la inclinación del eje de la Tierra a su plano orbital ( oblicuidad de la eclíptica ) es de 23,44 grados, pero este ángulo cambia lentamente (durante miles de años). (Véase también Precesión de los equinoccios y Estrella polar ).

Rotación y revolución

Si bien revolución se usa a menudo como sinónimo de rotación, en muchos campos, en particular la astronomía y campos relacionados, la revolución, a menudo denominada revolución orbital para mayor claridad, se usa cuando un cuerpo se mueve alrededor de otro, mientras que la rotación se usa para referirse al movimiento alrededor de un cuerpo. eje. Las lunas giran alrededor de su planeta, los planetas giran alrededor de su estrella (como la Tierra alrededor del Sol); y las estrellas giran lentamente alrededor de su centro galaxial . El movimiento de los componentes de las galaxias es complejo, pero generalmente incluye un componente de rotación.

Rotación retrógrada

La mayoría de los planetas de nuestro sistema solar , incluida la Tierra , giran en la misma dirección en la que orbitan alrededor del Sol . Las excepciones son Venus y Urano . Se puede pensar que Venus gira lentamente hacia atrás (o está "al revés"). Urano gira casi de lado en relación con su órbita. La especulación actual es que Urano comenzó con una orientación prograda típica y fue derribado por un gran impacto al principio de su historia. El planeta enano Plutón (antes considerado un planeta) es anómalo de varias maneras, incluido que también gira de lado.

Física

La velocidad de rotación viene dada por la frecuencia angular (rad / s) o frecuencia ( vueltas por tiempo), o período (segundos, días, etc.). La tasa de cambio en el tiempo de la frecuencia angular es la aceleración angular (rad / s²), causada por el par . La relación de los dos (qué tan pesado es arrancar, detener o cambiar de rotación) viene dada por el momento de inercia .

El vector de velocidad angular (un vector axial ) también describe la dirección del eje de rotación. De manera similar, el par es un vector axial.

La física de la rotación alrededor de un eje fijo se describe matemáticamente con la representación eje-ángulo de las rotaciones. De acuerdo con la regla de la mano derecha , la dirección que se aleja del observador está asociada con la rotación en el sentido de las agujas del reloj y la dirección hacia el observador con una rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj, como un tornillo .

Principio cosmológico

Las leyes de la física se cree actualmente que ser invariante bajo una rotación fija . (Aunque parecen cambiar cuando se ven desde un punto de vista giratorio: consulte el marco de referencia giratorio ).

En la cosmología física moderna, el principio cosmológico es la noción de que la distribución de la materia en el universo es homogénea e isotrópica cuando se ve en una escala lo suficientemente grande, ya que se espera que las fuerzas actúen uniformemente en todo el universo y no tengan una dirección preferida, y deberían , por lo tanto, no producen irregularidades observables en la estructuración a gran escala en el curso de la evolución del campo de la materia que fue inicialmente establecido por el Big Bang.

En particular, para un sistema que se comporta igual independientemente de cómo esté orientado en el espacio, su Lagrangiano es invariante en rotación. Según el teorema de Noether , si la acción (la integral en el tiempo de su lagrangiano) de un sistema físico es invariante bajo rotación, entonces se conserva el momento angular .

Rotaciones de Euler

Rotaciones de Euler de la Tierra. Intrínseco (verde), Precesión (azul) y Nutación (rojo)

Las rotaciones de Euler proporcionan una descripción alternativa de una rotación. Es una composición de tres rotaciones definida como el movimiento obtenido al cambiar uno de los ángulos de Euler dejando constantes los otros dos. Las rotaciones de Euler nunca se expresan en términos del marco externo, o en términos del marco del cuerpo girado que se mueve conjuntamente, sino en una mezcla. Constituyen un sistema mixto de ejes de rotación, donde el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z , el segundo gira alrededor de la línea de nodos y el tercero es una rotación intrínseca alrededor de un eje fijo en el cuerpo que se mueve.

Estas rotaciones se denominan precesión , nutación y rotación intrínseca .

Dinámica de vuelo

Los principales ejes de rotación en el espacio

En dinámica de vuelo , las rotaciones principales descritas con los ángulos de Euler anteriormente se conocen como cabeceo , balanceo y guiñada . El término rotación también se usa en aviación para referirse al cabeceo ascendente (el morro se mueve hacia arriba) de una aeronave, particularmente cuando se inicia el ascenso después del despegue.

Las rotaciones principales tienen la ventaja de modelar varios sistemas físicos, como cardanes y joysticks , por lo que se visualizan fácilmente y son una forma muy compacta de almacenar una rotación. Pero son difíciles de usar en los cálculos, ya que incluso las operaciones simples como combinar rotaciones son costosas y sufren una forma de bloqueo de cardán donde los ángulos no se pueden calcular de forma única para ciertas rotaciones.

Atracciones de feria

Muchas atracciones brindan rotación. Una noria tiene un eje central horizontal, y ejes paralelos para cada góndola, donde la rotación es opuesta, por gravedad o mecánicamente. Como resultado, en cualquier momento la orientación de la góndola es vertical (no girada), simplemente trasladada. La punta del vector de traslación describe un círculo. Un carrusel proporciona rotación sobre un eje vertical. Muchas atracciones proporcionan una combinación de rotaciones sobre varios ejes. En Chair-O-Planes, la rotación sobre el eje vertical se proporciona mecánicamente, mientras que la rotación sobre el eje horizontal se debe a la fuerza centrípeta . En las inversiones de montaña rusa, la rotación sobre el eje horizontal es de uno o más ciclos completos, donde la inercia mantiene a las personas en sus asientos.

Deportes

La rotación de una pelota u otro objeto, generalmente llamado giro , juega un papel en muchos deportes, incluido el efecto liftado y retroceso en tenis , inglés , seguir y dibujar en billar y billar , bolas curvas en béisbol , bolos giratorios en cricket , deportes de disco volador , etc. tenis de mesa paletas se fabrican con diferentes características de la superficie para permitir al jugador para impartir una mayor o menor cantidad de vuelta a la bola.

La rotación de un jugador una o más veces alrededor de un eje vertical puede denominarse giro en patinaje artístico , giro (de la batuta o del ejecutante) en giro de batuta , o 360 , 540 , 720 , etc. en snowboard , etc. jugador o un intérprete o más veces alrededor de un eje horizontal puede ser llamado un tirón , rollo , salto mortal , heli , etc., en gimnasia , esquí acuático , o muchos otros deportes, o una sola y media , dos horas y una -medio , ganador (comenzando de espaldas al agua), etc. en el buceo , etc. Una combinación de rotación vertical y horizontal (giro hacia atrás con 360 °) se llama möbius en el salto de estilo libre de esquí acuático .

La rotación de un jugador alrededor de un eje vertical, generalmente entre 180 y 360 grados, puede denominarse movimiento de giro y se usa como una maniobra engañosa o de evitación, o en un intento de jugar, pasar o recibir una pelota o un disco, etc. , o para permitirle a un jugador una vista de la portería u otros jugadores. A menudo se ve en hockey , baloncesto , fútbol de varios códigos, tenis , etc.

Eje fijo vs punto fijo

El resultado final de cualquier secuencia de rotaciones de cualquier objeto en 3D alrededor de un punto fijo es siempre equivalente a una rotación alrededor de un eje. Sin embargo, un objeto puede girar físicamente en 3D alrededor de un punto fijo en más de un eje simultáneamente, en cuyo caso no hay un solo eje fijo de rotación, solo el punto fijo. Sin embargo, estas dos descripciones pueden conciliarse: un movimiento físico de este tipo siempre se puede volver a describir en términos de un solo eje de rotación, siempre que se permita que la orientación de ese eje en relación con el objeto cambie momento a momento.

Eje de rotaciones bidimensionales

Las rotaciones bidimensionales, a diferencia de las tridimensionales, no poseen eje de rotación. Esto es equivalente, para las transformaciones lineales, a decir que no hay dirección en el lugar que se mantenga sin cambios por una rotación bidimensional, excepto, por supuesto, la identidad.

La cuestión de la existencia de tal dirección es la cuestión de la existencia de un vector propio para la matriz A que representa la rotación. Cada rotación 2D alrededor del origen a través de un ángulo en dirección contraria a las agujas del reloj se puede representar de manera bastante simple mediante la siguiente matriz:

Una determinación de valor propio estándar conduce a la ecuación característica

,

que tiene

como sus valores propios. Por lo tanto, no hay un valor propio real siempre que , lo que significa que ningún vector real en el plano se mantiene sin cambios por A.

Ángulo y eje de rotación en 3 dimensiones

Sabiendo que la traza es invariante, el ángulo de rotación para una matriz de rotación ortogonal adecuada de 3x3 se encuentra mediante

Usando el arco-coseno principal, esta fórmula da un ángulo de rotación satisfactorio . El eje de rotación correspondiente debe definirse para apuntar en una dirección que limite el ángulo de rotación para que no supere los 180 grados. (Esto siempre se puede hacer porque cualquier rotación de más de 180 grados alrededor de un eje siempre se puede escribir como una rotación que tiene si el eje se reemplaza por ).

Cada rotación adecuada en el espacio 3D tiene un eje de rotación, que se define de manera que cualquier vector que esté alineado con el eje de rotación no se verá afectado por la rotación. En consecuencia ,, y el eje de rotación corresponde a un vector propio de la matriz de rotación asociado con un valor propio de 1. Siempre que el ángulo de rotación sea ​​distinto de cero (es decir, la rotación no es el tensor de identidad), existe uno y solo uno de estos. dirección. Debido a que A solo tiene componentes reales, hay al menos un autovalor real, y los dos autovalores restantes deben ser conjugados complejos entre sí (ver Autovalores y autovectores # Autovalores y el polinomio característico ). Sabiendo que 1 es un valor propio, se deduce que los dos valores propios restantes son conjugados complejos entre sí, pero esto no implica que sean complejos; podrían ser reales con doble multiplicidad. En el caso degenerado de un ángulo de rotación , los dos valores propios restantes son ambos iguales a -1. En el caso degenerado de un ángulo de rotación cero, la matriz de rotación es la identidad y los tres valores propios son 1 (que es el único caso en el que el eje de rotación es arbitrario).

No se requiere un análisis espectral para encontrar el eje de rotación. Si denota el vector propio unitario alineado con el eje de rotación, y si denota el ángulo de rotación, entonces se puede demostrar que . En consecuencia, el gasto de un análisis de valores propios puede evitarse simplemente normalizando este vector si tiene una magnitud distinta de cero. Por otro lado, si este vector tiene una magnitud cero, significa eso . En otras palabras, este vector será cero si y solo si el ángulo de rotación es 0 o 180 grados, y el eje de rotación puede asignarse en este caso normalizando cualquier columna que tenga una magnitud distinta de cero.

Esta discusión se aplica a una rotación adecuada, y por lo tanto . Cualquier matriz ortogonal incorrecta de 3x3 se puede escribir como , en la que es ortogonal adecuada. Es decir, cualquier matriz ortogonal de 3x3 incorrecta puede descomponerse como una rotación adecuada (a partir de la cual se puede encontrar un eje de rotación como se describió anteriormente) seguida de una inversión (multiplicación por -1). De ello se deduce que el eje de rotación de es también el vector propio de correspondiente a un valor propio de -1.

Plano de rotacion

Así como cada rotación tridimensional tiene un eje de rotación, también cada rotación tridimensional tiene un plano, que es perpendicular al eje de rotación, y que la rotación deja invariable. La rotación, restringida a este plano, es una rotación 2D ordinaria.

La prueba procede de manera similar a la discusión anterior. Primero, suponga que todos los valores propios de la matriz de rotación 3D A son reales. Esto significa que existe una base ortogonal, formada por los vectores propios correspondientes (que son necesariamente ortogonales), sobre la cual el efecto de la matriz de rotación es simplemente estirarla. Si escribimos A en esta base, es diagonal; pero una matriz ortogonal diagonal está hecha de solo +1 y -1 en las entradas diagonales. Por lo tanto, no tenemos una rotación adecuada, sino la identidad o el resultado de una secuencia de reflexiones.

De ello se deduce, entonces, que una rotación adecuada tiene algún valor propio complejo. Sea v el vector propio correspondiente. Entonces, como mostramos en el tema anterior, también es un vector propio, y son tales que su producto escalar desaparece:

porque, dado que es real, es igual a su conjugado complejo , y son ambas representaciones del mismo producto escalar entre y .

Esto significa que y son vectores ortogonales. Además, ambos son vectores reales por construcción. Estos vectores abarcan el mismo subespacio que y , que es un subespacio invariante bajo la aplicación de A. Por lo tanto, abarcan un plano invariante.

Este plano es ortogonal al eje invariante, que corresponde al autovector restante de A, con autovalor 1, debido a la ortogonalidad de los autovectores de A.

Ver también

Referencias

enlaces externos