Integral - Integral

Ejemplo de integral definida
Una integral definida de una función se puede representar como el área con signo de la región limitada por su gráfica.

En matemáticas , una integral asigna números a funciones de una manera que describe el desplazamiento, el área , el volumen y otros conceptos que surgen al combinar datos infinitesimales . El proceso de encontrar integrales se llama integración . Junto con la diferenciación , la integración es una operación fundamental y esencial del cálculo , y sirve como herramienta para resolver problemas en matemáticas y física que involucran el área de una forma arbitraria, la longitud de una curva y el volumen de un sólido, entre otros.

Las integrales enumeradas aquí son las denominadas integrales definidas , que pueden interpretarse formalmente como el área con signo de la región en el plano que está delimitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos de la recta real . Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también se refieren al concepto de antiderivada , una función cuya derivada es la función dada. En este caso, se denominan integrales indefinidas . El teorema fundamental del cálculo relaciona integrales definidas con diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su antiderivada.

Aunque los métodos para calcular áreas y volúmenes datan de las matemáticas griegas antiguas , los principios de integración fueron formulados independientemente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a finales del siglo XVII, quienes pensaban en el área bajo una curva como una suma infinita de rectángulos de ancho infinitesimal. . Bernhard Riemann más tarde dio una definición rigurosa de integrales, que se basa en un procedimiento de limitación que aproxima el área de una región curvilínea rompiendo la región en losas verticales delgadas.

Las integrales pueden generalizarse según el tipo de función, así como el dominio sobre el que se realiza la integración. Por ejemplo, una integral de línea se define para funciones de dos o más variables, y el intervalo de integración se reemplaza por una curva que conecta los dos puntos finales del intervalo. En una integral de superficie , la curva se reemplaza por una parte de una superficie en un espacio tridimensional .

Historia

Integración de precálculo

La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de agotamiento del antiguo astrónomo griego Eudoxo ( ca. 370 aC), que buscaba encontrar áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de divisiones para las cuales el área o volumen se conocía. Este método fue desarrollado y empleado por Arquímedes en el siglo III a.C. y se utilizó para calcular el área de un círculo , el área de la superficie y el volumen de una esfera , el área de una elipse , el área bajo una parábola , el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución, el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución y el área de una espiral .

Un método similar fue desarrollado independientemente en China alrededor del siglo III d.C. por Liu Hui , quien lo usó para encontrar el área del círculo. Este método fue utilizado más tarde en el siglo V por los matemáticos chinos de padre e hijo Zu Chongzhi y Zu Geng para encontrar el volumen de una esfera.

En el Medio Oriente, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen ( c.  965  - c.  1040  dC) derivó una fórmula para la suma de cuartos poderes . Utilizó los resultados para realizar lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide .

Los siguientes avances significativos en el cálculo integral no comenzaron a aparecer hasta el siglo XVII. En este momento, el trabajo de Cavalieri con su método de Indivisibles , y el trabajo de Fermat , comenzaron a sentar las bases del cálculo moderno, con Cavalieri calculando las integrales de x n hasta el grado n = 9 en la fórmula de cuadratura de Cavalieri . Barrow y Torricelli dieron nuevos pasos a principios del siglo XVII , quienes proporcionaron los primeros indicios de una conexión entre integración y diferenciación . Barrow proporcionó la primera prueba del teorema fundamental del cálculo . Wallis generalizó el método de Cavalieri, calculando integrales de x a una potencia general, incluidas las potencias negativas y las potencias fraccionarias.

Leibniz y Newton

El mayor avance en la integración se produjo en el siglo XVII con el descubrimiento independiente del teorema fundamental del cálculo por Leibniz y Newton . El teorema demuestra una conexión entre integración y diferenciación. Esta conexión, combinada con la relativa facilidad de diferenciación, se puede aprovechar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase de problemas mucho más amplia. De igual importancia es el marco matemático integral que desarrollaron tanto Leibniz como Newton. Dado el nombre de cálculo infinitesimal, permitió un análisis preciso de funciones dentro de dominios continuos. Este marco eventualmente se convirtió en cálculo moderno , cuya notación para integrales se extrae directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización

Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático de la integración, su trabajo carecía de cierto grado de rigor . El obispo Berkeley atacó memorablemente los incrementos de fuga utilizados por Newton, llamándolos " fantasmas de cantidades diferidas ". El cálculo adquirió una base más firme con el desarrollo de límites . La integración fue formalizada primero rigurosamente, usando límites, por Riemann . Aunque todas las funciones continuas acotadas por partes son integrables de Riemann en un intervalo acotado, posteriormente se consideraron funciones más generales, particularmente en el contexto del análisis de Fourier, a las que no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de integral , fundada en la medida teoría (un subcampo del análisis real ). Se propusieron otras definiciones de integral, ampliando los enfoques de Riemann y Lebesgue. Estos enfoques basados ​​en el sistema de números reales son los más comunes en la actualidad, pero existen enfoques alternativos, como una definición de integral como la parte estándar de una suma infinita de Riemann, basada en el sistema de números hiperreal .

Notación histórica

La notación para la integral indefinida fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675. Adaptó el símbolo integral , , de la letra ſ ( s larga ), que representa summa (escrito como ſumma ; latín para "suma" o "total") . La notación moderna para la integral definida, con límites por encima y por debajo del signo integral, fue utilizada por primera vez por Joseph Fourier en Mémoires of the French Academy alrededor de 1819–20, reimpreso en su libro de 1822.

Isaac Newton usó una pequeña barra vertical sobre una variable para indicar la integración, o colocó la variable dentro de un cuadro. La barra vertical se confundía fácilmente con.Xo x , que se utilizan para indicar diferenciación, y la notación de caja era difícil de reproducir para los impresores, por lo que estas notaciones no se adoptaron ampliamente.

Primer uso del término

El término fue impreso por primera vez en latín por Jacob Bernoulli en 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur".

Terminología y notación

En general, la integral de una función de valor real f ( x ) con respecto a una variable real x en un intervalo [ a , b ] se escribe como

El signo integral representa la integración. El símbolo dx , llamado diferencial de la variable x , indica que la variable de integración es x . La función f ( x ) se llama el integrando, los puntos a y b son llamados los límites (o límites) de integración, y la integral se dice que es en el intervalo [ a , b ] , llamado el intervalo de integración. Se dice que una función es integrable si su integral sobre su dominio es finita, y cuando se especifican límites, la integral se llama integral definida.

Cuando se omiten los límites, como en

la integral se llama integral indefinida, que representa una clase de funciones (la antiderivada ) cuya derivada es el integrando. El teorema fundamental del cálculo relaciona la evaluación de integrales definidas con integrales indefinidas. Hay varias extensiones de la notación para integrales para abarcar la integración en dominios ilimitados y / o en múltiples dimensiones (consulte las secciones posteriores de este artículo).

En configuraciones avanzadas, no es raro omitir dx cuando solo se usa la integral de Riemann simple, o el tipo exacto de integral es irrelevante. Por ejemplo, se podría escribir para expresar la linealidad de la integral, una propiedad compartida por la integral de Riemann y todas sus generalizaciones.

Interpretaciones

Aproximaciones a la integral de x de 0 a 1, con 5 particiones amarillas del extremo derecho y 12 particiones verdes del extremo izquierdo

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Por ejemplo, a partir de la longitud, el ancho y la profundidad de una piscina rectangular con fondo plano, se puede determinar el volumen de agua que puede contener, el área de su superficie y la longitud de su borde. Pero si es ovalado con un fondo redondeado, se requieren integrales para encontrar valores exactos y rigurosos para estas cantidades. En cada caso, se puede dividir la cantidad buscada en un número infinito de piezas infinitesimales y luego sumar las piezas para lograr una aproximación precisa.

Por ejemplo, para encontrar el área de la región limitada por la gráfica de la función f ( x ) = x entre x = 0 y x = 1 , se puede cruzar el intervalo en cinco pasos ( 0, 1/5, 2 / 5, ..., 1 ), luego rellene un rectángulo usando la altura del extremo derecho de cada pieza (por lo tanto, 0 , 1/5 , 2/5 , ..., 1 ) y sume sus áreas para obtener un aproximación de

que es mayor que el valor exacto. Alternativamente, al reemplazar estos subintervalos por unos con la altura del extremo izquierdo de cada pieza, la aproximación que se obtiene es demasiado baja: con doce de tales subintervalos, el área aproximada es solo 0,6203. Sin embargo, cuando el número de piezas aumenta hasta el infinito, llegará a un límite que es el valor exacto del área buscada (en este caso, 2/3 ). Uno escribe

lo que significa que 2/3 es el resultado de una suma ponderada de valores de función, x , multiplicada por los anchos de paso infinitesimales, denotados por dx , en el intervalo [0, 1] .

Sumas de Darboux
Ejemplo de suma de Darboux superior
Darboux sumas superiores de la función y = x 2
Ejemplo de suma de Darboux inferior
Darboux sumas inferiores de la función y = x 2

Definiciones formales

Convergencia de la suma de Riemann
Sumas de Riemann convergiendo

Hay muchas formas de definir formalmente una integral, no todas son equivalentes. Las diferencias existen principalmente para tratar casos especiales diferentes que pueden no ser integrables bajo otras definiciones, pero también ocasionalmente por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue.

Integral de Riemann

La integral de Riemann se define en términos de sumas de funciones de Riemann con respecto a las particiones etiquetadas de un intervalo. Una partición etiquetada de un intervalo cerrado [ a , b ] en la línea real es una secuencia finita

Esto divide el intervalo [ a , b ] en n subintervalos [ x i −1 , x i ] indexados por i , cada uno de los cuales está "etiquetado" con un punto distinguido t i ∈ [ x i −1 , x i ] . Una suma de Riemann de una función f con respecto a dicha partición etiquetada se define como

por lo tanto, cada término de la suma es el área de un rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto distinguido del subintervalo dado, y ancho igual al ancho del subintervalo, Δ i = x i - x i −1 . La malla de dicha partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande formado por la partición, max i = 1 ... n Δ i . La integral de Riemann de una función f en el intervalo [ a , b ] es igual a S si:

Para todo lo que existe tal que, para cualquier partición etiquetada con malla menor que ,

Cuando las etiquetas elegidas dan el valor máximo (respectivamente, mínimo) de cada intervalo, la suma de Riemann se convierte en una suma de Darboux superior (respectivamente, inferior) , lo que sugiere la estrecha conexión entre la integral de Riemann y la integral de Darboux .

Integral de Lebesgue

Comparación de integrales de Riemann y Lebesgue
Integración de Riemann-Darboux (arriba) e integración de Lebesgue (abajo)

Suele ser interesante, tanto en teoría como en aplicaciones, poder pasar al límite por debajo de la integral. Por ejemplo, con frecuencia se puede construir una secuencia de funciones que se aproximen, en un sentido adecuado, a la solución de un problema. Entonces la integral de la función solución debería ser el límite de las integrales de las aproximaciones. Sin embargo, muchas funciones que pueden obtenerse como límites no son integrables de Riemann, por lo que tales teoremas de límites no se cumplen con la integral de Riemann. Por lo tanto, es de gran importancia tener una definición de la integral que permita integrar una clase más amplia de funciones.

Tal integral es la integral de Lebesgue, que aprovecha el siguiente hecho para ampliar la clase de funciones integrables: si los valores de una función se reordenan en el dominio, la integral de una función debe permanecer igual. Así, Henri Lebesgue introdujo la integral que lleva su nombre, explicando así esta integral en una carta a Paul Montel :

Tengo que pagar una determinada suma, que he recogido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas de mi bolsillo y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta que alcanzo la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas de acuerdo con valores idénticos y luego pago los varios montones uno tras otro al acreedor. Esta es mi integral.

Como dice Folland, "Para calcular la integral de Riemann de f , uno divide el dominio [ a , b ] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "uno está en efecto dividiendo el rango de f ". Por tanto, la definición de la integral de Lebesgue comienza con una medida , μ. En el caso más simple, la medida de Lebesgue μ ( A ) de un intervalo A = [ a , b ] es su ancho, b - a , de modo que la integral de Lebesgue concuerda con la integral de Riemann (propia) cuando ambas existen. En casos más complicados, los conjuntos que se miden pueden estar muy fragmentados, sin continuidad y sin semejanza con los intervalos.

Uso de la "partición de la gama de f " la filosofía, la integral de una función no negativa f  : RR debe ser la suma sobre t de las áreas entre una tira horizontal delgada entre y = t y y = t + dt . Esta área es solo μ { x  : f ( x )> t }  dt . Sea f ( t ) = μ { x  : f ( x )> t } . La integral de Lebesgue de f se define entonces por

donde la integral de la derecha es una integral de Riemann impropia ordinaria ( f es una función positiva estrictamente decreciente y, por lo tanto, tiene una integral de Riemann impropia bien definida ). Para una clase adecuada de funciones (las funciones medibles ) esto define la integral de Lebesgue.

Una función medible general f es integrable en Lebesgue si la suma de los valores absolutos de las áreas de las regiones entre la gráfica de fy el eje x es finita:

En ese caso, la integral es, como en el caso de Riemann, la diferencia entre el área sobre el eje x y el área debajo del eje x :

dónde

Otras integrales

Aunque las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más utilizadas de la integral, existen varias otras, que incluyen:

Propiedades

Linealidad

La colección de funciones integrables de Riemann en un intervalo cerrado [ a , b ] forma un espacio vectorial bajo las operaciones de suma puntual y multiplicación por un escalar, y la operación de integración

es un funcional lineal en este espacio vectorial. Así, la colección de funciones integrables se cierra tomando combinaciones lineales , y la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales:

De manera similar, el conjunto de funciones integrables de Lebesgue de valor real en un espacio de medida dado E con medida μ se cierra tomando combinaciones lineales y, por lo tanto, forma un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

es un funcional lineal en este espacio vectorial, de modo que:

Más en general, considerar el espacio vectorial de todas las funciones medibles en un espacio de medida ( E , μ ) , tomando valores en un localmente compacto completo espacio vectorial topológico V durante un localmente compacto campo topológico K , f  : EV . Entonces se puede definir un mapa de integración abstracto asignando a cada función f un elemento de V o el símbolo ,

que sea compatible con combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad es válida para el subespacio de funciones cuya integral es un elemento de V (es decir, "finito"). Los casos especiales más importantes surgen cuando K es R , C o una extensión finita del campo Q p de números p-ádicos , y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K , y cuando K = C y V es un complejo Espacio Hilbert .

La linealidad, junto con algunas propiedades de continuidad natural y la normalización para una cierta clase de funciones "simples", pueden usarse para dar una definición alternativa de la integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones de valor real en un conjunto X , generalizado por Nicolas Bourbaki a funciones con valores en un espacio vectorial topológico localmente compacto. Véase Hildebrandt 1953 para una caracterización axiomática de la integral.

Desigualdades

Varias desigualdades generales son válidas para funciones integrables de Riemann definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] y pueden generalizarse a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

  • Límites superior e inferior. Una función integrable f en [ a , b ] , está necesariamente acotada en ese intervalo. Así, hay números reales m y M de modo que mf  ( x ) ≤ M para todo x en [ a , b ] . Dado que las sumas inferior y superior de f sobre [ a , b ] están limitadas por, respectivamente, m ( b - a ) y M ( b - a ) , se deduce que
  • Desigualdades entre funciones. Si f ( x ) ≤ g ( x ) para cada x en [ a , b ] entonces cada una de las sumas superior e inferior de f está acotada arriba por las sumas superior e inferior, respectivamente, de g . Por lo tanto
    Esta es una generalización de las desigualdades anteriores, ya que M ( b - a ) es la integral de la función constante con valor M sobre [ a , b ] . Además, si la desigualdad entre funciones es estricta, entonces la desigualdad entre integrales también es estricta. Es decir, si f ( x ) < g ( x ) para cada x en [ a , b ] , entonces
  • Subintervalos. Si [ c , d ] es un subintervalo de [ a , b ] y f  ( x ) es no negativo para todos los x , entonces
  • Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, a continuación, podemos considerar sus productos pointwise y poderes, y los valores absolutos :
    Si f es integrable de Riemann en [ a , b ], entonces lo mismo es cierto para | f | , y
    Por otra parte, si f y g son ambos Riemann-integrable entonces fg es también Riemann-integrable, y
    Esta desigualdad, conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwarz , desempeña un papel prominente en espacio de Hilbert teoría, donde la izquierda se interpreta como el producto interior de dos cuadrados integrables funciones f y g en el intervalo [ a , b ] .
  • Desigualdad de Hölder . Supongamos que p y q son dos números reales, 1 ≤ p , q ≤ ∞ con 1/pag + 1/q= 1 , y f y g son dos funciones integrables de Riemann. Entonces las funciones | f | p y | g | q también son integrables y se cumple la siguiente desigualdad de Hölder :
    Para p = q = 2 , la desigualdad de Hölder se convierte en la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
  • Desigualdad de Minkowski . Suponga que p ≥ 1 es un número real y que f y g son funciones integrables de Riemann. Entonces | f | p , | g | p y | f + g | p también son integrables de Riemann y se cumple la siguiente desigualdad de Minkowski :
    Un análogo de esta desigualdad para la integral de Lebesgue se usa en la construcción de espacios L p .

Convenciones

En esta sección, f es un valor real- Riemann-integrable función . La integral

en un intervalo [ a , b ] se define si a < b . Esto significa que las sumas superior e inferior de la función f se evalúan en una partición a = x 0x 1 ≤. . . ≤ x n = b cuyos valores x i son crecientes. Geométricamente, esto significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [ x i  , x i  +1 ] donde un intervalo con un índice más alto se encuentra a la derecha de uno con un índice más bajo. Los valores de a y b , los puntos finales del intervalo , se llaman los límites de integración de f . Las integrales también se pueden definir si a > b :

Con a = b , esto implica:

La primera convención es necesaria en consideración de tomar integrales sobre subintervalos de [ a , b ] ; el segundo dice que una integral tomada sobre un intervalo degenerado, o un punto , debe ser cero . Una razón para la primera convención es que la integrabilidad de f en un intervalo [ a , b ] implica que f es integrable en cualquier subintervalo [ c , d ] , pero en particular las integrales tienen la propiedad de que si c es cualquier elemento de [ a , b ] , entonces:

Con la primera convención, la relación resultante

está entonces bien definida para cualquier permutación cíclica de un , b , y c .

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es el enunciado de que la diferenciación y la integración son operaciones inversas: si una función continua se integra primero y luego se diferencia, se recupera la función original. Una consecuencia importante, a veces llamada el segundo teorema fundamental del cálculo , permite calcular integrales utilizando una antiderivada de la función que se va a integrar.

Primer teorema

Sea f una función continua de valor real definida en un intervalo cerrado [ a , b ] . Sea F la función definida, para todo x en [ a , b ] , por

Entonces, F es continua en [ a , b ] , diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y

para todo x en ( a , b ) .

Segundo teorema

Sea f una función de valor real definida en un intervalo cerrado [ a , b ] que admite una antiderivada F en [ a , b ] . Es decir, f y F son funciones tales que para todo x en [ a , b ] ,

Si f es integrable en [ a , b ] entonces

Extensiones

Integrales impropias

La integral impropia tiene intervalos ilimitados tanto para el dominio como para el rango.

Una integral de Riemann "propia" supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, entre corchetes por los límites de integración. Una integral incorrecta ocurre cuando una o más de estas condiciones no se cumplen. En algunos casos, tales integrales pueden definirse considerando el límite de una secuencia de integrales de Riemann adecuadas en intervalos progresivamente más grandes.

Si el intervalo no está acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite cuando ese punto final llega al infinito:

Si el integrando solo está definido o es finito en un intervalo semiabierto, por ejemplo ( a , b ] , entonces nuevamente un límite puede proporcionar un resultado finito:

Es decir, la integral impropia es el límite de integrales propias cuando un punto final del intervalo de integración se acerca a un número real especificado , o , o −∞ . En casos más complicados, se requieren límites en ambos extremos o en puntos interiores.

Integración múltiple

La integral doble calcula el volumen debajo de una superficie

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x , la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. Por ejemplo, una función en dos dimensiones depende de dos variables reales, x y y , y la integral de una función f sobre el rectángulo R dado como el producto cartesiano de dos intervalos se puede escribir

donde el diferencial dA indica que la integración se toma con respecto al área. Esta integral doble se puede definir usando sumas de Riemann , y representa el volumen (firmado) bajo la gráfica de z = f ( x , y ) sobre el dominio R . En condiciones adecuadas (por ejemplo, si f es continua), el teorema de Fubini establece que esta integral se puede expresar como una integral iterada equivalente

Esto reduce el problema de calcular una integral doble para calcular integrales unidimensionales. Debido a esto, otra notación para la integral sobre R usa un signo de integral doble:

Es posible la integración en dominios más generales. La integral de una función f , con respecto al volumen, sobre una región de n dimensiones D de se denota mediante símbolos como:

Integrales de línea e integrales de superficie

Una integral de línea suma elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral puede extenderse a dominios de integración más generales, como líneas curvas y superficies dentro de espacios de dimensiones superiores. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie, respectivamente. Estos tienen aplicaciones importantes en física, como cuando se trata de campos vectoriales .

Una integral de línea (a veces llamada integral de trayectoria ) es una integral en la que la función que se integrará se evalúa a lo largo de una curva . Se utilizan varias integrales de línea diferentes. En el caso de una curva cerrada, también se denomina integral de contorno .

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderado por alguna función escalar en la curva (comúnmente la longitud del arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un diferencial vector en la curva). Esta ponderación distingue la integral de línea de las integrales más simples definidas en intervalos . Muchas fórmulas simples en física tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea ​​igual a la fuerza , F , multiplicada por el desplazamiento, s , puede expresarse (en términos de cantidades vectoriales) como:

Para un objeto en movimiento a lo largo de una trayectoria C en un campo vectorial F tal como un campo eléctrico o campo gravitatorio , el trabajo total realizado por el campo en el objeto se obtiene sumando el trabajo diferencial hecho en el movimiento de s a s + d s . Esto le da a la línea integral

La definición de integral de superficie se basa en dividir la superficie en pequeños elementos de superficie.

Una integral de superficie generaliza integrales dobles a la integración sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvo en el espacio ); se puede considerar como el análogo integral doble de la integral de línea . La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de superficie es la suma del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede lograr dividiendo la superficie en elementos de superficie, que proporcionan la partición para las sumas de Riemann.

Para ver un ejemplo de aplicaciones de integrales de superficie, considere un campo vectorial v en una superficie S ; es decir, para cada punto x en S , v ( x ) es un vector. Imagine que un fluido fluye a través de S , de manera que v ( x ) determina la velocidad del fluido en x . El flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en cantidad unitaria de tiempo. Para encontrar el flujo, es necesario tomar el producto escalar de v con la superficie unitaria normal a S en cada punto, lo que dará un campo escalar, que se integra sobre la superficie:

El flujo de fluido en este ejemplo puede ser de un fluido físico como agua o aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Por lo tanto, las integrales de superficie tienen aplicaciones en física, particularmente con la teoría clásica del electromagnetismo .

Integrales de contorno

En el análisis complejo , el integrando es una función de valor complejo de una variable compleja z en lugar de una función real de una variable real x . Cuando una función compleja se integra a lo largo de una curva en el plano complejo, la integral se denota de la siguiente manera

Esto se conoce como integral de contorno .

Integrales de formas diferenciales

Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable , topología diferencial y tensores . Las formas diferenciales están organizadas por grados. Por ejemplo, una forma es una suma ponderada de los diferenciales de las coordenadas, como:

donde E , F , G son funciones en tres dimensiones. Una forma diferencial diferencial se puede integrar en una ruta orientada, y la integral resultante es solo otra forma de escribir una integral de línea. Aquí los diferenciales básicos dx , dy , dz miden longitudes infinitesimales orientadas paralelas a los tres ejes de coordenadas.

Un diferencial de dos formas es una suma de la forma

Aquí, las dos formas básicas miden áreas orientadas paralelas a los dos planos de coordenadas. El símbolo denota el producto de la cuña , que es similar al producto cruzado en el sentido de que el producto de la cuña de dos formas que representan longitudes orientadas representa un área orientada. Se puede integrar una forma de dos sobre una superficie orientada, y la integral resultante es equivalente a la integral de superficie que da el flujo de .

A diferencia del producto cruzado y del cálculo vectorial tridimensional, el producto de la cuña y el cálculo de formas diferenciales tienen sentido en una dimensión arbitraria y en variedades más generales (curvas, superficies y sus análogos de dimensiones superiores). La derivada exterior desempeña el papel del gradiente y la curvatura del cálculo vectorial, y el teorema de Stokes generaliza simultáneamente los tres teoremas del cálculo vectorial: el teorema de la divergencia , el teorema de Green y el teorema de Kelvin-Stokes .

Sumas

El equivalente discreto de la integración es la suma . Las sumas e integrales se pueden poner sobre los mismos cimientos utilizando la teoría de las integrales de Lebesgue o el cálculo de escala de tiempo .

Aplicaciones

Las integrales se utilizan ampliamente en muchas áreas. Por ejemplo, en la teoría de la probabilidad , las integrales se utilizan para determinar la probabilidad de que alguna variable aleatoria se encuentre dentro de un cierto rango. Además, la integral bajo una función de densidad de probabilidad completa debe ser igual a 1, lo que proporciona una prueba de si una función sin valores negativos podría ser una función de densidad o no.

Las integrales se pueden utilizar para calcular el área de una región bidimensional que tiene un límite curvo, así como para calcular el volumen de un objeto tridimensional que tiene un límite curvo. El área de una región bidimensional se puede calcular utilizando la integral definida antes mencionada. El volumen de un objeto tridimensional, como un disco o una arandela, se puede calcular mediante la integración del disco utilizando la ecuación para el volumen de un cilindro , donde es el radio. En el caso de un disco simple creado al girar una curva sobre el eje x , el radio viene dado por f ( x ) , y su altura es la diferencial dx . El uso de un integral con límites a y b , el volumen del disco es igual a:

Las integrales también se utilizan en física, en áreas como la cinemática para encontrar cantidades como el desplazamiento , el tiempo y la velocidad . Por ejemplo, en movimiento rectilíneo, el desplazamiento de un objeto durante el intervalo de tiempo viene dado por:

donde es la velocidad expresada en función del tiempo. El trabajo realizado por una fuerza (dado en función de la posición) desde una posición inicial a una posición final es:

Las integrales también se usan en termodinámica , donde la integración termodinámica se usa para calcular la diferencia de energía libre entre dos estados dados.

Cálculo

Analítico

La técnica más básica para calcular integrales definidas de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo . Sea f ( x ) la función de x que se integrará en un intervalo dado [ a , b ] . Luego, encuentre una antiderivada de f ; es decir, una función F tal que F ′ = f en el intervalo. Siempre que el integrando y la integral no tengan singularidades en el camino de la integración, por el teorema fundamental del cálculo,

A veces es necesario utilizar una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de estas técnicas reescriben una integral como otra diferente, lo que es de esperar que sea más manejable. Las técnicas incluyen integración por sustitución , integración por partes , integración por sustitución trigonométrica e integración por fracciones parciales .

Existen métodos alternativos para calcular integrales más complejas. Muchas integrales no elementales pueden expandirse en una serie de Taylor e integrarse término por término. Ocasionalmente, la serie infinita resultante se puede sumar analíticamente. También se puede utilizar el método de convolución que utiliza funciones G de Meijer , asumiendo que el integrando se puede escribir como un producto de funciones G de Meijer. También hay muchas formas menos comunes de calcular integrales definidas; por ejemplo, la identidad de Parseval se puede utilizar para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. Ocasionalmente, una integral se puede evaluar mediante un truco; para un ejemplo de esto, vea integral gaussiana .

Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución generalmente se pueden realizar con integración de disco o integración de shell .

Los resultados específicos que se han elaborado mediante diversas técnicas se recogen en la lista de integrales .

Simbólico

Muchos problemas en matemáticas, física e ingeniería involucran integración donde se desea una fórmula explícita para la integral. Se han compilado y publicado extensas tablas de integrales a lo largo de los años con este propósito. Con la expansión de las computadoras, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a sistemas de álgebra computacional que están diseñados específicamente para realizar tareas difíciles o tediosas, incluida la integración. La integración simbólica ha sido una de las motivaciones para el desarrollo de los primeros sistemas de este tipo, como Macsyma y Maple .

Una dificultad matemática importante en la integración simbólica es que, en muchos casos, una función relativamente simple no tiene integrales que se puedan expresar en forma cerrada que involucren solo funciones elementales , incluyen funciones racionales y exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas , y la operaciones de multiplicación y composición. El algoritmo de Risch proporciona un criterio general para determinar si la antiderivada de una función elemental es elemental y calcularla si lo es. Sin embargo, las funciones con expresiones cerradas de antiderivadas son la excepción y, en consecuencia, los sistemas de álgebra computarizada no tienen ninguna esperanza de poder encontrar una antiderivada para una función elemental construida aleatoriamente. En el lado positivo, si los 'bloques de construcción' para las antiderivadas se fijan de antemano, aún puede ser posible decidir si la antiderivada de una función dada puede expresarse usando estos bloques y operaciones de multiplicación y composición, y encontrar la simbólica responder siempre que exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica , Maple y otros sistemas de álgebra computacional , hace exactamente eso para funciones y antiderivadas construidas a partir de funciones racionales, radicales , logaritmos y funciones exponenciales.

Algunos integrandos especiales ocurren con suficiente frecuencia como para justificar un estudio especial. En particular, puede ser útil tener, en el conjunto de antiderivadas, las funciones especiales (como las funciones de Legendre , la función hipergeométrica , la función gamma , la función gamma incompleta, etc.). Extender el algoritmo de Risch para incluir tales funciones es posible pero desafiante y ha sido un tema de investigación activo.

Más recientemente ha surgido un nuevo enfoque, que utiliza funciones D -finitas , que son las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinomiales. La mayoría de las funciones elementales y especiales son D -finitas, y la integral de una función D -finita también es una función D -finita. Esto proporciona un algoritmo para expresar la antiderivada de una función D -finita como la solución de una ecuación diferencial. Esta teoría también permite calcular la integral definida de una función D como la suma de una serie dada por los primeros coeficientes, y proporciona un algoritmo para calcular cualquier coeficiente.

Numérico

Métodos de cuadratura numérica: método del rectángulo, regla trapezoidal, método de Romberg, cuadratura gaussiana

Las integrales definidas se pueden aproximar usando varios métodos de integración numérica . El método del rectángulo se basa en dividir la región debajo de la función en una serie de rectángulos correspondientes a los valores de la función y multiplicar por el ancho del paso para encontrar la suma. Un mejor enfoque, la regla trapezoidal , reemplaza los rectángulos usados ​​en una suma de Riemann con trapezoides. La regla trapezoidal pondera el primer y último valor a la mitad, luego multiplica por el ancho del paso para obtener una mejor aproximación. La idea detrás de la regla trapezoidal, que aproximaciones más precisas a la función producen mejores aproximaciones a la integral, puede llevarse más allá: la regla de Simpson aproxima el integrando mediante una función cuadrática por partes.

Las sumas de Riemann, la regla trapezoidal y la regla de Simpson son ejemplos de una familia de reglas de cuadratura llamadas fórmulas de Newton-Cotes . La regla de cuadratura de grado n Newton-Cotes aproxima el polinomio en cada subintervalo por un polinomio de grado n . Este polinomio se elige para interpolar los valores de la función en el intervalo. Las aproximaciones de Newton-Cotes de mayor grado pueden ser más precisas, pero requieren más evaluaciones de funciones y pueden sufrir imprecisiones numéricas debido al fenómeno de Runge . Una solución a este problema es la cuadratura de Clenshaw-Curtis , en la que el integrando se aproxima expandiéndolo en términos de polinomios de Chebyshev .

El método de Romberg divide a la mitad los anchos de paso de forma incremental, dando aproximaciones trapezoidales denotadas por T ( h 0 ) , T ( h 1 ) , y así sucesivamente, donde h k +1 es la mitad de h k . Para cada nuevo tamaño de paso, solo es necesario calcular la mitad de los nuevos valores de función; los demás se trasladan del tamaño anterior. Luego interpola un polinomio a través de las aproximaciones y lo extrapola a T (0) . La cuadratura gaussiana evalúa la función en las raíces de un conjunto de polinomios ortogonales . Un método gaussiano de n puntos es exacto para polinomios de grado hasta 2 n - 1 .

El cálculo de integrales de dimensiones superiores (por ejemplo, cálculos de volumen) hace un uso importante de alternativas como la integración de Monte Carlo .

Mecánico

El área de una forma bidimensional arbitraria se puede determinar utilizando un instrumento de medición llamado planímetro . El volumen de objetos irregulares se puede medir con precisión por el fluido desplazado cuando el objeto se sumerge.

Geométrico

El área a veces se puede encontrar mediante construcciones geométricas de compás y regla no graduada de un cuadrado equivalente .

Ejemplos de

Usando el teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo permite cálculos sencillos de funciones básicas.

Ver también

Notas

Referencias

Bibliografía

enlaces externos

Libros en línea