Volumen - Volume

Volumen
Se puede usar una taza medidora para medir volúmenes de líquidos . Esta taza mide el volumen en unidades de tazas , onzas líquidas y mililitros .
Símbolos comunes	V
Unidad SI	Metro cúbico [m 3 ]
Otras unidades	Litro , onza líquida , galón , cuarto de galón , pinta , cucharadita , dram de líquido , en 3 , yd 3 , barril
En unidades base SI	1  m 3
Dimensión	L 3

El volumen es la cantidad de espacio tridimensional encerrado por una superficie cerrada . Por ejemplo, el espacio que ocupa o contiene una sustancia ( sólida , líquida , gaseosa o plasma ) o forma 3D . El volumen a menudo se cuantifica numéricamente utilizando la unidad derivada del SI , el metro cúbico . Se entiende generalmente que el volumen de un recipiente es la capacidad del recipiente; es decir, la cantidad de fluido (gas o líquido) que podría contener el contenedor, en lugar de la cantidad de espacio que el contenedor mismo desplaza. A las formas matemáticas tridimensionales también se les asignan volúmenes. Los volúmenes de algunas formas simples, como formas regulares, de bordes rectos y circulares, se pueden calcular fácilmente mediante fórmulas aritméticas . Los volúmenes de formas complicadas se pueden calcular con cálculo integral si existe una fórmula para el límite de la forma. A las figuras unidimensionales (como las líneas ) y las formas bidimensionales (como los cuadrados ) se les asigna un volumen cero en el espacio tridimensional.

El volumen de un sólido (ya sea de forma regular o irregular) se puede determinar mediante el desplazamiento de fluido . El desplazamiento de líquido también se puede utilizar para determinar el volumen de un gas. El volumen combinado de dos sustancias suele ser mayor que el volumen de una sola de las sustancias. Sin embargo, a veces una sustancia se disuelve en la otra y, en tales casos, el volumen combinado no es aditivo .

En geometría diferencial , el volumen se expresa mediante la forma del volumen y es un importante invariante de Riemann global . En termodinámica , el volumen es un parámetro fundamental y es una variable conjugada a la presión .

Unidades

Cualquier unidad de longitud da una unidad de volumen correspondiente: el volumen de un cubo cuyos lados tienen la longitud dada. Por ejemplo, un centímetro cúbico (cm ³ ) es el volumen de un cubo cuyos lados tienen un centímetro (1 cm) de longitud.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad estándar de volumen es el metro cúbico (m ³ ). El sistema métrico también incluye el litro (L) como unidad de volumen, donde un litro es el volumen de un cubo de 10 centímetros. Por lo tanto

1 = (10 cm) ³ = 1000 centímetros cúbicos = 0,001 metros cúbicos,

asi que

1 metro cúbico = 1000 litros.

Las pequeñas cantidades de líquido a menudo se miden en mililitros , donde

1 mililitro = 0,001 litros = 1 centímetro cúbico.

Del mismo modo, se pueden medir grandes cantidades en megalitros, donde

1 millón de litros = 1000 metros cúbicos = 1 megalitro.

También se utilizan varias otras unidades tradicionales de volumen, como la pulgada cúbica , el pie cúbico , la yarda cúbica , la milla cúbica , la cucharadita , la cucharada , la onza líquida , el dram líquido , la branquia , la pinta , el cuarto de galón. , el galón , el mínimo , el barril , la cuerda , el picoteo , el celemín , el hogshead , el acre-pie y el pie tabla . Todas estas son unidades de volumen.

Términos relacionados

La capacidad es definida por el Oxford English Dictionary como "la medida aplicada al contenido de un recipiente, y a los líquidos, granos o similares, que toman la forma de lo que los contiene". (La palabra capacidad tiene otros significados no relacionados, como en, por ejemplo , gestión de la capacidad ). La capacidad no es idéntica en significado al volumen, aunque está estrechamente relacionada; la capacidad de un contenedor es siempre el volumen de su interior. Las unidades de capacidad son el litro SI y sus unidades derivadas, y las unidades imperiales como branquias , pinta , galones y otras. Las unidades de volumen son los cubos de unidades de longitud . En el SI, las unidades de volumen y capacidad están estrechamente relacionadas: un litro es exactamente 1 decímetro cúbico, la capacidad de un cubo con un lado de 10 cm. En otros sistemas, la conversión no es trivial; la capacidad del tanque de combustible de un vehículo rara vez se expresa en pies cúbicos, por ejemplo, sino en galones (un galón imperial llena un volumen con 0.1605 pies cúbicos).

La densidad de un objeto se define como la relación entre la masa y el volumen. La inversa de la densidad es el volumen específico que se define como el volumen dividido por la masa. El volumen específico es un concepto importante en termodinámica, donde el volumen de un fluido de trabajo es a menudo un parámetro importante de un sistema en estudio.

El caudal volumétrico en dinámica de fluidos es el volumen de fluido que pasa a través de una superficie determinada por unidad de tiempo (por ejemplo, metros cúbicos por segundo [m ³ s ^-1 ]).

Cálculo

En cálculo , una rama de las matemáticas , el volumen de una región D en R ³ viene dado por una integral triple de la función constante sobre la región y generalmente se escribe como: ${\ Displaystyle f (x, y, z) = 1}$

${\ Displaystyle \ iiint \ límites _ {D} 1 \, dx \, dy \, dz.}$

En coordenadas cilíndricas , la integral de volumen es

${\ Displaystyle \ iiint \ limits _ {D} r \, dr \, d \ theta \, dz,}$

En coordenadas esféricas (usando la convención para ángulos con como acimut y medidos desde el eje polar; ver más sobre convenciones ), la integral de volumen es ${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ iiint \ límites _ {D} \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Fórmulas

Forma	Fórmula de volumen	Variables
Cubo	${\ Displaystyle V = a ^ {3} \;}$
Cuboides	${\ Displaystyle V = abc}$
Prisma ( B : área de la base)	${\ Displaystyle V = Bh}$
Pirámide ( B : área de la base)	${\ Displaystyle V = {\ frac {1} {3}} Bh}$
Paralelepípedo	${\ Displaystyle V = abc {\ sqrt {K}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} K = 1 y + 2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \\ & - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} (\ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma) \ end {alineado}}}$
Tetraedro regular	${\ Displaystyle V = {{\ sqrt {2}} \ over 12} a ^ {3} \,}$
Esfera	${\ Displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$
Elipsoide	${\ Displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi abc}$
Cilindro circular	${\ Displaystyle V = \ pi r ^ {2} h}$
Cono	${\ Displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h}$
Toro sólido	${\ Displaystyle V = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}}$
Sólido de revolución	${\ Displaystyle V = \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} \ mathrm {d} x}$
Cuerpo sólido con área continua ${\ Displaystyle A (x)}$de sus secciones transversales (ejemplo: Steinmetz sólido )	${\ Displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} A (x) \ mathrm {d} x}$	Para el sólido de la revolución de arriba: ${\ Displaystyle A (x) = \ pi f (x) ^ {2}}$

Relaciones para un cono, esfera y cilindro del mismo radio y altura

Las fórmulas anteriores se pueden usar para mostrar que los volúmenes de un cono , una esfera y un cilindro del mismo radio y altura están en la proporción 1: 2: 3 , como sigue.

Sea el radio ry la altura h (que es 2 r para la esfera), entonces el volumen del cono es

${\ Displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (2r \ right) = \ left ( {\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 1,}$

el volumen de la esfera es

${\ Displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 2,}$

mientras que el volumen del cilindro es

${\ Displaystyle \ pi r ^ {2} h = \ pi r ^ {2} (2r) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 3. }$

El descubrimiento de la relación 2: 3 de los volúmenes de la esfera y el cilindro se le atribuye a Arquímedes .

Derivaciones de fórmulas

Esfera

El volumen de una esfera es la integral de un número infinito de discos circulares infinitesimalmente pequeños de espesor dx . El cálculo del volumen de una esfera con centro 0 y radio r es el siguiente.

El área de la superficie del disco circular es . ${\ Displaystyle \ pi r ^ {2}}$

El radio de los discos circulares, definido de manera que el eje x corte perpendicularmente a través de ellos, es

${\ Displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}$

o

${\ Displaystyle z = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}$

donde y o z se puede tomar para representar el radio de un disco en un valor de x particular.

Usando y como el radio del disco, el volumen de la esfera se puede calcular como

${\ Displaystyle \ int _ {- r} ^ {r} \ pi y ^ {2} \, dx = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi \ left (r ^ {2} -x ^ { 2} \ derecha) \, dx.}$

Ahora

${\ Displaystyle \ int _ {- r} ^ {r} \ pi r ^ {2} \, dx- \ int _ {- r} ^ {r} \ pi x ^ {2} \, dx = \ pi \ izquierda (r ^ {3} + r ^ {3} \ right) - {\ frac {\ pi} {3}} \ left (r ^ {3} + r ^ {3} \ right) = 2 \ pi r ^ {3} - {\ frac {2 \ pi r ^ {3}} {3}}.}$

Combinando rendimientos ${\ Displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}$

Esta fórmula se puede derivar más rápidamente usando la fórmula para el área de superficie de la esfera , que es . El volumen de la esfera consta de capas de conchas esféricas infinitesimalmente delgadas, y el volumen de la esfera es igual a ${\ Displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {r} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}$

Cono

El cono es un tipo de forma piramidal. La ecuación fundamental para las pirámides, un tercio de la base por la altitud, también se aplica a los conos.

Sin embargo, usando el cálculo, el volumen de un cono es la integral de un número infinito de discos circulares infinitesimalmente delgados de espesor dx . El cálculo del volumen de un cono de altura h , cuya base está centrada en (0, 0, 0) con radio r , es el siguiente.

El radio de cada disco circular es r si x = 0 y 0 si x = h , y varía linealmente entre ellos, es decir,

${\ Displaystyle r {\ frac {hx} {h}}.}$

El área de la superficie del disco circular es entonces

${\ Displaystyle \ pi \ left (r {\ frac {hx} {h}} \ right) ^ {2} = \ pi r ^ {2} {\ frac {(hx) ^ {2}} {h ^ { 2}}}.}$

El volumen del cono se puede calcular como

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {h} \ pi r ^ {2} {\ frac {(hx) ^ {2}} {h ^ {2}}} dx,}$

y después de la extracción de las constantes

${\ Displaystyle {\ frac {\ pi r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} (hx) ^ {2} dx}$

La integración nos da

${\ Displaystyle {\ frac {\ pi r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ left ({\ frac {h ^ {3}} {3}} \ right) = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.}$

Poliedro

Geometría diferencial

En geometría diferencial , una rama de las matemáticas , una forma de volumen en una variedad diferenciable es una forma diferencial de grado superior (es decir, cuyo grado es igual a la dimensión de la variedad) que en ninguna parte es igual a cero. Un colector tiene forma de volumen si y solo si es orientable. Una variedad orientable tiene infinitas formas de volumen, ya que multiplicar una forma de volumen por una función que no desaparece produce otra forma de volumen. En variedades no orientables, en cambio, se puede definir la noción más débil de densidad . La integración de la forma de volumen da el volumen del colector de acuerdo con esa forma.

Una variedad pseudo-Riemanniana orientada tiene una forma de volumen natural. En coordenadas locales , se puede expresar como

${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {| g |}} \, dx ^ {1} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {n},}$

donde son formas 1 que forman una base orientada positivamente para el paquete cotangente de la variedad, y es el determinante de la representación matricial del tensor métrico en la variedad en términos de la misma base. ${\ displaystyle dx ^ {i}}$${\ Displaystyle g}$

Termodinámica

En termodinámica , el volumen de un sistema es un parámetro extenso importante para describir su estado termodinámico . El volumen específico , una propiedad intensiva , es el volumen del sistema por unidad de masa. El volumen es una función del estado y es interdependiente con otras propiedades termodinámicas como la presión y la temperatura . Por ejemplo, el volumen está relacionado con la presión y la temperatura de un gas ideal por la ley de los gases ideales .

Cálculo

La tarea de calcular numéricamente el volumen de objetos se estudia en el campo de la geometría computacional en informática, investigando algoritmos eficientes para realizar este cálculo, de forma aproximada o exacta , para diversos tipos de objetos. Por ejemplo, la técnica de aproximación de volumen convexo muestra cómo aproximar el volumen de cualquier cuerpo convexo utilizando un oráculo de membresía .

Ver también

Referencias

enlaces externos

• Perímetros, áreas, volúmenes en Wikilibros
• Volumen en Wikilibros