En matemáticas , una serie es la suma de los términos de una secuencia infinita de números. Más precisamente, una secuencia infinita define una serie S que se denota
El n º suma parcial S n es la suma de los primeros n términos de la secuencia; es decir,
Una serie es convergente (o converge ) si la secuencia de sus sumas parciales tiende a un límite ; eso significa que, al sumar uno tras otro en el orden dado por los índices , se obtienen sumas parciales que se acercan cada vez más a un número dado. Más precisamente, una serie converge, si existe un número tal que por cada número positivo arbitrariamente pequeño , haya un entero (suficientemente grande) tal que para todos ,
Si la serie es convergente, el número (necesariamente único) se denomina suma de la serie .
La misma notación
se utiliza para la serie y, si es convergente, para su suma. Esta convención es similar a la que se utiliza para la adición: un + b indica la operación de añadir un y b , así como el resultado de esta adición , que se llama la suma de una y b .
Se dice que cualquier serie que no sea convergente sea divergente o divergente.
Ejemplos de series convergentes y divergentes
- Los recíprocos de los enteros positivos producen una serie divergente ( serie armónica ):
- Alternar los signos de los recíprocos de enteros positivos produce una serie convergente ( serie armónica alterna ):
- Los recíprocos de los números primos producen una serie divergente (por lo que el conjunto de primos es " grande "; vea la divergencia de la suma de los recíprocos de los primos ):
- Los recíprocos de los números triangulares producen una serie convergente:
- Los recíprocos de factoriales producen una serie convergente (ver e ):
- Los recíprocos de los números cuadrados producen una serie convergente (el problema de Basilea ):
- Los recíprocos de potencias de 2 producen una serie convergente (por lo que el conjunto de potencias de 2 es " pequeño "):
- Los recíprocos de potencias de cualquier n> 1 producen una serie convergente:
- Alternar los signos de los recíprocos de potencias de 2 también produce una serie convergente:
- Alternando los signos de los recíprocos de potencias de cualquier n> 1 se produce una serie convergente:
- Los recíprocos de los números de Fibonacci producen una serie convergente (ver ψ ):
Pruebas de convergencia
Hay varios métodos para determinar si una serie converge o diverge .
Prueba de comparación . Los términos de la secuenciase comparan con los de otra secuencia. Si,
para todos n , y converge, entonces también lo hace
Sin embargo, si,
para todos n , y diverge, entonces también lo hace
Prueba de relación . Suponga que para todo n ,no es cero. Supongamos que existetal que
Si r <1, entonces la serie es absolutamente convergente. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de razón no es concluyente y la serie puede converger o divergir.
Prueba de raíz o n º prueba de raíz . Suponga que los términos de la secuencia en cuestión no son negativos . Defina r de la siguiente manera:
- donde "lim sup" denota el límite superior (posiblemente ∞; si el límite existe es el mismo valor).
Si r <1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.
La prueba de razón y la prueba de raíz se basan en la comparación con una serie geométrica y, como tales, funcionan en situaciones similares. De hecho, si la prueba de razón funciona (lo que significa que el límite existe y no es igual a 1), también lo hace la prueba de raíz; lo contrario, sin embargo, no es cierto. Por lo tanto, la prueba de la raíz es de aplicación más general, pero en la práctica, el límite es a menudo difícil de calcular para los tipos de series más comunes.
Prueba integral . La serie se puede comparar con una integral para establecer convergencia o divergencia. Seauna función positiva y monótonamente decreciente . Si
entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, la serie también lo hace.
Prueba de comparación de límites . Si, y el límiteexiste y no es cero, entoncesconverge si y solo si converge.
Prueba de series alternas . También conocido como el criterio de Leibniz , la prueba de series alternas establece que para una serie alterna de la forma, sies monótonamente decreciente y tiene un límite de 0 en el infinito, entonces la serie converge.
Prueba de condensación de Cauchy . Sies una secuencia decreciente monótona positiva, entonces
converge si y solo siconverge.
Prueba de Dirichlet
Prueba de Abel
Convergencia absoluta y condicional
Para cualquier secuencia , para todo n . Por lo tanto,
Esto significa que si converge, también converge (pero no al revés).
Si la serie converge, entonces la serie es absolutamente convergente . La serie de Maclaurin de la función exponencial es absolutamente convergente para cada valor complejo de la variable.
Si la serie converge pero la serie diverge, entonces la serie es condicionalmente convergente . La serie de Maclaurin de la función logarítmica es condicionalmente convergente para x = 1 .
El teorema de la serie de Riemann establece que si una serie converge condicionalmente, es posible reordenar los términos de la serie de tal manera que la serie converja a cualquier valor, o incluso diverja.
Convergencia uniforme
Sea una secuencia de funciones. Se dice que la serie converge uniformemente af
si la secuencia de sumas parciales definida por
converge uniformemente a f .
Existe un análogo de la prueba de comparación para series infinitas de funciones llamado prueba M de Weierstrass .
Criterio de convergencia de Cauchy
El criterio de convergencia de Cauchy establece que una serie
converge si y solo si la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy . Esto significa que para cada hay un entero positivo tal que para todos tenemos
que es equivalente a
Ver también
enlaces externos