Biyección - Bijection

Una función biyectiva, f : XY , donde el conjunto X es {1, 2, 3, 4} y el conjunto Y es {A, B, C, D}. Por ejemplo, f (1) = D.

En matemáticas , una biyección , función biyectiva , correspondencia uno a uno o función invertible , es una función entre los elementos de dos conjuntos , donde cada elemento de un conjunto se empareja exactamente con un elemento del otro conjunto, y cada elemento del otro conjunto está emparejado con exactamente un elemento del primer conjunto. No hay elementos no emparejados. En términos matemáticos, una función biyectiva f : XY es un uno-a-uno (inyectiva) y (sobreyectiva) en correspondencia de un conjunto X a un conjunto Y . El término correspondencia uno a uno no debe confundirse con función uno a uno (una función inyectiva ; véanse las figuras).

Una biyección del conjunto X al conjunto Y tiene una función inversa de Y a X . Si X e Y son conjuntos finitos , entonces la existencia de una biyección significa que tienen el mismo número de elementos. Para conjuntos infinitos , la imagen es más complicada, lo que lleva al concepto de número cardinal, una forma de distinguir los distintos tamaños de conjuntos infinitos.

Una función biyectiva de un conjunto a sí misma también se denomina permutación , y el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto forma el grupo simétrico .

Las funciones biyectivas son esenciales para muchas áreas de las matemáticas, incluidas las definiciones de isomorfismo , homeomorfismo , difeomorfismo , grupo de permutación y mapa proyectivo .

Definición

Para que un emparejamiento entre X e Y (donde Y no tenga que ser diferente de X ) sea una biyección, deben cumplirse cuatro propiedades:

  1. cada elemento de X debe estar emparejado con al menos un elemento de Y ,
  2. ningún elemento de X puede emparejarse con más de un elemento de Y ,
  3. cada elemento de Y debe estar emparejado con al menos un elemento de X , y
  4. ningún elemento de Y puede estar emparejado con más de un elemento de X .

Propiedades que satisfacen (1) y (2) significa que un emparejamiento es una función con dominio X . Es más común ver propiedades (1) y (2) escritas como una sola declaración: Cada elemento de X está emparejado con exactamente un elemento de Y . Las funciones que satisfacen la propiedad (3) se dice que están " sobre Y " y se denominan sobreyecciones (o funciones sobreyectivas ). Las funciones que satisfacen la propiedad (4) se denominan " funciones uno a uno " y se denominan inyecciones (o funciones inyectivas ). Con esta terminología, una biyección es una función que es tanto una sobreyección como una inyección, o usando otras palabras, una biyección es una función que es tanto "uno a uno" como "sobre".

Biyecciones a veces se denotan por una hacia la derecha de dos cabezas flecha con la cola ( U + 2916 hacia la derecha de dos cabezas de la flecha con COLA ), como en f  : XY . Este símbolo es una combinación de los hacia la derecha de dos cabezas de flecha ( U + 21A0 hacia la derecha dos cabezas de flecha ), a veces se utilizan para surjections denotan, y las hacia la derecha flecha con una cola de púas ( U + 21A3 hacia la derecha de la flecha con COLA ), a veces se utiliza para denotar inyecciones.

Ejemplos de

Formación de bateo de un equipo de béisbol o cricket

Considere la alineación de bateo de un equipo de béisbol o cricket (o cualquier lista de todos los jugadores de cualquier equipo deportivo donde cada jugador tiene un lugar específico en una alineación). El conjunto X serán los jugadores del equipo (de tamaño nueve en el caso de béisbol) y el conjunto Y serán las posiciones en el orden de bateo (1º, 2º, 3º, etc.). jugador está en qué posición en este orden. La propiedad (1) se satisface ya que cada jugador está en algún lugar de la lista. La propiedad (2) se cumple ya que ningún jugador batea en dos (o más) posiciones en el orden. La propiedad (3) dice que para cada posición en el orden, hay algún jugador que batea en esa posición y la propiedad (4) establece que dos o más jugadores nunca están bateando en la misma posición en la lista.

Asientos y alumnos de un aula

En un aula hay un cierto número de asientos. Un grupo de estudiantes entra en la sala y el instructor les pide que se sienten. Luego de una rápida mirada alrededor de la sala, el instructor declara que existe una biyección entre el conjunto de estudiantes y el conjunto de asientos, donde cada estudiante se empareja con el asiento en el que está sentado. Lo que el instructor observó para llegar a esta conclusión era que:

  1. Cada estudiante estaba en un asiento (no había nadie parado),
  2. Ningún alumno ocupaba más de un asiento,
  3. En cada asiento había alguien sentado allí (no había asientos vacíos), y
  4. Ningún asiento tenía más de un estudiante.

El instructor pudo concluir que había tantos asientos como estudiantes, sin tener que contar ninguno de los conjuntos.

Más ejemplos matemáticos y algunos no ejemplos

  • Para cualquier conjunto X , la función identidad 1 X : XX , 1 X ( x ) = x es biyectiva.
  • La función f : RR , f ( x ) = 2 x + 1 es biyectiva, ya que para cada y hay un x = ( y - 1) / 2 único tal que f ( x ) = y . De manera más general, cualquier función lineal sobre los reales, f : RR , f ( x ) = ax + b (donde a no es cero) es una biyección. Cada número real y se obtiene (o se empareja con) el número real x = ( y - b ) / a .
  • La función f : R → (−π / 2, π / 2), dada por f ( x ) = arctan ( x ) es biyectiva, ya que cada número real x está emparejado con exactamente un ángulo y en el intervalo (−π / 2, π / 2) de modo que tan ( y ) = x (es decir, y = arctan ( x )). Si el codominio (−π / 2, π / 2) se hizo más grande para incluir un múltiplo entero de π / 2, entonces esta función ya no estaría en (sobreyectiva), ya que no hay un número real que pueda emparejarse con el múltiplo de π / 2 por esta función arctan.
  • La función exponencial , g : RR , g ( x ) = e x , no es biyectiva: por ejemplo, no hay x en R tal que g ( x ) = −1, mostrando que g no está sobre (sobreyectiva) . Sin embargo, si el codominio está restringido a los números reales positivos , entonces g sería biyectiva; su inversa (ver más abajo) es la función logaritmo natural ln.
  • La función h : RR + , h ( x ) = x 2 no es biyectiva: por ejemplo, h (−1) = h (1) = 1, mostrando que h no es uno a uno (inyectivo). Sin embargo, si el dominio está restringido a , h sería biyectivo; su inversa es la función raíz cuadrada positiva.
  • Por Cantor-Bernstein-Schroder teorema , dados dos conjuntos de X y de Y , y dos funciones inyectivos f : X → Y y g : Y → X , existe una función biyectiva h : X → Y .

Inversos

Una biyección f con dominio X (indicado por f : X → Y en notación funcional ) también define una relación inversa que comienza en Y y va a X (girando las flechas). El proceso de "girando las flechas alrededor de" para una función arbitraria no, en general , rendimiento una función, pero las propiedades (3) y (4) de un ejemplo biyección que esta relación inversa es una función con el dominio de Y . Además, las propiedades (1) y (2) dicen que esta función inversa es una sobreyección y una inyección, es decir, la función inversa existe y también es una biyección. Se dice que las funciones que tienen funciones inversas son invertibles . Una función es invertible si y solo si es una biyección.

Expresada en notación matemática concisa, una función f : X → Y es biyectiva si y solo si satisface la condición

para cada y en Y hay una x única en X con y = f ( x ).

Continuando con el ejemplo de la formación de bateo de béisbol, la función que se está definiendo toma como entrada el nombre de uno de los jugadores y da como resultado la posición de ese jugador en el orden de bateo. Dado que esta función es una biyección, tiene una función inversa que toma como entrada una posición en el orden de bateo y da salida al jugador que batea en esa posición.

Composición

La composición de dos biyecciones f : X → Y y g : Y → Z es una biyección, cuya inversa está dada por es .

Una biyección compuesta por una inyección (izquierda) y una sobreyección (derecha).

Por el contrario, si la composición de dos funciones es biyectiva, solo se sigue que f es inyectiva y g es sobreyectiva .

Cardinalidad

Si X e Y son conjuntos finitos , entonces existe una biyección entre los dos conjuntos X e Y si y solo si X e Y tienen el mismo número de elementos. De hecho, en la teoría axiomática de conjuntos , esto se toma como la definición de "mismo número de elementos" ( equinumerosidad ), y generalizar esta definición a conjuntos infinitos conduce al concepto de número cardinal , una forma de distinguir los diversos tamaños de conjuntos infinitos.

Propiedades

  • Una función f : RR es biyectiva si y solo si su gráfica se encuentra con cada línea horizontal y vertical exactamente una vez.
  • Si X es un conjunto, entonces las funciones biyectivas de X a sí mismo, junto con la operación de composición funcional (∘), forman un grupo , el grupo simétrico de X , que se denota de diversas formas por S ( X ), S X o X ! ( Factorial X ).
  • Las biyecciones conservan cardinalidades de conjuntos: para un subconjunto A del dominio con cardinalidad | A | y subconjunto B del codominio con cardinalidad | B |, uno tiene las siguientes igualdades:
    | f ( A ) | = | A | y | f −1 ( B ) | = | B |.
  • Si X e Y son conjuntos finitos con la misma cardinalidad, y f : X → Y , entonces los siguientes son equivalentes:
    1. f es una biyección.
    2. f es una sobreyección .
    3. f es una inyección .
  • Para un conjunto finito S , hay una biyección entre el conjunto de posibles ordenamientos totales de los elementos y el conjunto de biyecciones de S a S . Es decir, el número de permutaciones de elementos de S es el mismo que el número de ordenaciones totales de ese conjunto, es decir, n !.

Teoría de categorías

Las biyecciones son precisamente los isomorfismos de la categoría Conjunto de conjuntos y funciones de conjunto. Sin embargo, las biyecciones no siempre son los isomorfismos para categorías más complejas. Por ejemplo, en la categoría Grp de grupos , los morfismos deben ser homomorfismos ya que deben preservar la estructura del grupo, por lo que los isomorfismos son isomorfismos de grupo que son homomorfismos biyectivos.

Generalización a funciones parciales

La noción de correspondencia uno a uno se generaliza a funciones parciales , donde se denominan biyecciones parciales , aunque solo se requiere que las biyecciones parciales sean inyectivas. La razón de esta relajación es que una función parcial (propia) ya no está definida para una parte de su dominio; por tanto, no hay ninguna razón de peso para restringir su inverso a ser una función total , es decir, definida en todas partes en su dominio. El conjunto de todas las biyecciones parciales en un conjunto base dado se denomina semigrupo inverso simétrico .

Otra forma de definir la misma noción es decir que una biyección parcial de A a B es cualquier relación R (que resulta ser una función parcial) con la propiedad de que R es la gráfica de una biyección f : A ′B ′ , en donde a ' es un subconjunto de a y B' es un subconjunto de B .

Cuando la biyección parcial está en el mismo conjunto, a veces se denomina transformación parcial uno a uno . Un ejemplo es la transformación de Möbius simplemente definida en el plano complejo, en lugar de su finalización en el plano complejo extendido.

Ver también

Notas

Referencias

Este tema es un concepto básico en la teoría de conjuntos y se puede encontrar en cualquier texto que incluya una introducción a la teoría de conjuntos. Casi todos los textos que tratan de una introducción a la escritura de pruebas incluirán una sección sobre teoría de conjuntos, por lo que el tema se puede encontrar en cualquiera de estos:

  • Wolf (1998). Prueba, lógica y conjetura: la caja de herramientas de un matemático . Hombre libre.
  • Sundstrom (2003). Razonamiento matemático: escritura y prueba . Prentice Hall.
  • Herrero; Eggen; San Andrés (2006). Una transición a las matemáticas avanzadas (6ª ed.) . Thomson (Brooks / Cole).
  • Schumacher (1996). Capítulo cero: Nociones fundamentales de la matemática abstracta . Addison-Wesley.
  • O'Leary (2003). La estructura de la prueba: con lógica y teoría de conjuntos . Prentice Hall.
  • Morash. Puente a las matemáticas abstractas . Casa al azar.
  • Maddox (2002). Pensamiento y escritura matemática . Harcourt / Academic Press.
  • Lay (2001). Análisis con introducción a la prueba . Prentice Hall.
  • Gilbert; Vanstone (2005). Introducción al pensamiento matemático . Pearson Prentice-Hall.
  • Fletcher; Empanada. Fundamentos de las matemáticas superiores . PWS-Kent.
  • Iglewicz; Stoyle. Introducción al razonamiento matemático . MacMillan.
  • Devlin, Keith (2004). Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas . Chapman & Hall / CRC Press.
  • D'Angelo; Oeste (2000). Pensamiento matemático: resolución de problemas y pruebas . Prentice Hall.
  • Cupillari . Las tuercas y tornillos de las pruebas . Wadsworth.
  • Vínculo. Introducción a las matemáticas abstractas . Brooks / Cole.
  • Barnier; Feldman (2000). Introducción a las matemáticas avanzadas . Prentice Hall.
  • Ceniza. Una cartilla de matemáticas abstractas . MAA.

enlaces externos