Subgrupo máximo - Maximal subgroup
En matemáticas , el término subgrupo máximo se usa para significar cosas ligeramente diferentes en diferentes áreas del álgebra .
En la teoría de grupos , un subgrupo máximo H de un grupo G es un subgrupo adecuado , de modo que ningún subgrupo K adecuado contiene H estrictamente. En otras palabras, H es un elemento maximal del conjunto parcialmente ordenado de subgrupos de G que no son iguales a G . Subgrupos máximos son de interés debido a su conexión directa con las representaciones de permutación primitivas de G . También se han estudiado mucho a los efectos de la teoría de grupos finitos : véase, por ejemplo , el subgrupo de Frattini , la intersección de los subgrupos máximos.
En teoría semigrupo , un subgrupo maximal de un semigrupo S es un subgrupo (esto es, un subsemigroup que forma un grupo bajo la operación semigrupo) de S que no está contenida adecuadamente en otro subgrupo de S . Observe que, aquí, no hay ningún requisito de que un subgrupo máximo sea adecuado, por lo que si S es de hecho un grupo, entonces su subgrupo máximo único (como un semigrupo) es el propio S. La consideración de subgrupos, y en particular subgrupos máximos, de semigrupos, a menudo permite aplicar técnicas de teoría de grupos en la teoría de semigrupos. Existe una correspondencia uno a uno entre los elementos idempotentes de un semigrupo y los subgrupos máximos del semigrupo: cada elemento idempotente es el elemento de identidad de un subgrupo máximo único.
Existencia de subgrupo máximo
Cualquier subgrupo apropiado de un grupo finito está contenido en algún subgrupo máximo, ya que los subgrupos apropiados forman un conjunto finito parcialmente ordenado bajo inclusión. Sin embargo, hay infinitos grupos abelianos que no contienen subgrupos máximos, por ejemplo, el grupo Prüfer .
Subgrupo normal máximo
De manera similar, se dice que un subgrupo normal N de G es un subgrupo normal máximo (o subgrupo normal propio máximo) de G si N < G y no hay un subgrupo normal K de G tal que N < K < G . Tenemos el siguiente teorema:
- Teorema : Un subgrupo normal N de un grupo G es un subgrupo normal máximo si y solo si el cociente G / N es simple .
Diagramas de Hasse
Estos diagramas de Hasse muestran las celosías de los subgrupos de S 4 , Dih 4 y Z 2 3 .
Los subgrupos máximos están vinculados al grupo en sí (en la parte superior del diagrama de Hasse) por un borde del diagrama de Hasse.
Grupo simétrico S 4 Los
subgrupos máximos son A 4 , tres Dih 4 y cuatro S 3 (Compare: Subgrupos de S 4 ) |
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