Homomorfismo - Homomorphism

En álgebra , un homomorfismo es un mapa que conserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (como dos grupos , dos anillos o dos espacios vectoriales ). La palabra homomorfismo proviene del idioma griego antiguo : ὁμός ( homos ) que significa "igual" y μορφή ( morphe ) que significa "forma" o "forma". Sin embargo, la palabra aparentemente se introdujo en las matemáticas debido a una (mala) traducción del alemán ähnlich que significa "similar" a ὁμός que significa "igual". El término "homomorfismo" apareció ya en 1892, cuando se atribuyó al matemático alemán Felix Klein (1849-1925).

Los homomorfismos de espacios vectoriales también se denominan mapas lineales y su estudio es objeto del álgebra lineal .

El concepto de homomorfismo se ha generalizado, bajo el nombre de morfismo , a muchas otras estructuras que no tienen un conjunto subyacente o no son algebraicas. Esta generalización es el punto de partida de la teoría de categorías .

Un homomorfismo también puede ser un isomorfismo , un endomorfismo , un automorfismo , etc. (ver más abajo). Cada uno de ellos puede definirse de una manera que puede generalizarse a cualquier clase de morfismos.

Definición

Un homomorfismo es un mapa entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (es decir, del mismo nombre), que conserva las operaciones de las estructuras. Esto significa un mapa entre dos conjuntos , equipado con la misma estructura de tal manera que, si es una operación de la estructura (se supone que aquí, para simplificar, es una operación binaria ), entonces

para cada par , de elementos de . Se dice a menudo que conserva la operación o es compatible con la operación.

Formalmente, un mapa conserva una operación de aridad k , definida en ambos y si

para todos los elementos en .

Las operaciones que deben ser preservadas por un homomorfismo incluyen operaciones arias 0 , es decir, las constantes. En particular, cuando el tipo de estructura requiere un elemento de identidad , el elemento de identidad de la primera estructura debe mapearse con el elemento de identidad correspondiente de la segunda estructura.

Por ejemplo:

Una estructura algebraica puede tener más de una operación y se requiere un homomorfismo para preservar cada operación. Por lo tanto, un mapa que conserva solo algunas de las operaciones no es un homomorfismo de la estructura, sino solo un homomorfismo de la subestructura obtenido al considerar solo las operaciones conservadas. Por ejemplo, un mapa entre monoides que conserva la operación monoide y no el elemento de identidad, no es un homomorfismo monoide, sino solo un homomorfismo de semigrupo.

No es necesario que la notación de las operaciones sea la misma en el origen y el destino de un homomorfismo. Por ejemplo, los números reales forman un grupo para sumar y los números reales positivos forman un grupo para multiplicar. La función exponencial

satisface

y es, por tanto, un homomorfismo entre estos dos grupos. Es incluso un isomorfismo (ver más abajo), ya que su función inversa , el logaritmo natural , satisface

y también es un homomorfismo de grupo.

Ejemplos de

Monoid homomorfismo de la monoide ( N , +, 0) a la monoide ( N , ×, 1) , definido por . Es inyectivo , pero no sobreyectivo .

Los números reales son un anillo , que tiene tanto sumas como multiplicaciones. El conjunto de todas las matrices 2 × 2 también es un anillo, bajo suma de matrices y multiplicación de matrices . Si definimos una función entre estos anillos de la siguiente manera:

donde r es un número real, entonces f es un homomorfismo de anillos, ya que f conserva ambas sumas:

y multiplicación:

Para otro ejemplo, los números complejos distintos de cero forman un grupo bajo la operación de multiplicación, al igual que los números reales distintos de cero. (El cero debe excluirse de ambos grupos, ya que no tiene un inverso multiplicativo , que se requiere para los elementos de un grupo.) Defina una función de los números complejos distintos de cero a los números reales distintos de cero mediante

Es decir, es el valor absoluto (o módulo) del número complejo . Entonces es un homomorfismo de grupos, ya que conserva la multiplicación:

Tenga en cuenta que f no puede extenderse a un homomorfismo de anillos (desde los números complejos hasta los números reales), ya que no conserva la suma:

Como otro ejemplo, el diagrama muestra un homomorfismo monoide del monoide al monoide . Debido a los diferentes nombres de las operaciones correspondientes, las propiedades de conservación de la estructura satisfechas por ascienden a y .

Un álgebra composición sobre un campo tiene una forma cuadrática , llamada una norma , que es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de al grupo multiplicativo de .

Homomorfismos especiales

Varios tipos de homomorfismos tienen un nombre específico, que también se define para morfismos generales .

Isomorfismo

Un isomorfismo entre estructuras algebraicas del mismo tipo se define comúnmente como un homomorfismo biyectivo .

En el contexto más general de la teoría de categorías , un isomorfismo se define como un morfismo que tiene una inversa que también es un morfismo. En el caso específico de las estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes, aunque pueden diferir para las estructuras no algebraicas, que tienen un conjunto subyacente.

Más precisamente, si

es un (homo) morfismo, tiene inversa si existe un homomorfismo

tal que

Si y tiene conjuntos subyacentes y tiene una inversa , entonces es biyectiva. De hecho, es inyectivo , como implica , y es sobreyectivo , como, para cualquier en , uno tiene , y es la imagen de un elemento de .

Por el contrario, si es un homomorfismo biyectivo entre estructuras algebraicas, sea ​​el mapa tal que es el elemento único de tal que . Uno tiene y solo queda mostrar que g es un homomorfismo. Si es una operación binaria de la estructura, para cada par , de elementos de , uno tiene

y por tanto es compatible con Como la demostración es similar para cualquier aridad , esto muestra que es un homomorfismo.

Esta prueba no funciona para estructuras no algebraicas. Por ejemplo, para los espacios topológicos , un morfismo es un mapa continuo y el inverso de un mapa continuo biyectivo no es necesariamente continuo. Un isomorfismo de espacios topológicos, llamado homeomorfismo o mapa bicontinuo , es así un mapa continuo biyectivo, cuya inversa también es continua.

Endomorfismo

Un endomorfismo es un homomorfismo cuyo dominio es igual al codominio o, más generalmente, un morfismo cuya fuente es igual al objetivo.

Los endomorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un monoide bajo composición.

Los endomorfismos de un espacio vectorial o de un módulo forman un anillo . En el caso de un espacio vectorial o un módulo libre de dimensión finita , la elección de una base induce un isomorfismo de anillo entre el anillo de endomorfismos y el anillo de matrices cuadradas de la misma dimensión.

Automorfismo

Un automorfismo es un endomorfismo que también es un isomorfismo.

Los automorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un grupo bajo composición, que se denomina grupo de automorfismos de la estructura.

Muchos grupos que han recibido un nombre son grupos de automorfismos de alguna estructura algebraica. Por ejemplo, el grupo lineal general es el grupo de automorfismos de un espacio vectorial de dimensión sobre un campo .

Los grupos de campos de automorfismo fueron introducidos por Évariste Galois para estudiar las raíces de polinomios , y son la base de la teoría de Galois .

Monomorfismo

Para las estructuras algebraicas, los monomorfismos se definen comúnmente como homomorfismos inyectivos .

En el contexto más general de la teoría de categorías , un monomorfismo se define como un morfismo que se deja cancelable . Esto significa que un (homo) morfismo es un monomorfismo si, para cualquier par , de morfismos de cualquier otro objeto a , entonces implica .

Estas dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para todas las estructuras algebraicas comunes. Más precisamente, son equivalentes para campos , para los que todo homomorfismo es un monomorfismo, y para variedades de álgebra universal , es decir, estructuras algebraicas para las que se definen operaciones y axiomas (identidades) sin ninguna restricción (los campos no son una variedad, ya que el El inverso multiplicativo se define como una operación unaria o como una propiedad de la multiplicación, que en ambos casos se definen solo para elementos distintos de cero).

En particular, las dos definiciones de un monomorfismo son equivalentes para conjuntos , magmas , semigrupos , monoides , grupos , anillos , campos , espacios vectoriales y módulos .

Un monomorfismo dividido es un homomorfismo que tiene una inversa de izquierda y, por lo tanto, es en sí misma una inversa de derecha de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo es un monomorfismo dividido si existe un homomorfismo tal que un monomorfismo dividido es siempre un monomorfismo, para ambos significados de monomorfismo . Para conjuntos y espacios vectoriales, cada monomorfismo es un monomorfismo dividido, pero esta propiedad no es válida para las estructuras algebraicas más comunes.

Prueba de la equivalencia de las dos definiciones de monomorfismos

Un homomorfismo inyectivo se deja cancelable : si uno tiene for every in , la fuente común de y . Si es inyectivo, entonces , y así . Esta demostración funciona no solo para estructuras algebraicas, sino también para cualquier categoría cuyos objetos son conjuntos y las flechas son mapas entre estos conjuntos. Por ejemplo, un mapa continuo inyectivo es un monomorfismo en la categoría de espacios topológicos .

Para demostrar que, a la inversa, un homomorfismo cancelable a la izquierda es inyectivo, es útil considerar un objeto libre en . Dada una variedad de estructuras algebraicas un objeto libre en es un par que consiste en una estructura algebraica de esta variedad y un elemento de que satisface la siguiente propiedad universal : para cada estructura de la variedad, y cada elemento de , hay un homomorfismo único de tal manera que . Por ejemplo, para conjuntos, el objeto libre on es simplemente ; para semigrupos , el objeto libre en es el que, como un semigrupo, es isomorfo al semigrupo aditivo de los enteros positivos; para los monoides , el objeto libre en es el que, como monoide, es isomorfo al monoide aditivo de los enteros no negativos; para los grupos , el objeto libre en es el grupo cíclico infinito que, como grupo, es isomorfo al grupo aditivo de los números enteros; para anillos , el objeto libre on } es el anillo polinomial para espacios vectoriales o módulos , el objeto libre on es el espacio vectorial o módulo libre que tiene como base.

Si existe un objeto libre over , entonces todo homomorfismo cancelable a la izquierda es inyectivo : sea ​​un homomorfismo cancelable a la izquierda y sean dos elementos de tal . Por definición del objeto libre , existen homomorfismos y de a tal que y . Como se tiene por la unicidad en la definición de propiedad universal. Como queda cancelable, uno tiene , y así . Por tanto, es inyectivo.

Existencia de un objeto libre para una variedad (ver también Objeto libre § Existencia ): Para construir un objeto libre , considere el conjunto de fórmulas bien formadas construidas a partir de y las operaciones de la estructura. Dos de tales fórmulas se dicen equivalentes si se puede pasar de una a otra aplicando los axiomas ( identidades de la estructura). Esto define una relación de equivalencia , si las identidades no están sujetas a condiciones, es decir, si se trabaja con una variedad. Entonces las operaciones de la variedad están bien definidas en el conjunto de clases de equivalencia de para esta relación. Es sencillo mostrar que el objeto resultante es un objeto libre en .

Epimorfismo

En álgebra , los epimorfismos a menudo se definen como homomorfismos sobreyectivos . Por otro lado, en la teoría de categorías , los epimorfismos se definen como morfismos cancelables a la derecha . Esto significa que un (homo) morfismo es un epimorfismo si, para cualquier par , de morfismos de a cualquier otro objeto , la igualdad implica .

Un homomorfismo sobreyectivo siempre se puede cancelar por la derecha, pero lo contrario no siempre es cierto para las estructuras algebraicas. Sin embargo, las dos definiciones de epimorfismo son equivalentes para conjuntos , espacios vectoriales , grupos abelianos , módulos (ver más abajo para una prueba) y grupos . La importancia de estas estructuras en todas las matemáticas, y especialmente en el álgebra lineal y el álgebra homológica , puede explicar la coexistencia de dos definiciones no equivalentes.

Las estructuras algebraicas para las que existen epimorfismos no sobreyectivos incluyen semigrupos y anillos . El ejemplo más básico es la inclusión de números enteros en números racionales , que es un homomorfismo de anillos y de semigrupos multiplicativos. Para ambas estructuras es un monomorfismo y un epimorfismo no sobreyectivo, pero no un isomorfismo.

Una amplia generalización de este ejemplo es la localización de un anillo por un conjunto multiplicativo. Toda localización es un epimorfismo en anillo, que no es, en general, sobreyectivo. Como las localizaciones son fundamentales en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica , esto puede explicar por qué en estas áreas, generalmente se prefiere la definición de epimorfismos como homomorfismos cancelables a la derecha.

Un epimorfismo dividido es un homomorfismo que tiene una inversa derecha y, por lo tanto, es en sí misma una inversa izquierda de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo es un epimorfismo dividido si existe un homomorfismo tal que un epimorfismo dividido es siempre un epimorfismo, para ambos significados de epimorfismo . Para conjuntos y espacios vectoriales, cada epimorfismo es un epimorfismo dividido, pero esta propiedad no es válida para las estructuras algebraicas más comunes.

En resumen, uno tiene

la última implicación es una equivalencia para conjuntos, espacios vectoriales, módulos y grupos abelianos; la primera implicación es una equivalencia para conjuntos y espacios vectoriales.

Equivalencia de las dos definiciones de epimorfismo

Sea un homomorfismo. Queremos demostrar que si no es sobreyectiva, no es derecho cancelable.

En el caso de conjuntos, sea ​​un elemento de que no pertenece a , y defina tal que es la función de identidad , y que para todos excepto que es cualquier otro elemento de . Es evidente que no está bien puede cancelar, como y

En el caso de espacios vectoriales, grupos abelianos y módulos, la prueba se basa en la existencia de cokernels y en el hecho de que los mapas cero son homomorfismos: sea ​​el cokernel de , y sea ​​el mapa canónico, tal que . Sea el mapa cero. Si no es sobreyectiva, y por lo tanto (uno es un mapa cero, mientras que el otro no lo es). Por lo tanto, no es cancelable, ya que (ambos son el mapa cero desde hasta ).

Núcleo

Cualquier homomorfismo define una relación de equivalencia en por si y solo si . La relación se llama núcleo de . Es una relación de congruencia en . A continuación, se puede dar al conjunto de cocientes una estructura del mismo tipo que , de forma natural, definiendo las operaciones del conjunto de cocientes por , para cada operación de . En ese caso, la imagen de en bajo el homomorfismo es necesariamente isomorfa a ; este hecho es uno de los teoremas del isomorfismo .

Cuando la estructura algebraica es un grupo para alguna operación, la clase de equivalencia del elemento identidad de esta operación es suficiente para caracterizar la relación de equivalencia. En este caso, el cociente por la relación de equivalencia se denota por (normalmente se lee como " mod "). También en este caso, es , en lugar de , lo que se llama núcleo de . Los núcleos de homomorfismos de un tipo dado de estructura algebraica están naturalmente equipados con alguna estructura. Este tipo de estructura de los núcleos es el mismo que la estructura considerada, en el caso de grupos abelianos , espacios vectoriales y módulos , pero es diferente y ha recibido un nombre específico en otros casos, como subgrupo normal para núcleos de homomorfismos e ideales de grupo. para núcleos de homomorfismos de anillo (en el caso de anillos no conmutativos, los núcleos son los ideales de dos caras ).

Estructuras relacionales

En la teoría de modelos , la noción de estructura algebraica se generaliza a estructuras que involucran tanto operaciones como relaciones. Sea L una firma que consta de símbolos de función y relación, y A , B sean dos L- estructuras. Entonces, un homomorfismo de A a B es un mapeo h del dominio de A al dominio de B tal que

  • h ( F A ( a 1 ,…, a n )) = F B ( h ( a 1 ),…, h ( a n )) para cada símbolo de función n -aria F en L ,
  • R A ( un 1 , ..., un n ) implica R B ( h ( un 1 ), ..., h ( un n )) para cada n ary símbolo de relación R en L .

En el caso especial con una sola relación binaria, obtenemos la noción de homomorfismo de grafo . Para una discusión detallada de los homomorfismos e isomorfismos relacionales, ver.

Teoría del lenguaje formal

Los homomorfismos también se utilizan en el estudio de lenguajes formales y, a menudo, se denominan brevemente morfismos. Dados los alfabetos Σ 1 y Σ 2 , una función h  : Σ 1 → Σ 2 tal que h ( uv ) = h ( u ) h ( v ) para todo u y v en Σ 1 se llama homomorfismo en Σ 1 . Si h es un homomorfismo en Σ 1 y ε denota la cadena vacía, entonces h se denomina homomorfismo libre de ε cuando h ( x ) ≠ ε para todo xε en Σ 1 .

El conjunto Σ de palabras formadas a partir del alfabeto Σ puede considerarse como el monoide libre generado por Σ. Aquí la operación monoide es la concatenación y el elemento de identidad es la palabra vacía. Desde esta perspectiva, un homormorfismo de lenguaje es precisamente un homomorfismo monoide.

Ver también

Notas

Citas

Referencias