elemento inverso -Inverse element

En matemáticas , el concepto de elemento inverso generaliza los conceptos de opuesto ( −x ) y recíproco ( 1/ x ) de los números.

Dada una operación denotada aquí , y un elemento de identidad denotado e , si xy = e , se dice que x es un inverso por la izquierda de y , y que y es un inverso por la derecha de x . (Un elemento de identidad es un elemento tal que x * e = x y e * y = y para todos los x e y para los que están definidos los lados izquierdos).

Cuando la operación es asociativa , si un elemento x tiene un inverso por la izquierda y un inverso por la derecha, entonces estos dos inversos son iguales y únicos; se les llama el elemento inverso o simplemente el inverso . A menudo, se agrega un adjetivo para especificar la operación, como inverso aditivo , inverso multiplicativo e inverso funcional . En este caso (operación asociativa), un elemento invertible es un elemento que tiene una inversa.

Los inversos se usan comúnmente en grupos, donde todos los elementos son invertibles, y anillos , donde los elementos invertibles también se denominan unidades . También se usan comúnmente para operaciones que no están definidas para todos los operandos posibles, como matrices inversas y funciones inversas . Esto se ha generalizado a la teoría de categorías , donde, por definición, un isomorfismo es un morfismo invertible .

La palabra 'inverso' se deriva del latín : inversus que significa 'al revés', 'volcado'. Esto puede tener su origen en el caso de las fracciones , donde el inverso (multiplicativo) se obtiene intercambiando el numerador y el denominador (el inverso de es ).

Definiciones y propiedades básicas

Los conceptos de elemento inverso y elemento invertible se definen comúnmente para operaciones binarias que están definidas en todas partes (es decir, la operación se define para dos elementos cualesquiera de su dominio ). Sin embargo, estos conceptos se usan comúnmente con operaciones parciales , es decir, operaciones que no están definidas en todas partes. Ejemplos comunes son la multiplicación de matrices , la composición de funciones y la composición de morfismos en una categoría . De ello se deduce que las definiciones comunes de asociatividad y elemento de identidad deben extenderse a las operaciones parciales; este es el objeto de los primeros incisos.

En esta sección, X es un conjunto (posiblemente una clase propia ) sobre el cual se define una operación parcial (posiblemente total), que se denota con

Asociatividad

Una operación parcial es asociativa si

para todo x , y , z en X para el que se define uno de los miembros de la igualdad; la igualdad significa que el otro miembro de la igualdad también debe ser definido.

Ejemplos de operaciones asociativas no totales son la multiplicación de matrices de tamaño arbitrario y la composición de funciones .

Elementos de identidad

Sea una operación asociativa posiblemente parcial sobre un conjunto X.

Un elemento de identidad , o simplemente una identidad es un elemento e tal que

para cada x e y para los que están definidos los lados izquierdos de las igualdades.

Si e y f son dos elementos de identidad tales que se define, entonces (Esto resulta inmediatamente de la definición, por )

De ello se deduce que una operación total tiene como máximo un elemento de identidad, y si e y f son identidades diferentes, entonces no está definida.

Por ejemplo, en el caso de la multiplicación de matrices , hay una matriz identidad n × n para cada entero positivo n , y dos matrices identidad de diferente tamaño no se pueden multiplicar entre sí.

De manera similar, las funciones de identidad son elementos de identidad para la composición de funciones , y la composición de las funciones de identidad de dos conjuntos diferentes no está definida.

Inversos izquierdo y derecho

Si donde e es un elemento de identidad, se dice que x es la inversa por la izquierda de y , y x es la inversa por la derecha de y .

Los inversos izquierdo y derecho no siempre existen, incluso cuando la operación es total y asociativa. Por ejemplo, la suma es una operación asociativa total sobre enteros no negativos , que tiene 0 como identidad aditiva , y 0 es el único elemento que tiene un inverso aditivo . Esta falta de inversos es la principal motivación para extender los números naturales a los enteros.

Un elemento puede tener varios inversos a la izquierda y varios inversos a la derecha, incluso cuando la operación es total y asociativa. Por ejemplo, considere las funciones de enteros a enteros. La función de duplicación tiene infinitas funciones inversas a la izquierda en la función de composición , que son las funciones que dividen por dos los números pares y dan cualquier valor a los números impares. De manera similar, cada función que asigna n a o es una función inversa a la derecha de la función de piso que asigna n a o dependiendo de si n es par o impar.

De manera más general, una función tiene inversa por la izquierda para la composición de funciones si y solo si es inyectiva , y tiene inversa por la derecha si y solo si es sobreyectiva .

En la teoría de categorías , los inversos a la derecha también se denominan secciones , y los inversos a la izquierda se denominan retracciones .

inversas

Un elemento es invertible bajo una operación si tiene un inverso a la izquierda y un inverso a la derecha.

En el caso común donde la operación es asociativa, el inverso izquierdo y derecho de un elemento son iguales y únicos. De hecho, si l y r son, respectivamente, un inverso por la izquierda y un inverso por la derecha de x , entonces

El inverso de un elemento invertible es su único inverso izquierdo o derecho.

Si la operación se denota como una suma, se denota el inverso, o inverso aditivo , de un elemento x . De lo contrario, generalmente se denota el inverso de x o, en el caso de una multiplicación conmutativa . Cuando puede haber una confusión entre varias operaciones, el símbolo de la operación se puede agregar antes del exponente, como en La notación no se usa comúnmente para la composición de funciones , ya que se puede usar para el inverso multiplicativo .

Si x e y son invertibles y están definidos, entonces es invertible y su inversa es

Un homomorfismo invertible se llama isomorfismo . En la teoría de categorías , un morfismo invertible también se denomina isomorfismo .

En grupos

Un grupo es un conjunto con una operación asociativa que tiene un elemento identidad, y para el cual cada elemento tiene un inverso.

Así, la inversa es una función del grupo a sí mismo que también puede ser considerada como una operación de aridad uno. También es una involución , ya que el inverso del inverso de un elemento es el elemento mismo.

Un grupo puede actuar sobre un conjunto como transformaciones de este conjunto. En este caso, la inversa de un elemento de grupo define una transformación que es la inversa de la transformación definida por , es decir, la transformación que "deshace" la transformación definida por

Por ejemplo, el grupo del cubo de Rubik está formado por secuencias finitas de movimientos elementales. La inversa de tal secuencia se obtiene deshaciendo esta sucesión de movimientos, es decir, invirtiendo los movimientos elementales en el orden inverso.

En el campo

en anillos

Matrices

Funciones

morfismo inverso

generalizaciones

En un magma unitario

Sea un magma unital , es decir, un conjunto con una operación binaria y un elemento identidad . Si, para , tenemos , entonces se llama inversa izquierda de y inversa derecha de . Si un elemento es a la vez un inverso izquierdo y un inverso derecho de , entonces se llama un inverso de dos lados , o simplemente un inverso de . Un elemento con un inverso de dos lados en se llama invertible en . Un elemento con un elemento inverso solo en un lado es invertible por la izquierda o invertible por la derecha .

Los elementos de un magma unitario pueden tener múltiples inversas izquierdas, derechas o de dos lados. Por ejemplo, en el magma dado por la tabla de Cayley

* 1 2 3
1 1 2 3
2 2 1 1
3 3 1 1

los elementos 2 y 3 tienen cada uno dos inversos de dos lados.

Un magma unitario en el que todos los elementos son invertibles no necesita ser un bucle . Por ejemplo, en el magma dado por la tabla de Cayley

* 1 2 3
1 1 2 3
2 2 1 2
3 3 2 1

cada elemento tiene un único inverso de dos lados (a saber, él mismo), pero no es un bucle porque la tabla de Cayley no es un cuadrado latino .

De manera similar, un bucle no necesita tener inversas de dos lados. Por ejemplo, en el ciclo dado por la tabla de Cayley

* 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 3 1 5 4
3 3 4 5 1 2
4 4 5 2 3 1
5 5 1 4 2 3

el único elemento con un inverso de dos lados es el elemento de identidad 1.

Si la operación es asociativa , entonces si un elemento tiene un inverso a la izquierda y un inverso a la derecha, son iguales. En otras palabras, en un monoide (un magma unitario asociativo) cada elemento tiene como máximo un inverso (como se define en esta sección). En un monoide, el conjunto de elementos invertibles es un grupo , llamado grupo de unidades de , y denotado por o H 1 .

en un semigrupo

La definición del apartado anterior generaliza la noción de inverso en grupo relativa a la noción de identidad. También es posible, aunque menos obvio, generalizar la noción de un inverso eliminando el elemento de identidad pero manteniendo la asociatividad; es decir, en un semigrupo .

En un semigrupo S un elemento x se llama (von Neumann) regular si existe algún elemento z en S tal que xzx = x ; z a veces se llama pseudoinverso . Un elemento y se llama (simplemente) un inverso de x si xyx = x y y = yxy . Todo elemento regular tiene al menos un inverso: si x = xzx entonces es fácil verificar que y = zxz es un inverso de x como se define en esta sección. Otro hecho fácil de probar: si y es un inverso de x , entonces e = xy y f = yx son idempotentes , es decir, ee = e y ff = f . Por lo tanto, cada par de elementos (mutuamente) inversos da lugar a dos idempotentes, y ex = xf = x , ye = fy = y , y e actúa como una identidad izquierda en x , mientras que f actúa como una identidad derecha, y la izquierda/ los roles correctos se invierten para y . Esta simple observación puede generalizarse usando las relaciones de Green : cada idempotente e en un semigrupo arbitrario es una identidad por la izquierda para R e y una identidad por la derecha para L e . Una descripción intuitiva de este hecho es que cada par de elementos mutuamente inversos produce una identidad local izquierda y, respectivamente, una identidad local derecha.

En un monoide, la noción de inversa como se define en la sección anterior es estrictamente más estrecha que la definición dada en esta sección. Solo los elementos de la clase verde H 1 tienen un inverso desde la perspectiva del magma unitario, mientras que para cualquier idempotente e , los elementos de H e tienen un inverso como se define en esta sección. Bajo esta definición más general, los inversos no necesitan ser únicos (o existir) en un semigrupo o monoide arbitrario. Si todos los elementos son regulares, entonces el semigrupo (o monoide) se llama regular y cada elemento tiene al menos un inverso. Si cada elemento tiene exactamente un inverso como se define en esta sección, entonces el semigrupo se llama semigrupo inverso . Finalmente, un semigrupo inverso con un solo idempotente es un grupo. Un semigrupo inverso puede tener un elemento absorbente 0 porque 000 = 0, mientras que un grupo puede no tenerlo.

Fuera de la teoría de semigrupos, un inverso único como se define en esta sección a veces se denomina cuasi-inverso . En general, esto se justifica porque en la mayoría de las aplicaciones (por ejemplo, todos los ejemplos de este artículo) se mantiene la asociatividad, lo que hace que esta noción sea una generalización del inverso izquierdo/derecho en relación con una identidad (consulte Inverso generalizado ).

U -semigrupos

Una generalización natural del semigrupo inverso es definir una operación unaria (arbitraria) ° tal que ( a °)° = a para todo a en S ; esto dota a S de un álgebra de tipo ⟨2,1⟩. Un semigrupo dotado de tal operación se denomina semigrupo U. Aunque pueda parecer que a ° será el inverso de a , este no es necesariamente el caso. Para obtener nociones interesantes, la operación unaria debe interactuar de alguna manera con la operación de semigrupo. Se han estudiado dos clases de semigrupos U :

  • I -semigrupos , en los que el axioma de interacción es aa ° a = a
  • *-semigrupos , en los que el axioma de interacción es ( ab )° = b ° a °. Tal operación se llama involución y normalmente se denota con un *

Claramente, un grupo es tanto un I -semigrupo como un *-semigrupo. Una clase de semigrupos importante en la teoría de semigrupos son los semigrupos completamente regulares ; estos son I -semigrupos en los que además se tiene aa ° = a ° a ; en otras palabras, todo elemento tiene un pseudoinverso conmutativo a °. Sin embargo, hay pocos ejemplos concretos de tales semigrupos; la mayoría son semigrupos completamente simples . Por el contrario, una subclase de semigrupos *, los semigrupos regulares * (en el sentido de Drazin), producen uno de los ejemplos más conocidos de un pseudoinverso (único), el inverso de Moore-Penrose . En este caso, sin embargo, la involución a * no es la pseudoinversa. Más bien, el pseudoinverso de x es el único elemento y tal que xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx . Dado que los semigrupos *-regulares generalizan semigrupos inversos, el único elemento definido de esta manera en un semigrupo *-regular se denomina inverso generalizado o inverso de Moore-Penrose .

Semirings

Ejemplos

Todos los ejemplos en esta sección involucran operadores asociativos, por lo que usaremos los términos inverso izquierdo/derecho para la definición basada en magma unital y cuasi-inverso para su versión más general.

Numeros reales

Todo número real tiene un inverso aditivo (es decir, un inverso con respecto a la suma ) dado por . Cada número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo (es decir, un inverso con respecto a la multiplicación ) dado por (o ). Por el contrario, el cero no tiene inverso multiplicativo, pero tiene un cuasi-inverso único, " " en sí mismo.

Funciones y funciones parciales

Una función es la inversa izquierda (resp. derecha) de una función (para la composición de funciones ), si y solo si (resp. ) es la función de identidad en el dominio (resp. codominio ) de . A menudo se escribe la inversa de una función , pero esta notación a veces es ambigua . Solo las biyecciones tienen inversas de dos lados, pero cualquier función tiene una cuasi-inversa; es decir, el monoide de transformación completa es regular. El monoide de funciones parciales también es regular, mientras que el monoide de transformaciones parciales inyectivas es el semigrupo inverso prototípico.

Conexiones Galois

Los adjuntos inferior y superior en una conexión de Galois (monótona) , L y G son casi inversos entre sí; es decir, LGL = L y GLG = G y uno determina únicamente al otro. Sin embargo, no son inversos izquierdos o derechos uno del otro.

Inversas generalizadas de matrices

Una matriz cuadrada con entradas en un campo es invertible (en el conjunto de todas las matrices cuadradas del mismo tamaño, bajo la multiplicación de matrices ) si y solo si su determinante es diferente de cero. Si el determinante de es cero, es imposible que tenga un inverso unilateral; por tanto, un inverso izquierdo o inverso derecho implica la existencia del otro. Consulte la matriz invertible para obtener más información.

De manera más general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y solo si su determinante es invertible en .

Las matrices no cuadradas de rango completo tienen varias inversas unilaterales:

  • Porque nos quedan inversas; por ejemplo,
  • Porque tenemos inversas correctas; por ejemplo,

El inverso izquierdo se puede usar para determinar la solución mínima norma de , que también es la fórmula de mínimos cuadrados para la regresión y está dada por

Ninguna matriz de rango deficiente tiene inversa (incluso unilateral). Sin embargo, la inversa de Moore-Penrose existe para todas las matrices y coincide con la inversa izquierda o derecha (o verdadera) cuando existe.

Como ejemplo de matriz inversa, considere:

Entonces, como m < n , tenemos un inverso derecho, por componentes se calcula como

El inverso izquierdo no existe, porque

que es una matriz singular , y no se puede invertir.

Ver también

notas

Referencias

  • M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids , Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , pág. 15 (definido en magma unitario) y p. 33 (def en semigrupo)
  • Howie, John M. (1995). Fundamentos de la Teoría de Semigrupos . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.contiene todo el material de los semigrupos aquí excepto los semigrupos *-regulares.
  • Drazin, MP, Semigrupos regulares con involución , Proc. Síntoma sobre semigrupos regulares (DeKalb, 1979), 29–46
  • Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroups , Semigroup Forum , 24(1), diciembre de 1982, págs. 173–187
  • Nordahl, TE y HE Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum , 16 (1978), 369–377.