Superficie Riemann - Riemann surface

Superficie de Riemann para la función f ( z ) =  √ z . Los dos ejes horizontales representan las partes real e imaginaria de z , mientras que el eje vertical representa la parte real de √ z . La parte imaginaria de √ z está representada por la coloración de los puntos. Para esta función, también es la altura después de girar la gráfica 180 ° alrededor del eje vertical.

En matemáticas , particularmente en el análisis complejo , una superficie de Riemann es una variedad compleja unidimensional . Estas superficies fueron estudiadas por primera vez y llevan el nombre de Bernhard Riemann . Las superficies de Riemann pueden considerarse versiones deformadas del plano complejo : localmente, cerca de cada punto, parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente. Por ejemplo, pueden parecer una esfera o un toro o varias hojas pegadas entre sí.

El principal interés de las superficies de Riemann es que se pueden definir funciones holomórficas entre ellas. Las superficies de Riemann se consideran hoy en día el escenario natural para estudiar el comportamiento global de estas funciones, especialmente funciones multivaluadas como la raíz cuadrada y otras funciones algebraicas , o el logaritmo .

Cada superficie de Riemann es una variedad analítica real bidimensional (es decir, una superficie ), pero contiene más estructura (específicamente una estructura compleja ) que es necesaria para la definición inequívoca de funciones holomórficas. Una variedad real bidimensional se puede convertir en una superficie de Riemann (generalmente de varias formas desiguales) si y solo si es orientable y metrizable . Entonces, la esfera y el toro admiten estructuras complejas, pero la tira de Möbius , la botella de Klein y el plano proyectivo real no lo hacen.

Los hechos geométricos sobre las superficies de Riemann son tan "agradables" como sea posible y, a menudo, proporcionan la intuición y la motivación para generalizaciones a otras curvas, variedades o variedades. El teorema de Riemann-Roch es un excelente ejemplo de esta influencia.

Definiciones

Hay varias definiciones equivalentes de una superficie de Riemann.

1. Una superficie de Riemann X es una variedad compleja conectada de dimensión compleja uno. Esto significa que X es un espacio de Hausdorff conectado que está dotado de un atlas de gráficos al disco unitario abierto del plano complejo : para cada punto x ∈ X hay una vecindad de x que es homeomorfa al disco unitario abierto del complejo. plano, y los mapas de transición entre dos gráficos superpuestos deben ser holomórficos .
2. Una superficie de Riemann es una variedad orientada de dimensión (real) dos, una superficie de dos lados , junto con una estructura conforme . Nuevamente, múltiple significa que localmente en cualquier punto x de X , el espacio es homeomórfico a un subconjunto del plano real. El suplemento "Riemann" significa que X está dotado de una estructura adicional que permite la medición de ángulos en la variedad, es decir, una clase de equivalencia de las llamadas métricas de Riemann . Dos de estas métricas se consideran equivalentes si los ángulos que miden son los mismos. La elección de una clase de equivalencia de métricas en X es el dato adicional de la estructura conforme.

Una estructura compleja da lugar a una estructura conforme eligiendo la métrica euclidiana estándar dada en el plano complejo y transportándola a X por medio de los gráficos. Mostrar que una estructura conforme determina una estructura compleja es más difícil.

Ejemplos de

La esfera de Riemann.

Un toro.

• 

  f ( z ) = arcos en z

• 

  f ( z ) = log z

• 

  f ( z ) = z ^1/2

• 

  f ( z ) = z ^1/3

• 

  f ( z ) = z ^1/4

Más definiciones y propiedades

Como con cualquier mapa entre variedades complejas, una función f : M → N entre dos superficies de Riemann M y N se llama holomorphic si para cada gráfico de g en los atlas de M y cada carta h en el atlas de N , el mapa h ∘ f ∘ g ⁻¹ es holomórfico (en función de C a C ) donde sea que esté definido. La composición de dos mapas holomórficos es holomórfica. Las dos superficies de Riemann M y N se denominan biholomórficas (o equivalentes conforme para enfatizar el punto de vista conforme) si existe una función holomórfica biyectiva de M a N cuya inversa también es holomórfica (resulta que la última condición es automática y puede por lo tanto, se omitirá). Dos superficies de Riemann equivalentes conforme son idénticas a todos los efectos prácticos.

Orientabilidad

Cada superficie de Riemann, al ser una variedad compleja, es orientable como una variedad real. Para gráficos complejos f y g con función de transición h = f ( g ⁻¹ ( z )), h se puede considerar como un mapa de un conjunto abierto de R ² a R ² cuyo jacobiano en un punto z es solo el mapa lineal real dado por la multiplicación por el número complejo h '( z ). Sin embargo, el determinante real de la multiplicación por un número complejo α es igual a | α | ² , por lo que el jacobiano de h tiene un determinante positivo. En consecuencia, el atlas complejo es un atlas orientado.

Funciones

Toda superficie de Riemann no compacta admite funciones holomorfas no constantes (con valores en C ). De hecho, cada superficie Riemann no compacta es un colector Stein .

Por el contrario, en una superficie X compacta de Riemann, cada función holomórfica con valores en C es constante debido al principio máximo . Sin embargo, siempre existen funciones meromorfas no constantes ( funciones holomorfas con valores en la esfera de Riemann C ∪ {∞}). Más precisamente, el campo de función de X es una extensión finita de C ( t ), el campo de función en una variable, es decir, dos funciones meromórficas cualesquiera son algebraicamente dependientes. Esta afirmación se generaliza a dimensiones superiores, véase Siegel (1955) . Las funciones meromórficas se pueden dar de manera bastante explícita, en términos de funciones theta de Riemann y el mapa de Abel-Jacobi de la superficie.

Analítico vs algebraico

La existencia de funciones meromórficas no constantes puede usarse para mostrar que cualquier superficie de Riemann compacta es una variedad proyectiva , es decir, puede estar dada por ecuaciones polinómicas dentro de un espacio proyectivo . De hecho, se puede demostrar que cada superficie compacta de Riemann se puede incrustar en complejos 3 espacios proyectivos . Este es un teorema sorprendente: las superficies de Riemann están dadas por gráficos de parcheo local. Si se agrega una condición global, a saber, la compacidad, la superficie es necesariamente algebraica. Esta característica de las superficies de Riemann permite estudiarlas con los medios de la geometría analítica o algebraica . El enunciado correspondiente para objetos de dimensiones superiores es falso, es decir, hay 2-variedades compactas y complejas que no son algebraicas. Por otro lado, toda variedad compleja proyectiva es necesariamente algebraica, véase el teorema de Chow .

Como ejemplo, considere el toro T  : =  C / ( Z  +  τ Z ). La función de Weierstrass que pertenece a la red Z  +  τ Z es una función meromorphic en T . Esta función y su derivado generan el campo de función de T . Hay una ecuación ${\ Displaystyle \ wp _ {\ tau} (z)}$ ${\ Displaystyle \ wp _ {\ tau} '(z)}$

${\ Displaystyle [\ wp '(z)] ^ {2} = 4 [\ wp (z)] ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3},}$

donde los coeficientes g ₂ y g ₃ dependen de τ, dando así una curva elíptica E _τ en el sentido de la geometría algebraica. La inversión de esto se logra mediante la invariante j j ( E ), que se puede usar para determinar τ y, por lo tanto, un toro.

Clasificación de superficies de Riemann

El conjunto de todas las superficies de Riemann se puede dividir en tres subconjuntos: superficies de Riemann hiperbólicas, parabólicas y elípticas. Geométricamente, corresponden a superficies con curvatura seccional constante negativa, fugaz o positiva . Es decir, cada superficie de Riemann conectada admite una métrica de Riemann real bidimensional completa única con curvatura constante igual o que pertenece a la clase conforme de métricas de Riemann determinadas por su estructura como una superficie de Riemann. Esto puede verse como una consecuencia de la existencia de coordenadas isotérmicas . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle -1,0}$${\ Displaystyle 1}$

En términos analíticos complejos, el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe (una generalización del teorema de mapeo de Riemann ) establece que cada superficie de Riemann simplemente conectada es conforme a uno de los siguientes:

• La esfera de Riemann , que es isomorfa a la  ;${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbf {C}}}: = \ mathbf {C} \ cup \ {\ infty \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$
• El plano complejo ;${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$
• El disco abierto que es isomorfo al semiplano superior .${\ Displaystyle \ mathbf {D}: = \ {z \ in \ mathbf {C}: | z | <1 \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {H}: = \ {z \ in \ mathbf {C}: \ mathrm {Im} (z)> 0 \}}$

A Riemann superficie es elíptica, parabólica o hiperbólica en función de si su cobertura universal es isomorfo a , o . Los elementos de cada clase admiten una descripción más precisa. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$${\ Displaystyle \ mathbf {D}}$

Superficies elípticas de Riemann

La esfera de Riemann es el único ejemplo, ya que no hay ningún grupo que actúe sobre ella mediante transformaciones biholomórficas libre y propiamente discontinuamente, por lo que cualquier superficie de Riemann cuya cobertura universal sea isomorfa debe ser ella misma isomorfa a ella. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$

Superficies parabólicas de Riemann

Si es una superficie de Riemann cuya cobertura universal es isomorfa al plano complejo, entonces es isomorfa una de las siguientes superficies: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$

• ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ sí mismo;
• El cociente ;${\ Displaystyle \ mathbf {C} / \ mathbf {Z}}$
• Un cociente donde con .${\ Displaystyle \ mathbf {C} / (\ mathbf {Z} + \ mathbf {Z} \ tau)}$${\ Displaystyle \ tau \ in \ mathbf {C}}$${\ Displaystyle \ mathrm {Im} (\ tau)> 0}$

Topológicamente solo hay tres tipos: el plano, el cilindro y el toro . Pero mientras que en los dos primeros casos la estructura de la superficie de Riemann (parabólica) es única, al variar el parámetro en el tercer caso se obtienen superficies de Riemann no isomórficas. La descripción por el parámetro da el espacio de Teichmüller de superficies de Riemann "marcadas" (además de la estructura de superficie de Riemann, se agregan los datos topológicos de una "marca", que puede verse como un homeomorfismo fijo del toro). Para obtener el espacio de módulos analíticos (olvidando el marcado) se toma el cociente del espacio de Teichmüller por el grupo de clases de mapeo . En este caso es la curva modular . ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$

Superficies hiperbólicas de Riemann

En los casos restantes es una superficie de Riemann hiperbólica, que es isomorfa a un cociente del semiplano superior por un grupo fucsiano (esto a veces se llama modelo fucsiano para la superficie). El tipo topológico de puede ser cualquier superficie orientable excepto el toro y la esfera . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Un caso de especial interés es cuando es compacto. Luego, su tipo topológico se describe por su género . Su espacio de Teichmüller y su espacio de módulos son -dimensionales. Se puede dar una clasificación similar de las superficies de Riemann de tipo finito (que es homeomorfa a una superficie cerrada menos un número finito de puntos). Sin embargo, en general, el espacio de módulos de las superficies de Riemann de tipo topológico infinito es demasiado grande para admitir tal descripción. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle g \ geq 2}$${\ Displaystyle 6g-6}$

Mapas entre superficies de Riemann

La clasificación geométrica se refleja en mapas entre las superficies de Riemann, como se detalla en el teorema de Liouville y el teorema de Little Picard : Mapas de hiperbólica a parabólico a elípticas son fáciles, pero los mapas de elíptica a parabólica o parabólico para hiperbólica son muy limitados (de hecho, generalmente constante !). Hay inclusiones del disco en el plano de la esfera: pero cualquier mapa holomórfico desde la esfera al plano es constante, cualquier mapa holomórfico desde el plano al disco unitario es constante (teorema de Liouville) y, de hecho, cualquier mapa holomórfico de el plano dentro del plano menos dos puntos es constante (teorema de Little Picard). ${\ Displaystyle \ Delta \ subset \ mathbf {C} \ subset {\ widehat {\ mathbf {C}}},}$

Esferas perforadas

Estas afirmaciones se aclaran considerando el tipo de esfera de Riemann con una serie de pinchazos. Sin pinchazos, es la esfera de Riemann, que es elíptica. Con un pinchazo, que se puede colocar en el infinito, es el plano complejo, que es parabólico. Con dos perforaciones, es el plano perforado o alternativamente el anillo o el cilindro, que es parabólico. Con tres o más pinchazos, es hiperbólico; compare un par de pantalones . Se puede trazar un mapa de un pinchazo a dos, a través del mapa exponencial (que es completo y tiene una singularidad esencial en el infinito, por lo que no se define en el infinito, y omite el cero y el infinito), pero todos los mapas de cero pinchazos a uno o más, o uno o dos pinchazos a tres o más son constantes. ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbf {C}}}}$

Espacios de cobertura ramificados

Continuando en esta línea, las superficies compactas de Riemann pueden mapear a superficies de géneros inferiores , pero no a géneros superiores , excepto como mapas constantes. Esto se debe a que los mapas holomórficos y meromórficos se comportan localmente de la misma manera que los mapas no constantes son mapas de cobertura ramificados , y para superficies compactas de Riemann, estos están restringidos por la fórmula de Riemann-Hurwitz en topología algebraica , que relaciona la característica de Euler de un espacio y una cobertura ramificada. . ${\ Displaystyle z \ mapsto z ^ {n},}$

Por ejemplo, las superficies hiperbólicas de Riemann están ramificadas que cubren los espacios de la esfera (tienen funciones meromórficas no constantes), pero la esfera no cubre ni se asigna a superficies de géneros superiores, excepto como una constante.

Isometrías de superficies de Riemann

El grupo de isometría de una superficie uniforme de Riemann (de manera equivalente, el grupo de automorfismo conforme ) refleja su geometría:

• género 0 - el grupo de isometría de la esfera es el grupo de Möbius de transformaciones proyectivas de la línea compleja,
• el grupo de isometría del plano es el subgrupo que fija el infinito, y del plano pinchado es el subgrupo que deja invariante el conjunto que contiene solo el infinito y el cero: o fijándolos a ambos o intercambiándolos (1 / z ).
• el grupo de isometría del semiplano superior es el grupo de Möbius real; esto se conjuga con el grupo de automorfismos del disco.
• género 1: el grupo de isometría de un toro se encuentra en traslaciones generales (como una variedad abeliana ), aunque el retículo cuadrado y el retículo hexagonal tienen simetrías adicionales de rotación de 90 ° y 60 °.
• Para el género g ≥ 2, el grupo de isometría es finito y tiene un orden máximo de 84 ( g −1), según el teorema de automorfismos de Hurwitz ; las superficies que realizan este límite se denominan superficies de Hurwitz.
• Se sabe que cada grupo finito se puede realizar como el grupo completo de isometrías de alguna superficie de Riemann.
  • Para el género 2, el orden es maximizado por la superficie de Bolza , con el orden 48.
  • Para el género 3, el orden es maximizado por el cuartico de Klein , con el orden 168; esta es la primera superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismos es isomorfo al grupo simple único de orden 168, que es el segundo grupo simple no abeliano más pequeño. Este grupo es isomorfo tanto a PSL (2,7) como a PSL (3,2) .
  • Para el género 4, la superficie de Bring es una superficie muy simétrica.
  • Para el género 7, el orden es maximizado por la superficie Macbeath , con el orden 504; esta es la segunda superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismos es isomorfo a PSL (2,8), el cuarto grupo simple no abeliano más pequeño.

Clasificación de la teoría de funciones

Los geómetras suelen utilizar el esquema de clasificación anterior. Existe una clasificación diferente para las superficies de Riemann que suelen utilizar los analistas complejos. Emplea una definición diferente de "parabólico" e "hiperbólico". En este esquema de clasificación alternativo, una superficie de Riemann se llama parabólica si no hay funciones subarmónicas negativas no constantes en la superficie y, de lo contrario, se denomina hiperbólica . Esta clase de superficies hiperbólicas se subdivide en subclases según si los espacios funcionales distintos de las funciones subarmónicas negativas están degenerados, por ejemplo, superficies de Riemann en las que todas las funciones holomórficas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas positivas son constantes, etc.

Para evitar confusiones, llame a la clasificación basada en métricas de curvatura constante la clasificación geométrica , y a la basada en la degeneración de los espacios funcionales, la clasificación de la teoría de la función . Por ejemplo, la superficie de Riemann que consta de "todos los números complejos excepto 0 y 1" es parabólica en la clasificación de la teoría de funciones, pero es hiperbólica en la clasificación geométrica.

Ver también

• Dessin d'enfant
• Colector Kähler
• Superficie de Lorentz
• Grupo de clases de mapeo

Teoremas sobre superficies de Riemann

• Teorema de ramificación
• Teorema de automorfismos de Hurwitz
• Teorema de identidad para superficies de Riemann
• Teorema de Riemann-Roch
• Fórmula de Riemann-Hurwitz

Notas

Referencias

enlaces externos

• "Superficie de Riemann" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]