Bernhard Riemann - Bernhard Riemann

Bernhard Riemann
Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg
Bernhard Riemann, c.  1863
Nació
Georg Friedrich Bernhard Riemann

17 de septiembre de 1826
Fallecido 20 de julio de 1866 (07/20/1866)(39 años)
Nacionalidad alemán
Ciudadanía Alemania
alma mater
Conocido por Ver lista
Carrera científica
Los campos
Instituciones Universidad de Göttingen
Tesis ' Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Größe'  (1851)
Asesor de doctorado Carl Friedrich Gauss
Otros asesores académicos
Estudiantes notables Gustav Roch
Eduard Vendiendo
Influencias JPGL Dirichlet
Firma
Firma de Bernhard Riemann.png

Georg Friedrich Bernhard Riemann ( alemán: [ˈɡeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman] ( escucha )Sobre este sonido ; 17 de septiembre de 1826 - 20 de julio de 1866) fue un matemático alemán que hizo contribuciones al análisis , la teoría de números y la geometría diferencial . En el campo del análisis real , se le conoce sobre todo por la primera formulación rigurosa de la integral, la integral de Riemann , y su trabajo sobre la serie de Fourier . Sus contribuciones al análisis complejo incluyen sobre todo la introducción de superficies de Riemann , abriendo nuevos caminos en un tratamiento geométrico natural del análisis complejo. Su artículo de 1859 sobre la función de conteo de primos , que contiene el enunciado original de la hipótesis de Riemann , se considera uno de los artículos más influyentes en la teoría analítica de números . A través de sus contribuciones pioneras a la geometría diferencial , Riemann sentó las bases de las matemáticas de la relatividad general . Muchos lo consideran uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos.

Biografía

Primeros años

Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz , un pueblo cerca de Dannenberg en el Reino de Hannover . Su padre, Friedrich Bernhard Riemann, era un pobre pastor luterano de Breselenz que luchó en las guerras napoleónicas . Su madre, Charlotte Ebell, murió antes de que sus hijos alcanzaran la edad adulta. Riemann fue el segundo de seis hermanos, tímido y sufriendo numerosos ataques de nervios. Riemann exhibió habilidades matemáticas excepcionales, como habilidades de cálculo, desde una edad temprana, pero sufrió de timidez y miedo a hablar en público.

Educación

Durante 1840, Riemann fue a Hannover para vivir con su abuela y asistir al liceo (años de secundaria). Después de la muerte de su abuela en 1842, asistió a la escuela secundaria en el Johanneum Lüneburg . En la escuela secundaria, Riemann estudió la Biblia de manera intensiva, pero a menudo se distraía con las matemáticas. Sus maestros estaban asombrados por su habilidad para realizar complicadas operaciones matemáticas, en las que a menudo sobrepasaba los conocimientos de su instructor. En 1846, a la edad de 19 años, comenzó a estudiar filología y teología cristiana para convertirse en pastor y ayudar con las finanzas de su familia.

Durante la primavera de 1846, su padre, después de reunir suficiente dinero, envió a Riemann a la Universidad de Göttingen , donde planeaba estudiar para obtener una licenciatura en teología . Sin embargo, una vez allí, comenzó a estudiar matemáticas con Carl Friedrich Gauss (específicamente sus conferencias sobre el método de los mínimos cuadrados ). Gauss recomendó que Riemann abandonara su trabajo teológico y entrara en el campo de las matemáticas; después de obtener la aprobación de su padre, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín en 1847. Durante su tiempo de estudio, enseñaban Carl Gustav Jacob Jacobi , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Jakob Steiner y Gotthold Eisenstein . Permaneció en Berlín durante dos años y regresó a Gotinga en 1849.

Academia

Riemann llevó a cabo sus primeras conferencias en 1854, que fundaron el campo de la geometría de Riemann y de ese modo preparar el escenario para Albert Einstein 's teoría general de la relatividad . En 1857, hubo un intento de promover a Riemann al estatus de profesor extraordinario en la Universidad de Göttingen . Aunque este intento fracasó, resultó en que finalmente se le concedió a Riemann un salario regular. En 1859, tras la muerte de Dirichlet (que ocupó la cátedra de Gauss en la Universidad de Göttingen), fue ascendido a director del departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen. También fue el primero en sugerir el uso de dimensiones superiores a tres o cuatro para describir la realidad física.

En 1862 se casó con Elise Koch y tuvieron una hija, Ida Schilling, que nació el 22 de diciembre de 1862.

Familia protestante y muerte en Italia

Lápida de Riemann en Biganzolo en Piamonte , Italia.

Riemann huyó de Gotinga cuando los ejércitos de Hannover y Prusia se enfrentaron allí en 1866. Murió de tuberculosis durante su tercer viaje a Italia en Selasca (ahora una aldea de Verbania en el lago Maggiore ) donde fue enterrado en el cementerio de Biganzolo (Verbania).

Riemann era un cristiano dedicado, hijo de un ministro protestante, y veía su vida como matemático como otra forma de servir a Dios. Durante su vida, se mantuvo fiel a su fe cristiana y la consideró como el aspecto más importante de su vida. En el momento de su muerte, estaba recitando el Padrenuestro con su esposa y murió antes de que terminaran de decir la oración. Mientras tanto, en Göttingen, su ama de llaves descartó algunos de los papeles de su oficina, entre ellos gran parte del trabajo inédito. Riemann se negó a publicar trabajos incompletos y es posible que se hayan perdido para siempre algunos conocimientos profundos.

La lápida de Riemann en Biganzolo (Italia) se refiere a Romanos 8:28 :

Aquí descansa en Dios
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Profesor en Gotinga
nacido en Breselenz el 17 de septiembre de 1826
murió en Selasca el 20 de julio de 1866

Para aquellos que aman a Dios, todas las cosas deben trabajar juntas para lo mejor

Geometría riemanniana

Los trabajos publicados de Riemann abrieron áreas de investigación que combinan el análisis con la geometría. Posteriormente, estos se convertirían en partes importantes de las teorías de la geometría de Riemann , la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas . La teoría de las superficies de Riemann fue elaborada por Felix Klein y, en particular, por Adolf Hurwitz . Esta área de las matemáticas es parte de la base de la topología y todavía se está aplicando de formas novedosas a la física matemática .

En 1853, Gauss le pidió a Riemann, su alumno, que preparara una Habilitationschrift sobre los fundamentos de la geometría. Durante muchos meses, Riemann desarrolló su teoría de las dimensiones superiores y pronunció su conferencia en Gotinga en 1854 titulada " Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen " (" Sobre las hipótesis que subyacen a la geometría "). No fue publicado hasta doce años después en 1868 por Dedekind, dos años después de su muerte. Su recepción inicial parece haber sido lenta, pero ahora se reconoce como una de las obras más importantes de geometría.

El tema que fundamenta este trabajo es la geometría riemanniana . Riemann encontró la manera correcta de extender en n dimensiones la geometría diferencial de superficies, que el mismo Gauss demostró en su teorema egregium . El objeto fundamental se llama tensor de curvatura de Riemann . Para el caso de la superficie, esto se puede reducir a un número (escalar), positivo, negativo o cero; los casos distintos de cero y constantes son modelos de las geometrías no euclidianas conocidas .

La idea de Riemann era introducir una colección de números en cada punto del espacio (es decir, un tensor ) que describiría cuánto estaba doblado o curvado. Riemann descubrió que en cuatro dimensiones espaciales, se necesita una colección de diez números en cada punto para describir las propiedades de una variedad , sin importar cuán distorsionada esté. Esta es la famosa construcción central de su geometría, conocida ahora como métrica de Riemann .

Análisis complejo

En su disertación, estableció una base geométrica para el análisis complejo a través de superficies de Riemann , a través de las cuales funciones de valores múltiples como el logaritmo (con infinitas hojas) o la raíz cuadrada (con dos hojas) podrían convertirse en funciones uno a uno . Las funciones complejas son funciones armónicas (es decir, satisfacen la ecuación de Laplace y, por tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann ) en estas superficies y se describen por la ubicación de sus singularidades y la topología de las superficies. El "género" topológico de las superficies de Riemann viene dado por , donde la superficie tiene hojas que se juntan en los puntos de ramificación. Porque la superficie de Riemann tiene parámetros (los " módulos ").

Sus contribuciones a esta área son numerosas. El famoso teorema de mapeo de Riemann dice que un dominio simplemente conectado en el plano complejo es "biholomórficamente equivalente" (es decir, hay una biyección entre ellos que es holomórfica con un inverso holomórfico) hacia o hacia el interior del círculo unitario. La generalización del teorema a las superficies de Riemann es el famoso teorema de uniformización , que fue probado en el siglo XIX por Henri Poincaré y Felix Klein . Aquí, también, se dieron primero pruebas rigurosas después del desarrollo de herramientas matemáticas más ricas (en este caso, topología). Para la prueba de la existencia de funciones en superficies de Riemann, utilizó una condición de minimidad, a la que llamó principio de Dirichlet . Karl Weierstrass encontró un vacío en la demostración: Riemann no se había dado cuenta de que su supuesto de trabajo (que existía el mínimo) podría no funcionar; el espacio funcional podría no estar completo y, por lo tanto, no se garantizó la existencia de un mínimo. A través del trabajo de David Hilbert en el Cálculo de variaciones, finalmente se estableció el principio de Dirichlet. Por lo demás, Weierstrass quedó muy impresionado con Riemann, especialmente con su teoría de las funciones abelianas . Cuando apareció el trabajo de Riemann, Weierstrass retiró su artículo del Crelle's Journal y no lo publicó. Tenían un buen entendimiento cuando Riemann lo visitó en Berlín en 1859. Weierstrass alentó a su alumno Hermann Amandus Schwarz a encontrar alternativas al principio de Dirichlet en el análisis complejo, en las que tuvo éxito. Una anécdota de Arnold Sommerfeld muestra las dificultades que los matemáticos contemporáneos tenían con las nuevas ideas de Riemann. En 1870, Weierstrass se había llevado la tesis de Riemann de vacaciones a Rigi y se quejó de que era difícil de entender. El físico Hermann von Helmholtz lo ayudó en el trabajo durante la noche y regresó con el comentario de que era "natural" y "muy comprensible".

Otros aspectos destacados incluyen su trabajo sobre funciones abelianas y funciones theta en superficies de Riemann. Riemann había estado en una competencia con Weierstrass desde 1857 para resolver los problemas inversos jacobianos para integrales abelianas, una generalización de integrales elípticas . Riemann usó funciones theta en varias variables y redujo el problema a la determinación de los ceros de estas funciones theta. Riemann también investigó las matrices de período y las caracterizó a través de las "relaciones de período de Riemann" (simétrica, parte real negativa). Por Ferdinand Georg Frobenius y Solomon Lefschetz la validez de esta relación es equivalente a la incrustación de (donde está el retículo de la matriz del período) en un espacio proyectivo por medio de funciones theta. Para ciertos valores de , esta es la variedad jacobiana de la superficie de Riemann, un ejemplo de una variedad abeliana.

Muchos matemáticos como Alfred Clebsch avanzaron en el trabajo de Riemann sobre curvas algebraicas. Estas teorías dependían de las propiedades de una función definida en superficies de Riemann. Por ejemplo, el teorema de Riemann-Roch (Roch fue un estudiante de Riemann) dice algo sobre el número de diferenciales linealmente independientes (con condiciones conocidas en los polos y ceros) de una superficie de Riemann.

Según Detlef Laugwitz , las funciones automórficas aparecieron por primera vez en un ensayo sobre la ecuación de Laplace en cilindros cargados eléctricamente. Sin embargo, Riemann usó tales funciones para mapas conformes (como el mapeo de triángulos topológicos al círculo) en su conferencia de 1859 sobre funciones hipergeométricas o en su tratado sobre superficies mínimas .

Análisis real

En el campo del análisis real , descubrió la integral de Riemann en su habilitación. Entre otras cosas, demostró que toda función continua por partes es integrable. De manera similar, la integral de Stieltjes se remonta al matemático de Göttinger, por lo que se denominan en conjunto la integral de Riemann-Stieltjes .

En su trabajo de habilitación en la serie de Fourier , donde siguió el trabajo de su maestro Dirichlet, mostró que las funciones integrables de Riemann son "representables" por series de Fourier. Dirichlet ha demostrado esto para funciones continuas diferenciables por partes (por lo tanto, con muchos puntos numerables no diferenciables). Riemann dio un ejemplo de una serie de Fourier que representa una función continua, casi en ninguna parte diferenciable, un caso no cubierto por Dirichlet. También demostró el lema de Riemann-Lebesgue : si una función es representable por una serie de Fourier, entonces los coeficientes de Fourier van a cero para n grande  .

El ensayo de Riemann fue también el punto de partida para el trabajo de Georg Cantor con las series de Fourier, que fue el impulso para la teoría de conjuntos .

También trabajó con ecuaciones diferenciales hipergeométricas en 1857 utilizando métodos analíticos complejos y presentó las soluciones a través del comportamiento de caminos cerrados sobre singularidades (descrito por la matriz de monodromía ). La prueba de la existencia de tales ecuaciones diferenciales mediante matrices de monodromía previamente conocidas es uno de los problemas de Hilbert.

Teoría de los números

Hizo algunas contribuciones famosas a la teoría analítica de números moderna . En un único artículo breve , el único que publicó sobre el tema de la teoría de números, investigó la función zeta que ahora lleva su nombre, estableciendo su importancia para comprender la distribución de los números primos . La hipótesis de Riemann fue una de una serie de conjeturas que hizo sobre las propiedades de la función.

En el trabajo de Riemann, hay muchos más desarrollos interesantes. Demostró la ecuación funcional para la función zeta (ya conocida por Leonhard Euler ), detrás de la cual se encuentra una función theta. Mediante la suma de esta función de aproximación sobre los ceros no triviales en la línea con la porción real 1/2, dio una "fórmula explícita" exacta para .

Riemann conocía el trabajo de Pafnuty Chebyshev sobre el Teorema de los números primos . Había visitado Dirichlet en 1852.

Escrituras

  • 1868 Sobre las hipótesis que se encuentran en la base de la geometría , traducido por WKClifford , Nature 8 1873 183 - reimpreso en Clifford's Collected Mathematical Papers, Londres 1882 (MacMillan); Nueva York 1968 (Chelsea) http://www.emis.de/classics/Riemann/ . También en Ewald, William B., ed., 1996 "De Kant a Hilbert: Un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas", 2 vols. Oxford Uni. Presione: 652–61.
  • 1892 Obras completas de Bernhard Riemann (H. Weber ed). En alemán. Reimpreso en Nueva York 1953 (Dover)
  • Riemann, Bernhard (2004), artículos recopilados , Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, Señor  2121437

Ver también

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos