Teorema de Liouville (análisis complejo) - Liouville's theorem (complex analysis)

En el análisis complejo , el teorema de Liouville , que lleva el nombre de Joseph Liouville (aunque el teorema fue probado por primera vez por Cauchy en 1844), establece que toda función completa acotada debe ser constante . Es decir, toda función holomórfica para la que existe un número positivo tal que para todo in es constante. De manera equivalente, las funciones holomórficas no constantes tienen imágenes ilimitadas. ${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle |f(z)|\leq M}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

El teorema se mejora considerablemente con el pequeño teorema de Picard , que dice que toda función cuya imagen omita dos o más números complejos debe ser constante.

Prueba

El teorema se deriva del hecho de que las funciones holomórficas son analíticas . Si f es una función completa, se puede representar por su serie de Taylor alrededor de 0:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

donde (por la fórmula integral de Cauchy )

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta }$

y C _r es el círculo alrededor de 0 de radio r > 0. Suponga que f está acotada: es decir, existe una constante M tal que | f ( z ) | ≤ M para todo z . Podemos estimar directamente

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},}$

donde en la segunda desigualdad hemos utilizado el hecho de que | z | = r en el círculo C _r . Pero la elección de r en lo anterior es un número positivo arbitrario. Por lo tanto, si r tiende al infinito (hacemos que r tienda al infinito ya que f es analítica en todo el plano) da a _k = 0 para todo k ≥ 1. Por lo tanto, f ( z ) = a ₀ y esto prueba el teorema.

Corolarios

Teorema fundamental del álgebra

Hay una breve prueba del teorema fundamental del álgebra basada en el teorema de Liouville.

Ninguna función completa domina a otra función completa

A consecuencia del teorema es que "realmente diferentes" funciones enteras pueden no dominan entre sí, es decir, si f y g son entero, y | f | ≤ | g | en todas partes, entonces f  = α · g para algún número complejo α. Considere que para g = 0 el teorema es trivial, entonces asumimos Considere la función h  =  f / g . Basta con demostrar que h puede extenderse a una función completa, en cuyo caso el resultado sigue el teorema de Liouville. La holomorfia de h es clara excepto en los puntos en g ⁻¹ (0). Pero como h está acotada y todos los ceros de g están aislados, cualquier singularidad debe poder eliminarse. Por tanto, h puede extenderse a una función acotada completa que, según el teorema de Liouville, implica que es constante. ${\displaystyle g\neq 0.}$

Si f es menor o igual que un escalar por su entrada, entonces es lineal

Suponga que f es entero y | f ( z ) | es menor o igual que M | z |, para M un número real positivo. Podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy; tenemos eso

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M|\zeta |}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}}$

donde I es el valor de la integral restante. Esto muestra que f ′ está acotado y es completo, por lo que debe ser constante, según el teorema de Liouville. Luego, la integración muestra que f es afín y luego, al hacer referencia a la desigualdad original, tenemos que el término constante es cero.

Las funciones elípticas no constantes no se pueden definir en ℂ

El teorema también se puede utilizar para deducir que el dominio de una función elíptica no constante f no puede ser. Supongamos que lo fuera. Entonces, si un y b son dos períodos de f tal que${\displaystyle \mathbb {C} .}$a/Bno es real, considerar el paralelogramo P cuyos vértices son 0, un , b y un  +  b . Entonces la imagen de f es igual af ( P ). Dado que f es continua y P es compacta , f ( P ) también es compacta y, por lo tanto, está acotada. Entonces, f es constante.

El hecho de que el dominio de una función elíptica no constante f no pueda ser es lo que realmente demostró Liouville, en 1847, utilizando la teoría de funciones elípticas. De hecho, fue Cauchy quien demostró el teorema de Liouville. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Todas las funciones tienen imágenes densas

Si f es una función completa no constante, entonces su imagen es densa en Esto podría parecer un resultado mucho más fuerte que el teorema de Liouville, pero en realidad es un corolario fácil. Si la imagen de f no es densa, entonces hay un número complejo w y un número real r  > 0 tal que el disco abierto centrado en w con radio r no tiene ningún elemento de la imagen de f . Definir ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}.}$

Entonces g es una función entera acotada, ya que para todo z ,

${\displaystyle |g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}.}$

Entonces, g es constante y, por lo tanto, f es constante.

Sobre superficies compactas de Riemann

Cualquier función holomórfica en una superficie de Riemann compacta es necesariamente constante.

Sea holomorfo en una superficie compacta de Riemann . Por compacidad, hay un punto donde alcanza su máximo. Entonces podemos encontrar un gráfico de una vecindad de al disco unitario tal que sea ​​holomórfico en el disco unitario y tenga un máximo en , por lo que sea constante, por el principio de módulo máximo . ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p_{0}\in M}$${\displaystyle |f(p)|}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle f(\phi ^{-1}(z))}$${\displaystyle \phi (p_{0})\in \mathbb {D} }$

Observaciones

Sea la compactificación de un punto del plano complejo. En lugar de las funciones holomorfas definidas en las regiones en , se pueden considerar regiones en. Visto de esta manera, la única singularidad posible para funciones completas, definidas en es el punto ∞ . Si una función completa f está acotada en una vecindad de ∞ , entonces ∞ es una singularidad removible de f , es decir, f no puede explotar o comportarse erráticamente en ∞ . A la luz de la expansión de la serie de potencias, no es sorprendente que se mantenga el teorema de Liouville. ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$${\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \cup \{\infty \},}$

De manera similar, si una función completa tiene un polo de orden n en ∞ , es decir, su magnitud crece de manera comparable a z ⁿ en algún vecindario de ∞, entonces f es un polinomio. Esta versión ampliada del teorema de Liouville se puede enunciar con mayor precisión: si | f ( z ) | ≤ M | z ⁿ | para | z | suficientemente grande, entonces f es un polinomio de grado como máximo n . Esto se puede probar de la siguiente manera. Tomemos nuevamente la representación en serie de Taylor de f ,

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$

El argumento utilizado durante la prueba usando estimaciones de Cauchy muestra que para todo k ≥ 0 ,

${\displaystyle |a_{k}|\leq Mr^{n-k}.}$

Entonces, si k > n , entonces

${\displaystyle |a_{k}|\leq \lim _{r\to \infty }Mr^{n-k}=0.}$

Por lo tanto, a _k = 0 .

El teorema de Liouville no se extiende a las generalizaciones de números complejos conocidos como números dobles y números duales .

Ver también

• Teorema de Mittag-Leffler

Referencias

enlaces externos

• "Teorema de Liouville" . PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de delimitación de Liouville" . MathWorld .