Campo funcional de una variedad algebraica - Function field of an algebraic variety

En la geometría algebraica , el campo de función de una variedad algebraica V consiste en objetos que se interpretan como funciones racionales en V . En geometría algebraica clásica son proporciones de polinomios ; en geometría algebraica compleja, estas son funciones meromórficas y sus análogos de dimensiones superiores; en la geometría algebraica moderna son elementos del campo de fracciones de algún anillo cociente .

Definición de variedades complejas

En geometría algebraica compleja, los objetos de estudio son variedades analíticas complejas , sobre las cuales tenemos una noción local de análisis complejo , a través de la cual podemos definir funciones meromórficas. El campo de función de una variedad es entonces el conjunto de todas las funciones meromórficas de la variedad. (Como todas las funciones meromórficas, estas toman sus valores ). Junto con las operaciones de suma y multiplicación de funciones, este es un campo en el sentido del álgebra. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ infty}$

Para la esfera de Riemann , que es la variedad sobre los números complejos, las funciones meromórficas globales son exactamente las funciones racionales (es decir, las proporciones de funciones polinomiales complejas). ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

Construcción en geometría algebraica

En geometría algebraica clásica, generalizamos el segundo punto de vista. Para la esfera de Riemann, arriba, la noción de polinomio no se define globalmente, sino simplemente con respecto a un gráfico de coordenadas afines , es decir, el que consiste en el plano complejo (todos menos el polo norte de la esfera). En una variedad general V , decimos que una función racional en un subconjunto afín abierto U se define como la razón de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U , y que una función racional en todo V consta de datos locales tales como en las intersecciones de afines abiertos. Podemos definir el campo de función de V como el campo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, ya que todos esos subconjuntos son densos.

Generalización a esquema arbitrario

En el marco más general, el de la teoría de esquemas moderna , tomamos el último punto de vista anterior como punto de partida. Es decir, si es una integral esquema , a continuación, para cada subconjunto afín abierto del anillo de secciones en que es un dominio de integridad y, por lo tanto, tiene un campo de fracciones. Además, se puede verificar que todos son iguales, y todos son iguales al anillo local del punto genérico de . Por lo tanto, el campo de función de es solo el anillo local de su punto genérico. Este punto de vista se desarrolla más en el campo de funciones (teoría de esquemas) . Véase Robin Hartshorne  ( 1977 ). ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Geometría del campo funcional

Si V es una variedad definida sobre un campo K , entonces el campo de función K ( V ) es una extensión de campo generada finitamente del campo de tierra K ; su grado de trascendencia es igual a la dimensión de la variedad. Todas las extensiones de K que se generan finitamente como campos sobre K surgen de esta manera de alguna variedad algebraica. Estas extensiones de campo también se conocen como campos de funciones algebraicas más de K .

Las propiedades de la variedad V que dependen únicamente del campo de función se estudian en geometría biracional .

Ejemplos de

El campo de función de un punto sobre K es K .

El campo de función de la línea afín sobre K es isomorfo al campo K ( t ) de funciones racionales en una variable. Este es también el campo de función de la línea proyectiva .

Considere la curva plana afín definida por la ecuación . Su campo de función es el campo K ( x , y ), generado por los elementos de x y y que son trascendental sobre K y satisfacen la relación algebraica . ${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {5} +1}$${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {5} +1}$

Ver también

• Campo de función (teoría de esquemas) : una generalización
• Campo de función algebraica
• Divisor cartier

Referencias

• David M. Goldschmidt (2002). Funciones algebraicas y curvas proyectivas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 215 . Springer-Verlag. ISBN 0-387-95432-5.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157 , OCLC  13348052, sección II.3 Primeras propiedades de los esquemas, ejercicio 3.6