Esfera de Riemann - Riemann sphere

La esfera de Riemann se puede visualizar como el plano numérico complejo envuelto alrededor de una esfera (mediante alguna forma de proyección estereográfica ; los detalles se dan a continuación).

En matemáticas , la esfera de Riemann , llamada así por Bernhard Riemann , es un modelo del plano complejo extendido , el plano complejo más un punto en el infinito . Este plano extendido representa los números complejos extendidos , es decir, los números complejos más un valor ∞ para infinito . Con el modelo de Riemann, el punto "∞" está cerca de números muy grandes, al igual que el punto "0" está cerca de números muy pequeños.

Los números complejos extendidos son útiles en el análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, de una manera que hace que expresiones como se comporten bien . Por ejemplo, cualquier función racional en el plano complejo puede extenderse a una función holomórfica en la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeando al infinito. De manera más general, cualquier función meromórfica se puede considerar como una función holomórfica cuyo codominio es la esfera de Riemann.

En geometría , la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann y es una de las variedades complejas más simples . En geometría proyectiva , la esfera se puede considerar como la línea proyectiva compleja P 1 ( C ), el espacio proyectivo de todas las líneas complejas en C 2 . Al igual que con cualquier superficie compacta de Riemann, la esfera también puede verse como una curva algebraica proyectiva , lo que la convierte en un ejemplo fundamental en geometría algebraica . También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y la geometría, como la esfera de Bloch de la mecánica cuántica y en otras ramas de la física .

El plano complejo extendido también se denomina plano complejo cerrado .

Números complejos extendidos

Los números complejos extendidos consisten en los números complejos C junto con ∞. El conjunto de números complejos extendidos puede escribirse como C ∪ {∞}, y a menudo se denota agregando algo de decoración a la letra C , como

Geométricamente, el conjunto de números complejos extendidos se conoce como la esfera de Riemann (o plano complejo extendido ).

Operaciones aritmeticas

La suma de números complejos puede ampliarse definiendo, para zC ,

para cualquier número complejo z , y la multiplicación se puede definir por

para todos los números complejos z distintos de cero , con ∞ × ∞ = ∞ . Tenga en cuenta que ∞ - ∞ y 0 × ∞ se dejan sin definir . A diferencia de los números complejos, los números complejos extendidos no forman un campo , ya que no tiene un inverso aditivo ni multiplicativo . No obstante, es habitual definir la división en C ∪ {∞ } por

para todos los números complejos distintos de cero z con /0= ∞ y0/= 0 . Los cocientes0/0 y / quedan sin definir.

Funciones racionales

Cualquier función racional f ( z ) =g ( z )/h ( z )(en otras palabras, f ( z ) es la razón de las funciones polinomiales g ( z ) y h ( z ) de z con coeficientes complejos, de modo que g ( z ) y h ( z ) no tienen un factor común) se puede extender a una función continua en la esfera de Riemann. Específicamente, si z 0 es un número complejo tal que el denominador h ( z 0 ) es cero pero el numerador g ( z 0 ) es distinto de cero, entonces f ( z 0 ) se puede definir como ∞. Además, f (∞) se puede definir como el límite de f ( z ) como z → ∞ , que puede ser finito o infinito.

El conjunto de funciones racionales complejas, cuyo símbolo matemático es C ( z ), forma todas las funciones holomórficas posibles desde la esfera de Riemann hasta sí misma, cuando se ve como una superficie de Riemann , excepto por la función constante que toma el valor ∞ en todas partes. Las funciones de C ( z ) forman un campo algebraico, conocido como el campo de funciones racionales en la esfera .

Por ejemplo, dada la función

podemos definir f (± 5) = ∞ , ya que el denominador es cero en z = ± 5 , y f (∞) = 3 ya que f ( z ) → 3 cuando z → ∞ . Usando estas definiciones, f se convierte en una función continua de la esfera de Riemann a sí misma.

Como una variedad compleja

Como un colector complejo unidimensional, la esfera de Riemann puede ser descrita por dos gráficos, tanto con el dominio igual al número plano complejo C . Dejar que ζ ser un número complejo en una copia de C , y dejar que ξ ser un número complejo en otra copia de C . Identificar cada número complejo distinto de cero ζ de la primera C con el número complejo distinto de cero1/ξde la segunda C . Entonces el mapa

se denomina mapa de transición entre las dos copias de C , los llamados gráficos , uniéndolos. Dado que los mapas de transición son holomórficos , definen una variedad compleja, llamada esfera de Riemann . Como variedad compleja de 1 dimensión compleja (es decir, 2 dimensiones reales), también se denomina superficie de Riemann .

Intuitivamente, los mapas de transición indican cómo unir dos planos para formar la esfera de Riemann. Los planos están pegados "de adentro hacia afuera", de modo que se superponen en casi todas partes, y cada plano contribuye con un solo punto (su origen) que falta del otro plano. En otras palabras, (casi) todos los puntos de la esfera de Riemann tienen tanto un valor ζ como un valor ξ , y los dos valores están relacionados por ζ =1/ξ. El punto donde ξ = 0 debería tener ζ -valor "1/0"; en este sentido, el origen del gráfico ξ juega el papel de" ∞ "en el gráfico ζ . Simétricamente, el origen del gráfico ζ juega el papel de ∞ en el gráfico ξ .

Topológicamente , el espacio resultante es la compactación de un punto de un plano en la esfera. Sin embargo, la esfera de Riemann no es simplemente una esfera topológica. Es una esfera con un bien definido estructura compleja , de modo que en cada punto de la esfera existe un entorno que puede ser biholomorphically identificado con C .

Por otro lado, el teorema de uniformización , un resultado central en la clasificación de superficies de Riemann, establece que cada superficie de Riemann simplemente conectada es biholomórfica al plano complejo, el plano hiperbólico o la esfera de Riemann. De estos, la esfera de Riemann es la única que es una superficie cerrada (una superficie compacta sin límite ). Por lo tanto, la esfera bidimensional admite una estructura compleja única que la convierte en una variedad compleja unidimensional.

Como la compleja línea proyectiva

La esfera de Riemann también se puede definir como la línea proyectiva compleja . Los puntos de la línea proyectiva compleja son clases de equivalencia establecidas por la siguiente relación en puntos de C 2 \ {(0,0)}:

Si para algún λ ≠ 0, w = λ u y z = λ v , entonces

En este caso, la clase de equivalencia se escribe [ w, z ] usando coordenadas proyectivas . Dado cualquier punto [ w, z ] en la línea de proyectivo complejo, uno de w y z debe ser distinto de cero, decir w ≠ 0. Entonces por la relación de equivalencia,

que está en un gráfico para la variedad de esferas de Riemann.

Este tratamiento de la esfera de Riemann se conecta más fácilmente a la geometría proyectiva. Por ejemplo, cualquier línea (o cónica suave) en el plano proyectivo complejo es biholomórfica con respecto a la línea proyectiva compleja. También es conveniente para estudiar los automorfismos de la esfera , más adelante en este artículo.

Como una esfera

Proyección estereográfica de un número complejo A sobre un punto α de la esfera de Riemann

La esfera de Riemann se puede visualizar como la esfera unitaria x 2  +  y 2  +  z 2  = 1 en el espacio real tridimensional R 3 . Para ello, considere la proyección estereográfica desde la esfera unitaria menos el punto (0, 0, 1) sobre el plano z  = 0, que identificamos con el plano complejo por ζ = x + iy . En coordenadas cartesianas ( x , y , z ) y coordenadas esféricas ( θ , φ ) en la esfera (con θ el cenit y φ el acimut ), la proyección es

De manera similar, la proyección estereográfica desde (0, 0, −1) sobre el plano z = 0 , identificado con otra copia del plano complejo por ξ = x - iy , se escribe

Para cubrir la esfera unitaria, se necesitan las dos proyecciones estereográficas: la primera cubrirá toda la esfera excepto el punto (0, 0, 1) y la segunda excepto el punto  (0, 0, -1) . Por lo tanto, se necesitan dos planos complejos, uno para cada proyección, que pueden verse intuitivamente como pegados uno tras otro en  z = 0 . Tenga en cuenta que los dos planos complejos se identifican de manera diferente con el plano z = 0 . Una inversión de orientación es necesaria para mantener una orientación consistente en la esfera y, en particular, la conjugación compleja hace que los mapas de transición sean holomórficos.

Los mapas de transición entre las coordenadas ζ y las coordenadas ξ se obtienen componiendo una proyección con la inversa de la otra. Resultan ser ζ =1/ξy ξ =1/ζ, como se describió anteriormente. Por tanto, la esfera unitaria es difeomórfica de la esfera de Riemann.

Bajo este difeomorfismo, se identifican el círculo unitario en el gráfico ζ , el círculo unitario en el gráfico ξ y el ecuador de la esfera unitaria. El disco de la unidad | ζ | <1 se identifica con el hemisferio sur z <0 , mientras que el disco unitario | ξ | <1 se identifica con el hemisferio norte  z > 0 .

Métrico

Una superficie Riemann no viene equipada con ninguna métrica Riemanniana en particular . Sin embargo, la estructura conforme de la superficie de Riemann determina una clase de métricas: todas aquellas cuya estructura conforme subordinada es la dada. Más detalladamente: la estructura compleja de la superficie de Riemann determina de forma única una métrica hasta la equivalencia conforme . (Se dice que dos métricas son conformemente equivalentes si difieren por multiplicación por una función suave positiva ). A la inversa, cualquier métrica en una superficie orientada determina de forma única una estructura compleja, que depende de la métrica sólo hasta la equivalencia conforme. Por lo tanto, las estructuras complejas en una superficie orientada están en correspondencia uno a uno con las clases de métricas conformes en esa superficie.

Dentro de una clase conforme dada, se puede usar la simetría conforme para encontrar una métrica representativa con propiedades convenientes. En particular, siempre hay una métrica completa con curvatura constante en cualquier clase conforme dada.

En el caso de la esfera de Riemann, la de Gauss-Bonnet teorema implica que una métrica de curvatura constante positiva debe tener curvatura K . De ello se deduce que la métrica debe ser isométrica a la esfera de radio.1/Ken R 3 mediante proyección estereográfica. En el gráfico ζ de la esfera de Riemann, la métrica con K = 1 está dada por

En coordenadas reales ζ = u + iv , la fórmula es

Hasta un factor constante, esta métrica concuerda con la métrica estándar de Fubini-Study sobre el espacio proyectivo complejo (de la cual la esfera de Riemann es un ejemplo).

Hasta el escalamiento, esta es la única métrica en la esfera cuyo grupo de isometrías que preservan la orientación es tridimensional (y ninguna es más que tridimensional); ese grupo se llama SO (3) . En este sentido, esta es, con mucho, la métrica más simétrica de la esfera. (El grupo de todas las isometrías, conocido como O (3) , también es tridimensional, pero a diferencia de SO (3) no es un espacio conectado).

A la inversa, denote S la esfera (como una variedad lisa o topológica abstracta ). Según el teorema de la uniformización, existe una estructura compleja única en S , hasta la equivalencia conforme. De ello se deduce que cualquier métrica en S es conforme a la métrica redonda . Todas estas métricas determinan la misma geometría conforme. Por tanto, la métrica redonda no es intrínseca a la esfera de Riemann, ya que la "redondez" no es una invariante de la geometría conforme. La esfera de Riemann es solo una variedad conforme , no una variedad de Riemann . Sin embargo, si uno necesita hacer geometría riemanniana en la esfera de Riemann, la métrica redonda es una opción natural (con cualquier radio fijo, aunque radio = 1 es la opción más simple y común). Esto se debe a que solo una métrica redonda en la esfera de Riemann tiene su grupo de isometría en un grupo tridimensional. (Es decir, el grupo conocido como SO (3) , un grupo continuo ("Mentira") que es topológicamente el espacio proyectivo tridimensional P 3. )

Automorfismos

Una transformación de Möbius que actúa sobre la esfera y sobre el plano por proyección estereográfica.

El estudio de cualquier objeto matemático es ayudado por la comprensión de su grupo de automorfismos, es decir, los mapas del objeto a sí mismo que preservan la estructura esencial del objeto. En el caso de la esfera de Riemann, un automorfismo es un mapa conforme invertible (es decir, mapa biholomórfico) de la esfera de Riemann a sí mismo. Resulta que los únicos mapas de este tipo son las transformaciones de Möbius . Estas son funciones de la forma

donde una , b , c , y d son números complejos tales que ad - bc ≠ 0 . Los ejemplos de transformaciones de Möbius incluyen dilataciones , rotaciones , traslaciones e inversión compleja. De hecho, cualquier transformación de Möbius puede escribirse como una composición de estos.

Las transformaciones de Möbius son homografías en la compleja línea proyectiva. En coordenadas proyectivas , la transformación f se puede escribir

Por tanto, las transformaciones de Möbius pueden describirse como matrices complejas de 2 × 2 con determinante distinto de cero . Dado que actúan sobre coordenadas proyectivas, dos matrices producen la misma transformación de Möbius si y solo si difieren en un factor distinto de cero. El grupo de transformaciones de Möbius es el grupo lineal proyectivo PGL (2, C ) .

Si se dota a la esfera de Riemann con la métrica de Fubini-Study , entonces no todas las transformaciones de Möbius son isometrías; por ejemplo, las dilataciones y traslaciones no lo son. Las isometrías forman un subgrupo adecuado de PGL (2, C ) , a saber, PSU (2). Este subgrupo es isomorfo al grupo de rotación SO (3) , que es el grupo de simetrías de la esfera unitaria en R 3 (que, cuando se restringen a la esfera, se convierten en las isometrías de la esfera).

Aplicaciones

En el análisis complejo, una función meromórfica en el plano complejo (o en cualquier superficie de Riemann, para el caso) es una relación F/gramode dos funciones holomorfas f y g . Como mapa de los números complejos, no está definido donde g es cero. Sin embargo, induce un mapa holomórfico ( f , g ) a la línea proyectiva compleja que está bien definida incluso donde g = 0 . Esta construcción es útil en el estudio de funciones holomorfas y meromorfas. Por ejemplo, en una superficie compacta de Riemann no hay mapas holomórficos no constantes para los números complejos, pero abundan los mapas holomórficos para la línea proyectiva compleja.

La esfera de Riemann tiene muchos usos en física. En mecánica cuántica, los puntos en la línea proyectiva compleja son valores naturales para estados de polarización de fotones , estados de espín de partículas masivas de espín. 1/2y partículas de 2 estados en general (ver también Bit cuántico y esfera de Bloch ). La esfera de Riemann se ha sugerido como un modelo relativista para la esfera celeste . En la teoría de cuerdas , las hojas del mundo de las cuerdas son superficies de Riemann, y la esfera de Riemann, que es la superficie de Riemann más simple, juega un papel importante. También es importante en la teoría de twistor .

Ver también

Referencias

enlaces externos