Dominio fundamental - Fundamental domain

Dado un espacio topológico y un grupo actuando sobre él, las imágenes de un solo punto bajo la acción grupal forman una órbita de la acción. Un dominio fundamental o región fundamental es un subconjunto del espacio que contiene exactamente un punto de cada una de estas órbitas. Sirve como realización geométrica para el conjunto abstracto de representantes de las órbitas.

Hay muchas formas de elegir un dominio fundamental. Normalmente, se requiere que un dominio fundamental sea un subconjunto conectado con algunas restricciones en su límite, por ejemplo, liso o poliédrico. Las imágenes de un dominio fundamental elegido bajo la acción de grupo luego en mosaico el espacio. Una construcción general de dominios fundamentales utiliza células de Voronoi .

Sugerencias para una definición general

Una celosía en el plano complejo y su dominio fundamental, con cociente un toro.

Dada una acción de un grupo G sobre un espacio topológico X por homeomorfismos , un dominio fundamental para esta acción es un conjunto D de representantes de las órbitas. Por lo general, se requiere que sea un conjunto razonablemente agradable topológicamente, en una de varias formas definidas con precisión. Una condición típica es que D es casi un conjunto abierto, en el sentido de que D es la diferencia simétrica de un conjunto abierto en X con un conjunto de medida cero , para un determinado (cuasi) invariante medida en X . Un dominio fundamental siempre contiene un conjunto regular libre U , un conjunto abierto movido por G en copias disjuntas y casi tan bueno como D en la representación de las órbitas. Con frecuencia se requiere que D sea ​​un conjunto completo de representantes de clases laterales con algunas repeticiones, pero la parte repetida tiene medida cero. Ésta es una situación típica en la teoría ergódica . Si se usa un dominio fundamental para calcular una integral en X / G , los conjuntos de medida cero no importan.

Por ejemplo, cuando X es el espacio euclidiano R n de dimensión n , y G es el entramado Z n que actúa sobre él mediante traslaciones, el cociente X / G es el toro n- dimensional . Un dominio fundamental D aquí puede tomarse como [0,1) n , que difiere del conjunto abierto (0,1) n por un conjunto de medida cero, o el cubo unitario cerrado [0,1] n , cuyo límite se compone de los puntos cuyas órbita tiene más de un representante en D .

Ejemplos de

Ejemplos en el espacio euclidiano tridimensional R 3 .

  • para rotación de n pliegues: una órbita es un conjunto de n puntos alrededor del eje, o un solo punto en el eje; el dominio fundamental es un sector
  • para la reflexión en un plano: una órbita es un conjunto de 2 puntos, uno a cada lado del plano, o un solo punto en el plano; el dominio fundamental es un medio espacio limitado por ese plano
  • para la reflexión en un punto: una órbita es un conjunto de 2 puntos, uno a cada lado del centro, excepto una órbita, que consta únicamente del centro; el dominio fundamental es un medio espacio limitado por cualquier plano que pasa por el centro
  • para una rotación de 180 ° alrededor de una línea: una órbita es un conjunto de 2 puntos opuestos entre sí con respecto al eje, o un solo punto en el eje; el dominio fundamental es un medio espacio limitado por cualquier plano a través de la línea
  • para simetría de traslación discreta en una dirección: las órbitas se trasladan de un retículo 1D en la dirección del vector de traslación; el dominio fundamental es una losa infinita
  • para simetría de traslación discreta en dos direcciones: las órbitas se trasladan de un retículo bidimensional en el plano a través de los vectores de traslación; el dominio fundamental es una barra infinita con sección transversal paralelogramática
  • para simetría de traslación discreta en tres direcciones: las órbitas son traslaciones del enrejado; el dominio fundamental es una celda primitiva que es, por ejemplo, un paralelepípedo o una celda de Wigner-Seitz , también llamada celda / diagrama de Voronoi .

En el caso de la simetría de traslación combinada con otras simetrías, el dominio fundamental es parte de la celda primitiva. Por ejemplo, para los grupos de papel tapiz, el dominio fundamental es un factor 1, 2, 3, 4, 6, 8 o 12 más pequeño que la celda primitiva.

Dominio fundamental para el grupo modular

Cada región triangular es un conjunto regular libre de H / Γ; el gris (con el tercer punto del triángulo en el infinito) es el dominio fundamental canónico.

El diagrama de la parte derecha muestra de la construcción del dominio fundamental para la acción del grupo modular Γ en el semiplano superior H .

Este famoso diagrama aparece en todos los libros clásicos sobre funciones modulares . (Probablemente CF Gauss lo conocía bien , quien se ocupó de los dominios fundamentales bajo la apariencia de la teoría de la reducción de las formas cuadráticas ). Aquí, cada región triangular (delimitada por las líneas azules) es un conjunto regular libre de la acción de Γ sobre H . Los límites (las líneas azules) no forman parte de los conjuntos regulares libres. Para construir un dominio fundamental de H / Γ, también se debe considerar cómo asignar puntos en el límite, teniendo cuidado de no contar dos veces tales puntos. Por lo tanto, el conjunto regular gratuito en este ejemplo es

El dominio fundamental se construye agregando el límite de la izquierda más la mitad del arco en la parte inferior, incluido el punto en el medio:

La elección de qué puntos del límite incluir como parte del dominio fundamental es arbitraria y varía de un autor a otro.

La dificultad central de definir el dominio fundamental no radica tanto en la definición del conjunto per se , sino más bien en cómo tratar integrales sobre el dominio fundamental, al integrar funciones con polos y ceros en el límite del dominio.

Ver también

enlaces externos

  • Weisstein, Eric W. "Dominio fundamental" . MathWorld .