Lista de politopos y compuestos regulares - List of regular polytopes and compounds

Ejemplo de politopos regulares

Polígonos regulares (2D)
Convexo	Estrella
{5}	{5/2}
Poliedros regulares (3D)
Convexo	Estrella
{5,3}	{5 / 2,5}
Teselaciones 2D regulares
Euclidiana	Hiperbólico
{4,4}	{5,4}
Politopos 4D regulares
Convexo	Estrella
{5,3,3}	{5 / 2,5,3}
Teselaciones 3D regulares
Euclidiana	Hiperbólico
{4,3,4}	{5,3,4}

Este artículo enumera los politopos regulares y los compuestos de politopos regulares en espacios euclidianos , esféricos e hiperbólicos .

El símbolo de Schläfli describe cada teselación regular de una n -esfera, espacios euclidianos e hiperbólicos. Un símbolo de Schläfli que describe un n -politopo describe de manera equivalente una teselación de una ( n  - 1) -esfera. Además, la simetría de un politopo o teselación regular se expresa como un grupo de Coxeter , que Coxeter expresó de manera idéntica al símbolo de Schläfli, excepto delimitando por corchetes, una notación que se llama notación de Coxeter . Otro símbolo relacionado es el diagrama de Coxeter-Dynkin que representa un grupo de simetría sin anillos, y representa un politopo o teselación regular con un anillo en el primer nodo. Por ejemplo, el cubo tiene el símbolo de Schläfli {4,3}, y con su simetría octaédrica , [4,3] o, está representado por el diagrama de Coxeter .

Los politopos regulares están agrupados por dimensión y subgrupos por formas convexas, no convexas e infinitas. Las formas no convexas utilizan los mismos vértices que las formas convexas, pero tienen facetas que se cruzan . Las formas infinitas teselan un espacio euclidiano de una dimensión inferior.

Las formas infinitas se pueden extender para teselar un espacio hiperbólico . El espacio hiperbólico es como el espacio normal a pequeña escala, pero las líneas paralelas divergen a distancia. Esto permite que las figuras de vértices tengan defectos de ángulos negativos , como hacer un vértice con siete triángulos equiláteros y dejar que quede plano. No se puede hacer en un plano regular, pero se puede hacer a la escala correcta de un plano hiperbólico.

Una definición más general de politopos regulares que no tienen símbolos simples de Schläfli incluye politopos sesgados regulares y apeirótopos sesgados regulares con facetas no planas o figuras de vértice .

Visión general

Esta tabla muestra un resumen de los recuentos de politopos regulares por dimensión.

Oscuro.	Finito			Euclidiana	Hiperbólico			Compuestos
					Compacto		Paracompacto
	Convexo	Estrella	Sesgar	Convexo	Convexo	Estrella	Convexo	Convexo	Estrella
1	1	ninguno	ninguno	1	ninguno	ninguno	ninguno	ninguno	ninguno
2	${\ Displaystyle \ infty}$	${\ Displaystyle \ infty}$	${\ Displaystyle \ infty}$	1	1	ninguno	ninguno	${\ Displaystyle \ infty}$	${\ Displaystyle \ infty}$
3	5	4	?	3	${\ Displaystyle \ infty}$	${\ Displaystyle \ infty}$	${\ Displaystyle \ infty}$	5	ninguno
4	6	10	?	1	4	ninguno	11	26	20
5	3	ninguno	?	3	5	4	2	ninguno	ninguno
6	3	ninguno	?	1	ninguno	ninguno	5	ninguno	ninguno
7	3	ninguno	?	1	ninguno	ninguno	ninguno	3	ninguno
8	3	ninguno	?	1	ninguno	ninguno	ninguno	6	ninguno
9+	3	ninguno	?	1	ninguno	ninguno	ninguno		ninguno

No hay teselaciones de estrellas regulares euclidianas en ninguna cantidad de dimensiones.

Una dimensión

Un diagrama de Coxeter representa "planos" espejo como nodos, y pone un anillo alrededor de un nodo si un punto no está en el plano. Un dión {},, es un punto py su imagen especular, el punto p ' , y el segmento de línea entre ellos.

Un politopo unidimensional o 1-politopo es un segmento de línea cerrada , delimitado por sus dos extremos. Un 1-politopo es regular por definición y está representado por el símbolo de Schläfli {}, o un diagrama de Coxeter con un solo nodo anillado,. Norman Johnson lo llama dion y le da el símbolo Schläfli {}.

Aunque trivial como politopo, aparece como los bordes de polígonos y otros politopos de mayor dimensión. Se utiliza en la definición de prismas uniformes como el símbolo de Schläfli {} × {p} o el diagrama de Coxeter.como un producto cartesiano de un segmento de línea y un polígono regular.

Dos dimensiones (polígonos)

Los politopos bidimensionales se denominan polígonos . Los polígonos regulares son equiláteros y cíclicos . Un polígono regular p-gonal está representado por el símbolo de Schläfli {p}.

Por lo general, solo los polígonos convexos se consideran regulares, pero los polígonos en estrella , como el pentagrama , también se pueden considerar regulares. Usan los mismos vértices que las formas convexas, pero se conectan en una conectividad alternativa que pasa alrededor del círculo más de una vez para completarse.

Los polígonos en estrella deben llamarse no convexos en lugar de cóncavos porque los bordes que se cruzan no generan nuevos vértices y todos los vértices existen en el límite de un círculo.

Convexo

El símbolo de Schläfli {p} representa un p -gon regular .

Nombre	Triángulo ( 2-simplex )	Cuadrado ( 2 ortoplex ) ( 2 cubos )	Pentágono ( politopo 2-pentagonal )	Hexágono	Heptágono	Octágono
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Simetría	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D 8 , [8]
Coxeter
Imagen
Nombre	Nonagon (eneágono)	Decágono	Endecágono	Dodecágono	Tridecágono	Tetradecágono
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Simetría	D 9 , [9]	D 10 , [10]	D 11 , [11]	D 12 , [12]	D 13 , [13]	D 14 , [14]
Dynkin
Imagen
Nombre	Pentadecágono	Hexadecágono	Heptadecágono	Octadecágono	Eneadecágono	Icoságono	... p-gon
Schläfli	{15}	{dieciséis}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ p }
Simetría	D 15 , [15]	D 16 , [16]	D 17 , [17]	D 18 , [18]	D 19 , [19]	D 20 , [20]	D p , [p]
Dynkin
Imagen

Esférico

El digón regular {2} puede considerarse un polígono regular degenerado . Se puede realizar de forma no degenerada en algunos espacios no euclidianos, como en la superficie de una esfera o toro .

Nombre	Monogon	Excavar
Símbolo de Schläfli	{1}	{2}
Simetría	D 1 , []	D 2 , [2]
Diagrama de Coxeter	o
Imagen

Estrellas

Existen infinitos politopos de estrellas regulares en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales { n / m }. Se llaman polígonos en estrella y comparten la misma disposición de vértices de los polígonos regulares convexos.

En general, para cualquier número natural n , hay estrellas poligonales regulares de estrella de n puntas con símbolos de Schläfli { n / m } para todo m tal que m < n / 2 (estrictamente hablando { n / m } = { n / ( n - m )}) ym y n son coprimos (como tales, todas las estelaciones de un polígono con un número primo de lados serán estrellas regulares). Casos en los que m y n no son primos entre sí se llaman polígonos compuestos .

Nombre	Pentagrama	Heptagramas		Octagrama	Eneagramas		Decagramo	... n-gramos
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{2/9}	{9/4}	{10/3}	{ p / q }
Simetría	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D 8 , [8]	D 9 , [9],		D 10 , [10]	D p , [ p ]
Coxeter
Imagen

Polígonos de estrella regulares hasta 20 lados

{2/11}	{11/3}	{4/11}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Pueden existir polígonos de estrellas que solo pueden existir como mosaicos esféricos, de manera similar a monogon y digon (por ejemplo: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9 / 5}), sin embargo, estos no parecen haber sido estudiados en detalle.

También existen polígonos estelares fallidos , como el triángulo , que no cubren la superficie de un círculo un número finito de veces.

Polígonos sesgados

En el espacio tridimensional, un polígono sesgado regular se denomina polígono antiprismático , con la disposición de vértice de un antiprisma y un subconjunto de aristas, en zigzag entre los polígonos superior e inferior.

Ejemplo de polígonos en zig-zag con sesgo regular

Hexágono	Octágono	Decagones
D 3d , [2 + , 6]	D 4d , [2 + , 8]	D 5d , [2 + , 10]
{3} # {}	{4} # {}	{5} # {}	{5/2} # {}	{5/3} # {}

En 4 dimensiones, un polígono sesgado regular puede tener vértices en un toro de Clifford y estar relacionados por un desplazamiento de Clifford . A diferencia de los polígonos de sesgo antipismáticos, los polígonos de sesgo en rotaciones dobles pueden incluir un número impar de lados.

Se pueden ver en los polígonos de Petrie de los 4 politopos regulares convexos , vistos como polígonos planos regulares en el perímetro de la proyección del plano de Coxeter:

Pentágono	Octágono	Dodecágono	Triacontagon
5 celdas	16 celdas	24 celdas	600 celdas

Tres dimensiones (poliedros)

En tres dimensiones, los politopos se denominan poliedros :

Un poliedro regular con el símbolo de Schläfli {p, q}, diagramas de Coxeter, tiene un tipo de cara regular {p} y una figura de vértice regular {q}.

Una figura de vértice (de un poliedro) es un polígono, visto conectando esos vértices que están a un borde de un vértice dado. Para poliedros regulares , esta figura de vértice es siempre un polígono regular (y plano).

La existencia de un poliedro regular {p, q} está restringida por una desigualdad, relacionada con el defecto del ángulo de la figura del vértice :

${\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}}> {\ frac {1} {2}}: {\ text {Poliedro (existente en 3 espacios euclidianos)}} \\ [6pt] & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {2}}: {\ text {Mosaico del plano euclidiano}} \\ [6pt] & {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} <{\ frac {1} {2}}: {\ text {Hiperbólico mosaico plano}} \ end {alineado}}}$

Al enumerar las permutaciones , encontramos cinco formas convexas, cuatro formas de estrella y tres teselaciones planas, todas con polígonos {p} y {q} limitados a: {3}, {4}, {5}, {5/2}, y {6}.

Más allá del espacio euclidiano, hay un conjunto infinito de teselaciones hiperbólicas regulares.

Convexo

Los cinco poliedros regulares convexos se denominan sólidos platónicos . La figura del vértice se da con cada recuento de vértices. Todos estos poliedros tienen una característica de Euler (χ) de 2.

Nombre	Schläfli {p, q}	Coxeter	Imagen (sólida)	Imagen (esfera)	Caras {p}	Bordes	Vértices {q}	Simetría	Doble
Tetraedro ( 3-simplex )	{3,3}				4 {3}	6	4 {3}	T d [3,3] (* 332)	(uno mismo)
Hexaedro Cubo ( 3-cubo )	{4,3}				6 {4}	12	8 {3}	O h [4,3] (* 432)	Octaedro
Octaedro ( 3-ortoplex )	{3,4}				8 {3}	12	6 {4}	O h [4,3] (* 432)	Cubo
Dodecaedro	{5,3}				12 {5}	30	20 {3}	Yo h [5,3] (* 532)	Icosaedro
Icosaedro	{3,5}				20 {3}	30	12 {5}	Yo h [5,3] (* 532)	Dodecaedro

Esférico

En la geometría esférica , existen poliedros esféricos regulares ( mosaicos de la esfera ) que de otro modo se degenerarían como politopos. Estos son los hosohedra {2, n} y su dihedra dual {n, 2}. Coxeter llama a estos casos teselados "incorrectos".

Los primeros casos (n de 2 a 6) se enumeran a continuación.

Hosohedra

Nombre	Schläfli {2, p}	Diagrama de Coxeter	Imagen (esfera)	Caras {2} π / p	Bordes	Vértices {p}	Simetría	Doble
Hosoedro digonal	{2,2}			2 {2} π / 2	2	2 {2} π / 2	D 2 h [2,2] (* 222)	Uno mismo
Hosoedro trigonal	{2,3}			3 {2} π / 3	3	2 {3}	D 3 h [2,3] (* 322)	Diedro trigonal
Hosoedro cuadrado	{2,4}			4 {2} π / 4	4	2 {4}	D 4 h [2,4] (* 422)	Diedro cuadrado
Hosoedro pentagonal	{2,5}			5 {2} π / 5	5	2 {5}	D 5 h [2,5] (* 522)	Diedro pentagonal
Hosoedro hexagonal	{2,6}			6 {2} π / 6	6	2 {6}	D 6 h [2,6] (* 622)	Diedro hexagonal

Dihedra

Nombre	Schläfli {p, 2}	Diagrama de Coxeter	Imagen (esfera)	Caras {p}	Bordes	Vértices {2}	Simetría	Doble
Diedro digonal	{2,2}			2 {2} π / 2	2	2 {2} π / 2	D 2 h [2,2] (* 222)	Uno mismo
Diedro trigonal	{3,2}			2 {3}	3	3 {2} π / 3	D 3 h [3,2] (* 322)	Hosoedro trigonal
Diedro cuadrado	{4,2}			2 {4}	4	4 {2} π / 4	D 4 h [4,2] (* 422)	Hosoedro cuadrado
Diedro pentagonal	{5,2}			2 {5}	5	5 {2} π / 5	D 5 h [5,2] (* 522)	Hosoedro pentagonal
Diedro hexagonal	{6,2}			2 {6}	6	6 {2} π / 6	D 6 h [6,2] (* 622)	Hosoedro hexagonal

Star-dihedra y hosohedra { p / q , 2} y {2, p / q } también existen para cualquier polígono estelar { p / q }.

Estrellas

Los poliedros de estrellas regulares se denominan poliedros de Kepler-Poinsot y hay cuatro de ellos, según la disposición de los vértices del dodecaedro {5,3} y el icosaedro {3,5}:

Como mosaicos esféricos , estas formas de estrellas se superponen a la esfera varias veces, lo que se denomina densidad , siendo 3 o 7 para estas formas. Las imágenes de mosaico muestran una sola cara poligonal esférica en amarillo.

Nombre	Imagen (esquelética)	Imagen (sólida)	Imagen (esfera)	Diagrama de estelación	Schläfli {p, q} y Coxeter	Caras {p}	Bordes	Vértices {q} verf.	χ	Densidad	Simetría	Doble
Pequeño dodecaedro estrellado					{5 / 2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	−6	3	Yo h [5,3] (* 532)	Gran dodecaedro
Gran dodecaedro					{5,5 / 2}	12 {5}	30	12 {5/2}	−6	3	Yo h [5,3] (* 532)	Pequeño dodecaedro estrellado
Gran dodecaedro estrellado					{5 / 2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Yo h [5,3] (* 532)	Gran icosaedro
Gran icosaedro					{3,5 / 2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Yo h [5,3] (* 532)	Gran dodecaedro estrellado

Hay infinitos poliedros estelares fallidos . Estos también son mosaicos esféricos con polígonos de estrellas en sus símbolos de Schläfli, pero no cubren una esfera finita muchas veces. Algunos ejemplos son {5 / 2,4}, {5 / 2,9}, {7 / 2,3}, {5 / 2,5 / 2}, {7 / 2,7 / 3}, {4, 5/2} y {3,7 / 3}.

Poliedros sesgados

Los poliedros de sesgo regulares son generalizaciones al conjunto de poliedros regulares que incluyen la posibilidad de figuras de vértice no planas .

Para poliedros oblicuos de 4 dimensiones, Coxeter ofreció un símbolo de Schläfli modificado {l, m | n} para estas figuras, con {l, m} implicando la figura del vértice , m l-gons alrededor de un vértice y n agujeros angulares. Sus figuras de vértice son polígonos sesgados , zigzagueando entre dos planos.

Los poliedros de sesgo regular, representados por {l, m | n}, siguen esta ecuación:

2 sin (π / l) sin (π / m) = cos (π / n)

Cuatro de ellos se pueden ver en 4 dimensiones como un subconjunto de caras de cuatro 4 politopos regulares , que comparten la misma disposición de vértices y disposición de bordes :

{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}

Cuatro dimensiones

Los 4 politopos regulares con el símbolo de Schläfli tienen celdas de tipo , caras de tipo , figuras de borde y figuras de vértice . ${\ Displaystyle \ {p, q, r \}}$${\ Displaystyle \ {p, q \}}$${\ Displaystyle \ {p \}}$${\ Displaystyle \ {r \}}$${\ Displaystyle \ {q, r \}}$

• Una figura de vértice (de un politopo 4) es un poliedro, visto por la disposición de los vértices vecinos alrededor de un vértice dado. Para 4 politopos regulares, esta figura de vértice es un poliedro regular.
• Una figura de borde es un polígono, visto por la disposición de caras alrededor de un borde. Para 4 politopos regulares, esta figura de borde siempre será un polígono regular.

La existencia de un politopo 4 regular está limitada por la existencia de poliedros regulares . Un nombre sugerido para los 4-politopos es "policoron". ${\ Displaystyle \ {p, q, r \}}$${\ Displaystyle \ {p, q \}, \ {q, r \}}$

Cada uno existirá en un espacio que depende de esta expresión:

${\ Displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {p}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {r}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {q}} \ derecha)}$

${\ Displaystyle> 0}$ : Nido de abeja hiperesférico de 3 espacios o 4 politopos

${\ displaystyle = 0}$ : Nido de abeja euclidiana de 3 espacios

${\ Displaystyle <0}$ : Nido de abeja hiperbólico de 3 espacios

Estas restricciones permiten 21 formas: 6 son convexas, 10 son no convexas, una es un panal euclidiano de 3 espacios y 4 son panales hiperbólicos.

La característica de Euler para 4 politopos convexos es cero: ${\ Displaystyle \ chi}$${\ Displaystyle \ chi = V + FEC = 0}$

Convexo

Los 6 politopos regulares convexos se muestran en la siguiente tabla. Todos estos 4-politopos tienen una característica de Euler (χ) de 0.

Nombre	Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Celdas {p, q}	Caras {p}	Bordes {r}	Vértices {q, r}	Dual {r, q, p}
5 celdas ( 4 símplex )	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(uno mismo)
8 celdas ( 4 cubos ) (Tesseract)	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16 celdas
16 celdas ( 4 ortoplex )	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	Tesseract
24 celdas	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(uno mismo)
120 celdas	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 celdas
600 celdas	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 celdas

5 celdas	8 celdas	16 celdas	24 celdas	120 celdas	600 celdas
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Proyecciones ortográficas sesgadas de estructura alámbrica ( polígono de Petrie )
Proyecciones ortográficas sólidas
envoltura tetraédrica ( centrada en la celda / vértice)	envolvente cúbica (centrada en la celda)	envolvente cúbica (centrada en la celda)	envoltura cuboctaédrica (centrada en la celda)	envoltura triacontaedro rómbica truncada (centrada en la celda)	Pentakis icosidodecahedral envolvente (vértice centrado)
Diagramas de Schlegel de estructura alámbrica ( proyección en perspectiva )
(centrado en la celda)	(centrado en la celda)	(centrado en la celda)	(centrado en la celda)	(centrado en la celda)	(centrado en el vértice)
De carcasa proyección estereográfica ( hiperesférico )

Esférico

Los di-4-topes y hoso-4-topes existen como teselaciones regulares de las 3 esferas .

Los di-4-topes regulares (2 facetas) incluyen: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2 }, {p, 2,2}, y sus hoso-4-tope duales (2 vértices): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2, 3,5}, {2,5,3}, {2,2, p }. Los 4 politopos de la forma {2, p , 2} son iguales que {2,2, p }. También están los casos { p , 2, q } que tienen células diédricas y figuras de vértices hosoédricos.

Hoso-4-topes regulares como panales de 3 esferas

Schläfli {2, p , q }	Coxeter	Celdas {2, p } π / q	Caras {2} π / p , π / q	Bordes	Vértices	Figura de vértice { p , q }	Simetría	Doble
{2,3,3}		4 {2,3} π / 3	6 {2} π / 3, π / 3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4} π / 3	12 {2} π / 4, π / 3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3} π / 4	12 {2} π / 3, π / 4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5} π / 3	30 {2} π / 5, π / 3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3} π / 5	30 {2} π / 3, π / 5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Estrellas

Hay diez 4-politopos en estrella regulares , que se denominan 4-politopos de Schläfli-Hess . Sus vértices se basan en los convexos de 120 celdas {5,3,3} y de 600 celdas {3,3,5} .

Ludwig Schläfli encontró cuatro de ellos y se saltó los últimos seis porque no permitía formas que fallaran en la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (para tori de agujero cero: F + V − E = 2). Edmund Hess (1843-1903) completó la lista completa de diez en su libro alemán Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883) [1] .

Hay 4 arreglos de bordes únicos y 7 arreglos de caras únicos de estos 10 politopos de 4 estrellas regulares, que se muestran como proyecciones ortogonales :

Nombre	Estructura alámbrica	Sólido	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Celdas {p, q}	Caras {p}	Bordes {r}	Vértices {q, r}	Densidad	χ	Grupo de simetría	Dual {r, q, p}
120 células icosaédricas (600 células facetadas)			{3,5,5 / 2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5 / 2}	4	480	H 4 [5,3,3]	120 celdas pequeñas estrelladas
120 celdas pequeñas estrelladas			{5 / 2,5,3}	120 {5 / 2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	H 4 [5,3,3]	Icosaédrico de 120 celdas
Gran 120 celdas			{5,5 / 2,5}	120 {5,5 / 2}	720 {5}	720 {5}	120 {5 / 2,5}	6	0	H 4 [5,3,3]	Auto-dual
Gran 120 celdas			{5,3,5 / 2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5 / 2}	20	0	H 4 [5,3,3]	Gran 120 celdas estrelladas
Gran 120 celdas estrelladas			{5 / 2,3,5}	120 {5 / 2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H 4 [5,3,3]	Gran 120 celdas
Gran 120 celdas estrelladas			{5 / 2,5,5 / 2}	120 {5 / 2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5 / 2}	66	0	H 4 [5,3,3]	Auto-dual
Gran gran 120 celdas			{5,5 / 2,3}	120 {5,5 / 2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5 / 2,3}	76	−480	H 4 [5,3,3]	Gran icosaédrico de 120 celdas
Gran icosaédrico de 120 celdas (gran facetado de 600 celdas)			{3,5 / 2,5}	120 {3,5 / 2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5 / 2,5}	76	480	H 4 [5,3,3]	Gran gran 120 celdas
Grand 600 celdas			{3,3,5 / 2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5 / 2}	191	0	H 4 [5,3,3]	Gran gran 120 celdas estrelladas
Gran gran 120 celdas estrelladas			{5 / 2,3,3}	120 {5 / 2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H 4 [5,3,3]	Grand 600 celdas

Hay 4 posibles permutaciones de 4 politopos de estrellas regulares fallidas : {3,5 / 2,3}, {4,3,5 / 2}, {5 / 2,3,4}, {5 / 2,3,5 / 2}. Sus células y figuras de vértices existen, pero no cubren una hiperesfera con un número finito de repeticiones.

Cinco y más dimensiones

En cinco dimensiones , un politopo regular se puede nombrar como donde es el tipo de 4 caras, es el tipo de celda, es el tipo de cara y es la figura de la cara, es la figura del borde y es la figura del vértice. ${\ Displaystyle \ {p, q, r, s \}}$${\ Displaystyle \ {p, q, r \}}$${\ Displaystyle \ {p, q \}}$${\ Displaystyle \ {p \}}$${\ Displaystyle \ {s \}}$${\ Displaystyle \ {r, s \}}$${\ Displaystyle \ {q, r, s \}}$

Una figura de vértice (de un 5-politopo) es un 4-politopo, visto por la disposición de los vértices vecinos a cada vértice.

Una figura de borde (de un politopo 5) es un poliedro, visto por la disposición de caras alrededor de cada borde.

Una figura de cara (de un politopo 5) es un polígono, visto por la disposición de las celdas alrededor de cada cara.

Un 5-politopo regular existe solo si y son 4-politopos regulares. ${\ Displaystyle \ {p, q, r, s \}}$${\ Displaystyle \ {p, q, r \}}$${\ Displaystyle \ {q, r, s \}}$

El espacio en el que encaja se basa en la expresión:

${\ Displaystyle {\ frac {\ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {q}} \ right)} {\ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {p }} \ right)}} + {\ frac {\ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {r}} \ right)} {\ sin ^ {2} \ left ({\ frac { \ pi} {s}} \ right)}}}$

${\ Displaystyle <1}$ : Teselación esférica de 4 espacios o politopo de 5 espacios

${\ displaystyle = 1}$ : Teselación euclidiana de 4 espacios

${\ Displaystyle> 1}$ : teselación hiperbólica de 4 espacios

La enumeración de estas restricciones produce 3 politopos convexos, cero politopos no convexos, 3 mosaicos de 4 espacios y 5 mosaicos hiperbólicos de 4 espacios. No hay politopos regulares no convexos en cinco dimensiones o más.

Convexo

En las dimensiones 5 y superiores, solo hay tres tipos de politopos regulares convexos.

Nombre	Símbolo de Schläfli {p 1 , ..., p n −1 }	Coxeter	k- caras	Tipo de faceta	Figura de vértice	Doble
n -simplex	{3 n −1 }	...	${\ Displaystyle {{n + 1} \ Choose {k + 1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −2 }	Auto-dual
n -cube	{4,3 n −2 }	...	${\ Displaystyle 2 ^ {nk} {n \ elige k}}$	{4,3 n −3 }	{3 n −2 }	n -ortoplejo
n -ortoplejo	{3 n −2 , 4}	...	${\ Displaystyle 2 ^ {k + 1} {n \ Choose {k + 1}}}$	{3 n −2 }	{3 n −3 , 4}	n -cube

También hay casos impropios donde algunos números en el símbolo de Schläfli son 2. Por ejemplo, {p, q, r, ... 2} es un politopo esférico regular incorrecto siempre que {p, q, r ...} es un politopo esférico, y {2, ... p, q, r} es un politopo esférico regular incorrecto siempre que {... p, q, r} es un politopo esférico regular. Tales politopos también pueden usarse como facetas, dando formas tales como {p, q, ... 2 ... y, z}.

5 dimensiones

Nombre	Símbolo de Schläfli {p, q, r, s} Coxeter	Facetas {p, q, r}	Celdas {p, q}	Caras {p}	Bordes	Vértices	Figura {s} de la cara	Figura de borde {r, s}	Figura de vértice {q, r, s}
5 simplex	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5 cubos	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ortoplex	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5 simplex

5 cubos

5-ortoplex

6 dimensiones

Nombre	Schläfli	Vértices	Bordes	Caras	Células	4 caras	5 caras	χ
6-simplex	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7	0
6 cubos	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	0
6-ortoplex	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64	0

6-simplex

6 cubos

6-ortoplex

7 dimensiones

Nombre	Schläfli	Vértices	Bordes	Caras	Células	4 caras	5 caras	6 caras	χ
7-simplex	{3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	2
7 cubos	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	2
7-ortoplex	{3,3,3,3,3,4}	14	84	280	560	672	448	128	2

7-simplex

7 cubos

7-ortoplex

8 dimensiones

Nombre	Schläfli	Vértices	Bordes	Caras	Células	4 caras	5 caras	6 caras	7 caras	χ
8 simplex	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9	0
8 cubos	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	dieciséis	0
8-ortoplex	{3,3,3,3,3,3,4}	dieciséis	112	448	1120	1792	1792	1024	256	0

8 simplex

8 cubos

8-ortoplex

9 dimensiones

Nombre	Schläfli	Vértices	Bordes	Caras	Células	4 caras	5 caras	6 caras	7 caras	8 caras	χ
9 simplex	{3 8 }	10	45	120	210	252	210	120	45	10	2
9 cubos	{4,3 7 }	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	2
9-ortoplex	{3 7 , 4}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9 simplex

9 cubos

9-ortoplex

10 dimensiones

Nombre	Schläfli	Vértices	Bordes	Caras	Células	4 caras	5 caras	6 caras	7 caras	8 caras	9 caras	χ
10-simplex	{3 9 }	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	0
10 cubos	{4,3 8 }	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	0
10-ortoplex	{3 8 , 4}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	0

10-simplex

10 cubos

10-ortoplex

...

No convexo

No hay politopos regulares no convexos en cinco dimensiones o más, excluyendo los hosótopos formados a partir de politopos regulares no convexos de dimensiones inferiores.

Politopos proyectivos regulares

Un politopo proyectivo regular ( n +1) existe cuando una teselación n- esférica regular original , {p, q, ...}, es centralmente simétrica . Tal politopo se llama hemi- {p, q, ...} y contiene la mitad de elementos. Coxeter da un símbolo {p, q, ...} / 2, mientras que McMullen escribe {p, q, ...} _{h / 2} con h como número de coxeter .

Incluso pentagonales polígonos regulares tienen hemi 2n polígonos -gon proyectivas, {2p} / 2.

Hay 4 poliedros proyectivos regulares relacionados con 4 de 5 sólidos platónicos .

El hemi-cubo y hemi-octaedro generalizar como hemi- n -cubes y hemi- n - orthoplexes en cualesquiera dimensiones.

Poliedros proyectivos regulares

Hemi-politopos regulares tridimensionales

Nombre	Coxeter McMullen	Imagen	Caras	Bordes	Vértices	χ
Hemicubo	{4,3} / 2 {4,3} 3		3	6	4	1
Hemi-octaedro	{3,4} / 2 {3,4} 3		4	6	3	1
Hemidodecaedro	{5,3} / 2 {5,3} 5		6	15	10	1
Hemi-icosaedro	{3,5} / 2 {3,5} 5		10	15	6	1

4-politopos proyectivos regulares

En 4 dimensiones, 5 de 6 4 politopos regulares convexos generan 4 politopos proyectivos. Los 3 casos especiales son hemi-24-celdas, hemi-600-celdas y hemi-120-celdas.

Hemi-politopos regulares de 4 dimensiones

Nombre	Símbolo de coxeter	Símbolo de McMullen	Células	Caras	Bordes	Vértices	χ
Hemi- tesseract	{4,3,3} / 2	{4,3,3} 4	4	12	dieciséis	8	0
Hemi- 16 celdas	{3,3,4} / 2	{3,3,4} 4	8	dieciséis	12	4	0
Hemi- 24 celdas	{3,4,3} / 2	{3,4,3} 6	12	48	48	12	0
Hemi- 120 celdas	{5,3,3} / 2	{5,3,3} 15	60	360	600	300	0
Hemi- 600 celdas	{3,3,5} / 2	{3,3,5} 15	300	600	360	60	0

5-politopos proyectivos regulares

Solo hay 2 hemi-politopos proyectivos regulares convexos en dimensiones 5 o más.

Nombre	Schläfli	4 caras	Células	Caras	Bordes	Vértices	χ
hemi- penteract	{4,3,3,3} / 2	5	20	40	40	dieciséis	1
hemi pentacross	{3,3,3,4} / 2	dieciséis	40	40	20	5	1

Apeirotopos

Un apeirotopo o politopo infinito es un politopo que tiene infinitas facetas . Un n -apeirotopo es un n -politopo infinito : un 2-apeirotopo o apeirogon es un polígono infinito, un 3-apeirotopo o apeiroedro es un poliedro infinito, etc.

Hay dos clases geométricas principales de apeirotopo:

• Panales regulares en n dimensiones, que llenan por completo un espacio n -dimensional.
• Regular apeirotopes skew , que comprende un n colector -dimensional en un espacio superior.

Una dimensión (apeirogons)

El apeirogon recto es una teselación regular de la línea, que la subdivide en infinitos segmentos iguales. Tiene infinitos vértices y aristas. Su símbolo de Schläfli es {∞}, y el diagrama de Coxeter.

... ...

Existe como el límite del p -gon cuando p tiende a infinito, como sigue:

Nombre	Monogon	Excavar	Triángulo	Cuadrado	Pentágono	Hexágono	Heptágono	p-gon	Apeirogon
Schläfli	{1}	{2}	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{ p }	{∞}
Simetría	D 1 , []	D 2 , [2]	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	[pag]
Coxeter	o
Imagen

Los apeirogones en el plano hiperbólico , más notablemente el apeirogon regular , {∞}, pueden tener una curvatura como los polígonos finitos del plano euclidiano, con los vértices circunscritos por horociclos o hiperciclos en lugar de círculos .

Los apeirogones regulares que están escalados para converger en el infinito tienen el símbolo {∞} y existen en horociclos, mientras que, de manera más general, pueden existir en hiperciclos.

{∞}	{πi / λ}
Apeirogon en horociclo	Apeirogon en hiperciclo

Arriba hay dos apeirogones hiperbólicos regulares en el modelo del disco de Poincaré , el de la derecha muestra líneas de reflexión perpendiculares de dominios fundamentales divergentes , separados por la longitud λ.

Apeirogons sesgados

Un apeirogon sesgado en dos dimensiones forma una línea en zig-zag en el plano. Si el zig-zag es uniforme y simétrico, entonces el apeirogon es regular.

Los apeirogons oblicuos se pueden construir en cualquier número de dimensiones. En tres dimensiones, un apeirogon oblicuo regular traza una espiral helicoidal y puede ser zurdo o diestro.

2 dimensiones	3 dimensiones
Apeirogon en zig-zag	Helix apeirogon

Dos dimensiones (apeiroedros)

Azulejos euclidianos

Hay tres teselados regulares del plano. Los tres tienen una característica de Euler (χ) de 0.

Nombre	Azulejos cuadrados (cuadrilla)	Azulejos triangulares (deltille)	Azulejos hexagonales (hextille)
Simetría	p4m, [4,4], (* 442)	p6m, [6,3], (* 632)
Schläfli {p, q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Diagrama de Coxeter
Imagen

Hay dos teselaciones regulares incorrectas: {∞, 2}, un diedro apeirogonal , hecho de dos apeirogons , cada uno de los cuales llena la mitad del plano; y en segundo lugar, su dual, {2, ∞}, un hosoedro apeirogonal , visto como un conjunto infinito de líneas paralelas.

{∞, 2} ,

{2, ∞} ,

Azulejos estelares euclidianos

No hay mosaicos planos regulares de polígonos estelares . Hay muchas enumeraciones que encajan en el plano (1 / p + 1 / q = 1/2), como {8 / 3,8}, {10 / 3,5}, {5 / 2,10}, {12 / 5,12}, etc., pero ninguno se repite periódicamente.

Azulejos hiperbólicos

Las teselaciones del espacio 2 hiperbólico son teselaciones hiperbólicas . Hay infinitas teselaciones regulares en H ² . Como se indicó anteriormente, cada par de enteros positivos { p , q } tal que 1 / p  + 1 / q <1/2 da un mosaico hiperbólico. De hecho, para el triángulo de Schwarz general ( p ,  q ,  r ) lo mismo es válido para 1 / p  + 1 / q  + 1 / r <1.

Hay varias formas diferentes de mostrar el plano hiperbólico, incluido el modelo de disco de Poincaré que mapea el plano en un círculo, como se muestra a continuación. Debe reconocerse que todas las caras del polígono en los mosaicos de abajo tienen el mismo tamaño y solo parecen hacerse más pequeñas cerca de los bordes debido a la proyección aplicada, muy similar al efecto de una lente de ojo de pez de una cámara .

Hay infinitos 3-apeirotopos regulares planos (apeiroedros) como teselaciones regulares del plano hiperbólico, de la forma {p, q}, con p + q <pq / 2. (anteriormente enumerados anteriormente como teselaciones)

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3, ∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4, ∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5, ∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6, ∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7, ∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8, ∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9, ∞}
• ...
• {∞, 3}, {∞, 4}, {∞, 5} ... {∞, ∞}

Una muestra:

Mesa de embaldosado hiperbólico regular v t mi
Teselaciones esféricas (impropias / platónicas) / euclidianas / hiperbólicas (disco de Poincaré: compacto / paracompacto / no compacto ) con su símbolo de Schläfli
p \ q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ / λ
2	{2 , 2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2, ∞}		{2, iπ / λ}
3	{3,2}	( tetraedro ) {3,3}	( octaedro ) {3,4}	( icosaedro ) {3,5}	( deltille ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3, ∞}		{3, iπ / λ}
4	{4,2}	( cubo ) {4,3}	( cuadrilla ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4, ∞}		{4, iπ / λ}
5	{5,2}	( dodecaedro ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5, ∞}		{5, iπ / λ}
6	{6,2}	( hextilla ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6, ∞}		{6, iπ / λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7, ∞}		{7, iπ / λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8, ∞}		{8, iπ / λ}
...
∞	{∞, 2}	{∞, 3}	{∞, 4}	{∞, 5}	{∞, 6}	{∞, 7}	{∞, 8}	{∞, ∞}	{∞, iπ / λ}
...
iπ / λ	{iπ / λ, 2}	{iπ / λ, 3}	{iπ / λ, 4}	{iπ / λ, 5}	{iπ / λ, 6}	{iπ / λ, 7}	{iπ / λ, 8}	{iπ / λ, ∞}	{iπ / λ, iπ / λ}

Azulejos de estrellas hiperbólicos

Hay 2 formas infinitas de teselaciones hiperbólicas cuyas caras o figuras de vértice son polígonos de estrellas: { m / 2, m } y sus duales { m , m / 2} con m = 7, 9, 11, .... El { m / 2, m } mosaicos son estelaciones de los { m , 3} mosaicos, mientras que los mosaicos duales { m , m / 2} son facetas de los {3, m } mosaicos y engrandecimientos de los { m , 3} mosaicos.

Los patrones { m / 2, m } y { m , m / 2} continúan para m impar <7 como poliedros : cuando m = 5, obtenemos el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro , y cuando m = 3, el caso degenera a un tetraedro . Los otros dos poliedros de Kepler-Poinsot (el gran dodecaedro estrellado y el gran icosaedro ) no tienen análogos de mosaicos hiperbólicos regulares. Si m es par, dependiendo de cómo decidamos definir { m / 2}, podemos obtener cubiertas dobles degeneradas de otros revestimientos o revestimientos compuestos .

Nombre	Schläfli	Diagrama de Coxeter	Imagen	Tipo de rostro {p}	Figura de vértice {q}	Densidad	Simetría	Doble
Revestimiento heptagrammico Order-7	{7 / 2,7}			{7/2}	{7}	3	* 732 [7,3]	Revestimiento heptagonal de orden heptagrammico
Revestimiento heptagonal de orden heptagrammico	{7,7 / 2}			{7}	{7/2}	3	* 732 [7,3]	Revestimiento heptagrammico Order-7
Mosaico eneagrammico de orden 9	{9 / 2,9}			{2/9}	{9}	3	* 932 [9,3]	Mosaico enneagonal de orden eneagrammico
Mosaico enneagonal de orden eneagrammico	{9,9 / 2}			{9}	{2/9}	3	* 932 [9,3]	Mosaico eneagrammico de orden 9
Revestimiento hendecagrammic Order-11	{11 / 2,11}			{2/11}	{11}	3	* 11.3.2 [11,3]	Revestimiento hendecagonal de orden hendecagrammico
Revestimiento hendecagonal de orden hedecagrammico	{11,11 / 2}			{11}	{2/11}	3	* 11.3.2 [11,3]	Revestimiento hendecagrammic Order-11
Orden- p p -mosaico gramatical	{ p / 2, p }			{ p / 2}	{ p }	3	* p. 32 [p, 3]	p -orden -grammic p embaldosado -gonal
p -orden -grammic p embaldosado -gonal	{ p , p / 2}			{ p }	{ p / 2}	3	* p. 32 [p, 3]	Orden- p p -mosaico gramatical

Inclinar el apeiroedro en el espacio tridimensional euclidiano

Hay tres apeiroedros oblicuos regulares en el espacio tridimensional euclidiano, con figuras de vértices poligonales oblicuos regulares . Comparten la misma disposición de vértices y de bordes de 3 panales uniformes convexos .

• 6 cuadrados alrededor de cada vértice: {4,6 | 4}
• 4 hexágonos alrededor de cada vértice: {6,4 | 4}
• 6 hexágonos alrededor de cada vértice: {6,6 | 3}

Poliedros oblicuos regulares
{4,6 | 4}	{6,4 | 4}	{6,6 | 3}

Hay treinta apeiroedros regulares en el espacio tridimensional euclidiano. Estos incluyen los enumerados anteriormente, así como otros 8 apeiroedros "puros", todos relacionados con el panal cúbico, {4,3,4}, y otros tienen caras poligonales sesgadas: {6,6} ₄ , {4,6} ₄ , {6,4} ₆ , {∞, 3} ^a , {∞, 3} ^b , {∞, 4} ^{. * 3} , {∞, 4} _6,4 , {∞, 6} _4,4 , y {∞, 6} _6,3 .

Apeiroedros sesgados en 3 espacios hiperbólicos

Hay 31 apeiroedros oblicuos regulares en 3 espacios hiperbólicos:

• 14 son compactos: {8,10 | 3}, {10,8 | 3}, {10,4 | 3}, {4,10 | 3}, {6,4 | 5}, {4,6 | 5 }, {10,6 | 3}, {6,10 | 3}, {8,8 | 3}, {6,6 | 4}, {10,10 | 3}, {6,6 | 5}, {8,6 | 3} y {6,8 | 3}.
• 17 son paracompactos: {12,10 | 3}, {10,12 | 3}, {12,4 | 3}, {4,12 | 3}, {6,4 | 6}, {4,6 | 6 }, {8,4 | 4}, {4,8 | 4}, {12,6 | 3}, {6,12 | 3}, {12,12 | 3}, {6,6 | 6}, {8,6 | 4}, {6,8 | 4}, {12,8 | 3}, {8,12 | 3} y {8,8 | 4}.

Tres dimensiones (4 apeirotopos)

Teselaciones del espacio tridimensional euclidiano

Solo hay una teselación regular no degenerada de 3 espacios ( panales ), {4, 3, 4}:

Nombre	Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura de borde {r}	Figura de vértice {q, r}	χ	Doble
Panal cúbico	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	Auto-dual

Teselaciones inadecuadas del espacio tridimensional euclidiano

Hay seis mosaicos regulares incorrectos, pares basados ​​en los tres mosaicos euclidianos regulares. Sus celdas y figuras de vértices son todos hosoedros regulares {2, n}, dihedra , {n, 2} y mosaicos euclidianos. Estos mosaicos regulares incorrectos están relacionados constructivamente con panales uniformes prismáticos mediante operaciones de truncamiento. Son análogos de dimensiones superiores del mosaico apeirogonal de orden 2 y del hosoedro apeirogonal .

Schläfli {p, q, r}	Diagrama de Coxeter	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura de borde {r}	Figura de vértice {q, r}
{2,4,4}		{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}		{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}		{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}		{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}		{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}		{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Teselaciones de 3 espacios hiperbólicos

Hay diez panales regulares planos de 3 espacios hiperbólicos: (anteriormente enumerados anteriormente como teselaciones)

• 4 son compactos: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} y {5,3,5}
• mientras que 6 son paracompactos: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3, 6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} y {6,3,6}.

4 panales regulares compactos {5,3,4} {5,3,5} {4,3,5} {3,5,3}

4 de 11 panales regulares paracompactos {3,4,4} {3,6,3} {4,4,3} {4,4,4}

Los mosaicos de 3 espacios hiperbólicos se pueden llamar panales hiperbólicos . Hay 15 panales hiperbólicos en H ³ , 4 compactos y 11 paracompactos.

4 panales regulares compactos

Nombre	Símbolo de Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura de borde {r}	Figura de vértice {q, r}	χ	Doble
Panal icosaédrico	{3,5,3}		{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	0	Auto-dual
Nido de abeja cúbica Order-5	{4,3,5}		{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	0	{5,3,4}
Nido de abeja dodecaédrico Order-4	{5,3,4}		{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	0	{4,3,5}
Nido de abeja dodecaédrico Order-5	{5,3,5}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	Auto-dual

También hay 11 panales paracompactos H ³ (aquellos con celdas infinitas (euclidianas) y / o figuras de vértices): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4, 4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3, 5} y {6,3,6}.

11 panales regulares paracompactos

Nombre	Símbolo de Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura de borde {r}	Figura de vértice {q, r}	χ	Doble
Nido de abeja tetraédrico Order-6	{3,3,6}		{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	0	{6,3,3}
Nido de abeja de baldosas hexagonales	{6,3,3}		{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	0	{3,3,6}
Nido de abeja octaédrico Order-4	{3,4,4}		{3,4}	{3}	{4}	{4,4}	0	{4,4,3}
Nido de abeja de baldosas cuadradas	{4,4,3}		{4,4}	{4}	{3}	{4,3}	0	{3,3,4}
Nido de abeja de baldosas triangulares	{3,6,3}		{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	0	Auto-dual
Nido de abeja cúbico Order-6	{4,3,6}		{4,3}	{4}	{4}	{3,6}	0	{6,3,4}
Nido de abeja de baldosas hexagonales Order-4	{6,3,4}		{6,3}	{6}	{4}	{3,4}	0	{4,3,6}
Nido de abeja de baldosas cuadradas Order-4	{4,4,4}		{4,4}	{4}	{4}	{4,4}	0	{4,4,4}
Nido de abeja dodecaédrico Order-6	{5,3,6}		{5,3}	{5}	{5}	{3,6}	0	{6,3,5}
Nido de abeja de baldosas hexagonales Order-5	{6,3,5}		{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	0	{5,3,6}
Nido de abeja de baldosas hexagonales Order-6	{6,3,6}		{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	0	Auto-dual

Las soluciones no compactas existen como grupos Lorentzian Coxeter y pueden visualizarse con dominios abiertos en el espacio hiperbólico (el tetraedro fundamental tiene algunas partes inaccesibles más allá del infinito). Todos los panales con células hiperbólicas o figuras de vértices y no tienen 2 en su símbolo de Schläfli son no compactos.

Panales esféricos (impropios / platónicos) / euclidianos / hiperbólicos ( compactos / paracompactos / no compactos) {p, 3, r}

{ p , 3} \ r	2	3	4	5	6	7	8	... ∞
{2,3}	{2,3,2}	{2,3,3}	{2,3,4}	{2,3,5}	{2,3,6}	{2,3,7}	{2,3,8}	{2,3, ∞}
{3,3}	{3,3,2}	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	{3,3, ∞}
{4,3}	{4,3,2}	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	{4,3, ∞}
{5,3}	{5,3,2}	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	{5,3, ∞}
{6,3}	{6,3,2}	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	{6,3, ∞}
{7,3}	{7,3,2}	{7,3,3}	{7,3,4}	{7,3,5}	{7,3,6}	{7,3,7}	{7,3,8}	{7,3, ∞}
{8,3}	{8,3,2}	{8,3,3}	{8,3,4}	{8,3,5}	{8,3,6}	{8,3,7}	{8,3,8}	{8,3, ∞}
... {∞, 3}	{∞, 3,2}	{∞, 3,3}	{∞, 3,4}	{∞, 3,5}	{∞, 3,6}	{∞, 3,7}	{∞, 3,8}	{∞, 3, ∞}

{p, 4, r} { p , 4} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,4} {2,4,2} {2,4,3} {2,4,4} {2,4,5} {2,4,6} {2,4, ∞} {3,4} {3,4,2} {3,4,3} {3,4,4} {3,4,5} {3,4,6} {3,4, ∞} {4,4} {4,4,2} {4,4,3} {4,4,4} {4,4,5} {4,4,6} {4,4, ∞} {5,4} {5,4,2} {5,4,3} {5,4,4} {5,4,5} {5,4,6} {5,4, ∞} {6,4} {6,4,2} {6,4,3} {6,4,4} {6,4,5} {6,4,6} {6,4, ∞} {∞, 4} {∞, 4,2} {∞, 4,3} {∞, 4,4} {∞, 4,5} {∞, 4,6} {∞, 4, ∞}

{p, 5, r} { p , 5} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,5} {2,5,2} {2,5,3} {2,5,4} {2,5,5} {2,5,6} {2,5, ∞} {3,5} {3,5,2} {3,5,3} {3,5,4} {3,5,5} {3,5,6} {3,5, ∞} {4,5} {4,5,2} {4,5,3} {4,5,4} {4,5,5} {4,5,6} {4,5, ∞} {5,5} {5,5,2} {5,5,3} {5,5,4} {5,5,5} {5,5,6} {5,5, ∞} {6,5} {6,5,2} {6,5,3} {6,5,4} {6,5,5} {6,5,6} {6,5, ∞} {∞, 5} {∞, 5,2} {∞, 5,3} {∞, 5,4} {∞, 5,5} {∞, 5,6} {∞, 5, ∞}

{p, 6, r} { p , 6} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,6} {2,6,2} {2,6,3} {2,6,4} {2,6,5} {2,6,6} {2,6, ∞} {3,6} {3,6,2} {3,6,3} {3,6,4} {3,6,5} {3,6,6} {3,6, ∞} {4,6} {4,6,2} {4,6,3} {4,6,4} {4,6,5} {4,6,6} {4,6, ∞} {5,6} {5,6,2} {5,6,3} {5,6,4} {5,6,5} {5,6,6} {5,6, ∞} {6,6} {6,6,2} {6,6,3} {6,6,4} {6,6,5} {6,6,6} {6,6, ∞} {∞, 6} {∞, 6,2} {∞, 6,3} {∞, 6,4} {∞, 6,5} {∞, 6,6} {∞, 6, ∞}

{ p , 7, r } { p , 7} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,7} {2,7,2} {2,7,3} {2,7,4} {2,7,5} {2,7,6} {2,7, ∞} {3,7} {3,7,2} {3,7,3} {3,7,4} {3,7,5} {3,7,6} {3,7, ∞} {4,7} {4,7,2} {4,7,3} {4,7,4} {4,7,5} {4,7,6} {4,7, ∞} {5,7} {5,7,2} {5,7,3} {5,7,4} {5,7,5} {5,7,6} {5,7, ∞} {6,7} {6,7,2} {6,7,3} {6,7,4} {6,7,5} {6,7,6} {6,7, ∞} {∞, 7} {∞, 7,2} {∞, 7,3} {∞, 7,4} {∞, 7,5} {∞, 7,6} {∞, 7, ∞}

{p, 8, r} { p , 8} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,8} {2,8,2} {2,8,3} {2,8,4} {2,8,5} {2,8,6} {2,8, ∞} {3,8} {3,8,2} {3,8,3} {3,8,4} {3,8,5} {3,8,6} {3,8, ∞} {4,8} {4,8,2} {4,8,3} {4,8,4} {4,8,5} {4,8,6} {4,8, ∞} {5,8} {5,8,2} {5,8,3} {5,8,4} {5,8,5} {5,8,6} {5,8, ∞} {6,8} {6,8,2} {6,8,3} {6,8,4} {6,8,5} {6,8,6} {6,8, ∞} {∞, 8} {∞, 8,2} {∞, 8,3} {∞, 8,4} {∞, 8,5} {∞, 8,6} {∞, 8, ∞}

{p, ∞, r} { p , ∞} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2, ∞} {2, ∞, 2} {2, ∞, 3} {2, ∞, 4} {2, ∞, 5} {2, ∞, 6} {2, ∞, ∞} {3, ∞} {3, ∞, 2} {3, ∞, 3} {3, ∞, 4} {3, ∞, 5} {3, ∞, 6} {3, ∞, ∞} {4, ∞} {4, ∞, 2} {4, ∞, 3} {4, ∞, 4} {4, ∞, 5} {4, ∞, 6} {4, ∞, ∞} {5, ∞} {5, ∞, 2} {5, ∞, 3} {5, ∞, 4} {5, ∞, 5} {5, ∞, 6} {5, ∞, ∞} {6, ∞} {6, ∞, 2} {6, ∞, 3} {6, ∞, 4} {6, ∞, 5} {6, ∞, 6} {6, ∞, ∞} {∞, ∞} {∞, ∞, 2} {∞, ∞, 3} {∞, ∞, 4} {∞, ∞, 5} {∞, ∞, 6} {∞, ∞, ∞}

No hay panales de estrellas hiperbólicos regulares en H ³ : todas las formas con un poliedro de estrella regular como celda, figura de vértice o ambas terminan siendo esféricas.

Cuatro dimensiones (5-apeirotopos)

Teselaciones de 4 espacios euclidianos

Hay tres tipos de teselaciones regulares infinitas ( panales ) que pueden teselar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones:

3 panales euclidianos regulares

Nombre	Símbolo de Schläfli {p, q, r, s}	Tipo de faceta {p, q, r}	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura {s} de la cara	Figura de borde {r, s}	Figura de vértice {q, r, s}	Doble
Nido de abeja tesseractic	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	Auto-dual
Panal de 16 celdas	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
Panal de 24 celdas	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

Porción proyectada de {4,3,3,4} (panal Tesseractic)

Porción proyectada de {3,3,4,3} (panal de 16 celdas)

Porción proyectada de {3,4,3,3} (panal de 24 celdas)

También están los dos casos incorrectos {4,3,4,2} y {2,4,3,4}.

Hay tres panales planos regulares de 4 espacios euclidianos:

• {4,3,3,4}, {3,3,4,3} y {3,4,3,3}.

Hay siete panales convexos regulares planos de 4 espacios hiperbólicos:

• 5 son compactos: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}
• 2 son paracompactos: {3,4,3,4} y {4,3,4,3}.

Hay cuatro panales de estrellas planas regulares de 4 espacios hiperbólicos:

• {5 / 2,5,3,3}, {3,3,5,5 / 2}, {3,5,5 / 2,5} y {5,5 / 2,5,3}.

Teselaciones de 4 espacios hiperbólicos

Hay siete panales regulares convexos y cuatro panales en estrella en el espacio H ⁴ . Cinco convexos son compactos y dos son paracompactos.

Cinco panales regulares compactos en H ⁴ :

5 panales regulares compactos

Nombre	Símbolo de Schläfli {p, q, r, s}	Tipo de faceta {p, q, r}	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura {s} de la cara	Figura de borde {r, s}	Figura de vértice {q, r, s}	Doble
Order-5 nido de abeja de 5 celdas	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
Panal de 120 celdas	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Nido de abeja teseractica Order-5	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
Order-4 nido de abeja de 120 celdas	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
Order-5 nido de abeja de 120 celdas	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Auto-dual

Los dos panales paracompactos regulares H ⁴ son: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

2 panales regulares paracompactos

Nombre	Símbolo de Schläfli {p, q, r, s}	Tipo de faceta {p, q, r}	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura {s} de la cara	Figura de borde {r, s}	Figura de vértice {q, r, s}	Doble
Order-4 nido de abeja de 24 celdas	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
Panal de nido de abeja cúbico	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

Las soluciones no compactas existen como grupos Lorentzian Coxeter y se pueden visualizar con dominios abiertos en el espacio hiperbólico (las 5 celdas fundamentales tienen algunas partes inaccesibles más allá del infinito). Todos los panales que no se muestran en el conjunto de tablas a continuación y que no tienen 2 en su símbolo Schläfli son no compactos.

Panales esféricos / euclidianos / hiperbólicos ( compactos / paracompactos / no compactos ) {p, q, r, s}
q = 3, s = 3 p \ r 3 4 5 3 {3,3,3,3} {3,3,4,3} {3,3,5,3} 4 {4,3,3,3} {4,3,4,3} {4,3,5,3} 5 {5,3,3,3} {5,3,4,3} {5,3,5,3}	q = 3, s = 4 p \ r 3 4 3 {3,3,3,4} {3,3,4,4} 4 {4,3,3,4} {4,3,4,4} 5 {5,3,3,4} {5,3,4,4}	q = 3, s = 5 p \ r 3 4 3 {3,3,3,5} {3,3,4,5} 4 {4,3,3,5} {4,3,4,5} 5 {5,3,3,5} {5,3,4,5}
q = 4, s = 3 p \ r 3 4 3 {3,4,3,3} {3,4,4,3} 4 {4,4,3,3} {4,4,4,3}	q = 4, s = 4 p \ r 3 4 3 {3,4,3,4} {3,4,4,4} 4 {4,4,3,4} {4,4,4,4}	q = 4, s = 5 p \ r 3 4 3 {3,4,3,5} {3,4,4,5} 4 {4,4,3,5} {4,4,4,5}
q = 5, s = 3 p \ r 3 4 3 {3,5,3,3} {3,5,4,3} 4 {4,5,3,3} {4,5,4,3}

Teselaciones de estrellas de 4 espacios hiperbólicos

Hay cuatro panales en estrella regulares en el espacio H ⁴ , todos compactos:

4 panales en forma de estrella compactos y regulares

Nombre	Símbolo de Schläfli {p, q, r, s}	Tipo de faceta {p, q, r}	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura {s} de la cara	Figura de borde {r, s}	Figura de vértice {q, r, s}	Doble	Densidad
Pequeño panal estrellado de 120 celdas	{5 / 2,5,3,3}	{5 / 2,5,3}	{5 / 2,5}	{5/2}	{3}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5 / 2}	5
Nido de abeja de 600 celdas de orden pentagrammico	{3,3,5,5 / 2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5 / 2}	{3,5,5 / 2}	{5 / 2,5,3,3}	5
Nido de abeja icosaédrico de 120 celdas Order-5	{3,5,5 / 2,5}	{3,5,5 / 2}	{3,5}	{3}	{5}	{5 / 2,5}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2,5,3}	10
Gran panal de 120 celdas	{5,5 / 2,5,3}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2}	{5}	{3}	{5,3}	{5 / 2,5,3}	{3,5,5 / 2,5}	10

Cinco dimensiones (6-apeirotopos)

Solo hay un panal plano regular de 5 espacios euclidianos: (anteriormente mencionado anteriormente como teselaciones)

• {4,3,3,3,4}

Hay cinco panales regulares planos de 5 espacios hiperbólicos, todos paracompactos: (anteriormente enumerados como teselados)

• {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} y { 4,3,3,4,3}

Teselaciones del 5-espacio euclidiano

El panal hipercúbico es la única familia de panales regulares que pueden teselar cada dimensión, cinco o más, formada por facetas de hipercubo , cuatro alrededor de cada cresta .

Nombre	Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n −1 }	Tipo de faceta	Figura de vértice	Doble
Azulejos cuadrados	{4,4}	{4}	{4}	Auto-dual
Panal cúbico	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	Auto-dual
Nido de abeja tesseractic	{4,3 2 , 4}	{4,3 2 }	{3 2 , 4}	Auto-dual
Panal de 5 cubos	{4,3 3 , 4}	{4,3 3 }	{3 3 , 4}	Auto-dual
Panal de 6 cubos	{4,3 4 , 4}	{4,3 4 }	{3 4 , 4}	Auto-dual
Panal de 7 cubos	{4,3 5 , 4}	{4,3 5 }	{3 5 , 4}	Auto-dual
Panal de 8 cubos	{4,3 6 , 4}	{4,3 6 }	{3 6 , 4}	Auto-dual
n- panal hipercúbico	{4,3 n − 2 , 4}	{4,3 n − 2 }	{3 n − 2 , 4}	Auto-dual

En E ⁵ , también están los casos incorrectos {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3 , 3,4,3}, {3,4,3,3,2} y {2,3,4,3,3}. En E ⁿ , {4,3 ^{n − 3} , 4,2} y {2,4,3 ^{n − 3} , 4} son siempre teselaciones euclidianas impropias.

Teselaciones de 5 espacios hiperbólicos

Hay 5 panales regulares en H ⁵ , todos paracompactos, que incluyen facetas infinitas (euclidianas) o figuras de vértices: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3, 3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} y {4,3,3,4,3}.

No hay teselaciones regulares compactas de espacio hiperbólico de dimensión 5 o superior ni teselaciones regulares paracompactas en el espacio hiperbólico de dimensión 6 o superior.

5 panales regulares paracompactos

Nombre	Símbolo de Schläfli {p, q, r, s, t}	Tipo de faceta {p, q, r, s}	Tipo de 4 caras {p, q, r}	Tipo de celda {p, q}	Tipo de rostro {p}	Figura de celda {t}	Figura de la cara {s, t}	Figura de borde {r, s, t}	Figura de vértice {q, r, s, t}	Doble
Panal de 5 ortoplex	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
Panal de nido de abeja de 24 celdas	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
Panal de nido de abeja de 16 celdas	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	auto-dual
Order-4 nido de abeja de nido de abeja de 24 celdas	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4}	{4,3,3,4,3}
Panal de abeja tesseractic	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

Dado que no hay n- politopos en estrella regulares para n  ≥ 5, que podrían ser células potenciales o figuras de vértices, no hay más panales de estrellas hiperbólicos en H ⁿ para n  ≥ 5.

6 dimensiones y superiores (7-apeirotopos +)

Teselaciones de 6 espacios hiperbólicos y superiores

No hay teselaciones regulares compactas o paracompactas del espacio hiperbólico de dimensión 6 o superior. Sin embargo, cualquier símbolo de Schläfli de la forma {p, q, r, s, ...} no cubierto anteriormente (p, q, r, s, ... números naturales superiores a 2 o infinito) formará una teselación no compacta de n- espacio hiperbólico .

Politopos compuestos

Compuestos bidimensionales

Para cualquier número natural n, hay estrellas poligonales regulares de estrella de n puntas con símbolos de Schläfli {n / m} para todo m tal que m <n / 2 (estrictamente hablando {n / m} = {n / (n − m) }) y myn son coprimos . Cuando myn no son coprimos, el polígono estrella obtenido será un polígono regular con n / m lados. Se obtiene una nueva figura rotando estos n / m -gones regulares un vértice hacia la izquierda en el polígono original hasta que el número de vértices rotados sea igual a n / m menos uno, y combinando estas cifras. Un caso extremo de esto es donde n / m es 2, produciendo una figura que consta de n / 2 segmentos de línea recta; esto se llama polígono estelar degenerado .

En otros casos en los que n y m tienen un factor común, un polígono estrellas para un menor n se obtiene, y las versiones giradas se puede combinar. Estas figuras se denominan figuras de estrellas , polígonos de estrellas incorrectos o polígonos compuestos . La misma notación { n / m } se usa a menudo para ellos, aunque autoridades como Grünbaum (1994) consideran (con cierta justificación) la forma k { n } como más correcta, donde generalmente k = m .

Una complicación adicional surge cuando combinamos dos o más polígonos estelares, como por ejemplo dos pentagramas, que se diferencian por una rotación de 36 °, inscritos en un decágono. Esto está escrito correctamente en la forma k { n / m }, como 2 {5/2}, en lugar del {10/4} de uso común.

La notación extendida de Coxeter para compuestos es de la forma c { m , n , ...} [ d { p , q , ...}] e { s , t , ...}, lo que indica que d distinto { p , q , ...} juntos cubren los vértices de { m , n , ...} c veces y las facetas de { s , t , ...} e veces. Si no existe un { m , n , ...} regular , se elimina la primera parte de la notación, dejando [ d { p , q , ...}] e { s , t , ...}; lo contrario es válido si no existe una { s , t , ...} regular . El dual de c { m , n , ...} [ d { p , q , ...}] e { s , t , ...} es e { t , s , ...} [ d { q , p , ...}] c { n , m , ...}. Si c o e son 1, pueden omitirse. Para polígonos compuestos, esta notación se reduce a { nk } [ k { n / m }] { nk }: por ejemplo, el hexagrama se puede escribir así como {6} [2 {3}] {6}.

Ejemplos para n = 2..10, nk ≤30

2 {2}

3 {2}

4 {2}

5 {2}

6 {2}

7 {2}

8 {2}

9 {2}

10 {2}

11 {2}

12 {2}

13 {2}

14 {2}

15 {2}

2 {3}

3 {3}

4 {3}

5 {3}

6 {3}

7 {3}

8 {3}

9 {3}

10 {3}

2 {4}

3 {4}

4 {4}

5 {4}

6 {4}

7 {4}

2 {5}

3 {5}

4 {5}

5 {5}

6 {5}

2 {5/2}

3 {5/2}

4 {5/2}

5 {5/2}

6 {5/2}

2 {6}

3 {6}

4 {6}

5 {6}

2 {7}

3 {7}

4 {7}

2 {7/2}

3 {7/2}

4 {7/2}

2 {7/3}

3 {7/3}

4 {7/3}

2 {8}

3 {8}

2 {8/3}

3 {8/3}

2 {9}

3 {9}

2 {2/9}

3 {2/9}

2 {9/4}

3 {9/4}

2 {10}

3 {10}

2 {10/3}

3 {10/3}

2 {11}

2 {2/11}

2 {11/3}

2 {11/4}

2 {11/5}

2 {12}

2 {12/5}

2 {13}

2 {13/2}

2 {13/3}

2 {13/4}

2 {13/5}

2 {13/6}

2 {14}

2 {14/3}

2 {14/5}

2 {15}

2 {15/2}

2 {15/4}

2 {15/7}

Los polígonos de sesgo regulares también crean compuestos, que se ven en los bordes del compuesto prismático de antiprismas , por ejemplo:

Polígono de sesgo compuesto regular

Cuadrados oblicuos compuestos		Hexágonos oblicuos compuestos	Decagones de sesgo compuesto
Dos {2} # {}	Tres {2} # {}	Dos {3} # {}	Dos {5/3} # {}

Compuestos tridimensionales

Un compuesto poliedro regular se puede definir como un compuesto que, como un poliedro regular, es vértice-transitivo , borde-transitivo , y cara transitivo . Con esta definición hay 5 compuestos regulares.

Simetría	[4,3], O h	[5,3] + , yo	[5,3], yo h
Dualidad	Auto-dual			Pares duales
Imagen
Esférico
Poliedros	2 {3,3}	5 {3,3}	10 {3,3}	5 {4,3}	5 {3,4}
Coxeter	{4,3} [2 {3,3} ] {3,4}	{5,3} [5 {3,3} ] {3,5}	2 {5,3} [10 {3,3} ] 2 {3,5}	2 {5,3} [5 {4,3} ]	[5 {3,4} ] 2 {3,5}

La notación de Coxeter para compuestos regulares se da en la tabla anterior, incorporando símbolos de Schläfli . El material dentro de los corchetes, [ d { p , q }], denota los componentes del compuesto: d separados { p , q }. El material antes de los corchetes denota la disposición de los vértices del compuesto: c { m , n } [ d { p , q }] es un compuesto de d { p , q } que comparte los vértices de un { m , n } contado c veces. El material después de los corchetes indica la disposición de las facetas del compuesto: [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparte las caras de { s , t } contadas e veces. Estos pueden combinarse: así c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparte los vértices de { m , n } contados c veces y las caras de { s , t } contadas e veces. Esta notación se puede generalizar a compuestos en cualquier número de dimensiones.

Compuestos del plano euclidiano e hiperbólico

Hay dieciocho familias de dos parámetros de teselaciones compuestas regulares del plano euclidiano. En el plano hiperbólico, se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete casos aislados, pero aún no se ha demostrado la integridad de este listado.

Las familias de compuestos euclidianos e hiperbólicos 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p un número entero) son análogas a la stella octangula esférica , 2 {3,3}.

Algunos ejemplos de compuestos regulares euclidianos e hiperbólicos

Auto-dual	Duales		Auto-dual
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞, ∞}
{{4,4}} o un {4,4} o {4,4} [2 {4,4}] {4,4} + o	[2 {6,3}] {3,6}	a {6,3} o {6,3} [2 {3,6}] + o	{{∞, ∞}} o un {∞, ∞} o {4, ∞} [2 {∞, ∞}] {∞, 4} + o
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞, ∞}
	2 {3,6} [3 {6,3}] {6,3}	{3,6} [3 {3,6}] 2 {6,3} + +	+ +

Compuestos de cuatro dimensiones

Proyecciones ortogonales

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

Coxeter enumera 32 compuestos regulares de 4 politopos regulares en su libro Regular Polytopes . McMullen agrega seis en su artículo Nuevos compuestos regulares de 4 politopos . En las siguientes tablas, el superíndice (var) indica que los compuestos etiquetados son distintos de los otros compuestos con los mismos símbolos.

Compuestos regulares auto-duales

Compuesto	Constitucion	Simetría	Disposición de vértice	Arreglo celular
120 {3,3,3}	5 celdas	[5,3,3], pedido 14400	{5,3,3}	{3,3,5}
120 {3,3,3} (var)	5 celdas	orden 1200	{5,3,3}	{3,3,5}
720 {3,3,3}	5 celdas	[5,3,3], pedido 14400	6 {5,3,3}	6 {3,3,5}
5 {3,4,3}	24 celdas	[5,3,3], pedido 14400	{3,3,5}	{5,3,3}

Compuestos regulares como pares duales

Compuesto 1	Compuesto 2	Simetría	Disposición de vértice (1)	Disposición celular (1)	Disposición de vértice (2)	Disposición celular (2)
3 {3,3,4}	3 {4,3,3}	[3,4,3], orden 1152	{3,4,3}	2 {3,4,3}	2 {3,4,3}	{3,4,3}
15 {3,3,4}	15 {4,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	{3,3,5}	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}	{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	5 {3,3,5}	10 {5,3,3}	10 {3,3,5}	5 {5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	{5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	{3,3,5}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	orden 600	{5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	{3,3,5}
300 {3,3,4}	300 {4,3,3}	[5,3,3] + , pedido 7200	4 {5,3,3}	8 {3,3,5}	8 {5,3,3}	4 {3,3,5}
600 {3,3,4}	600 {4,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	8 {5,3,3}	16 {3,3,5}	16 {5,3,3}	8 {3,3,5}
25 {3,4,3}	25 {3,4,3}	[5,3,3], pedido 14400	{5,3,3}	5 {5,3,3}	5 {3,3,5}	{3,3,5}

Hay dos compuestos diferentes de 75 tesseracts: uno comparte los vértices de una celda de 120, mientras que el otro comparte los vértices de una celda de 600. Por tanto, se deduce inmediatamente que los correspondientes compuestos duales de 75 16 células también son diferentes.

Compuestos de estrella auto-dual

Compuesto	Simetría	Disposición de vértice	Arreglo celular
5 {5,5 / 2,5}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5,5 / 2,5}	[5,3,3], pedido 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}
5 {5 / 2,5,5 / 2}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5 / 2,5,5 / 2}	[5,3,3], pedido 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}

Compuestos de estrellas regulares como pares duales

Compuesto 1	Compuesto 2	Simetría	Disposición de vértice (1)	Disposición celular (1)	Disposición de vértice (2)	Disposición celular (2)
5 {3,5,5 / 2}	5 {5 / 2,5,3}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {3,5,5 / 2}	10 {5 / 2,5,3}	[5,3,3], pedido 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}
5 {5,5 / 2,3}	5 {3,5 / 2,5}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5,5 / 2,3}	10 {3,5 / 2,5}	[5,3,3], pedido 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}
5 {5 / 2,3,5}	5 {5,3,5 / 2}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5 / 2,3,5}	10 {5,3,5 / 2}	[5,3,3], pedido 14400	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}	2 {5,3,3}	2 {3,3,5}

También hay catorce compuestos parcialmente regulares , que son transitivos de vértice o transitivos de celda, pero no ambos. Los siete compuestos parcialmente regulares transitivos de vértice son los duales de los siete compuestos parcialmente regulares transitivos de células.

Compuestos parcialmente regulares como pares duales

Compuesto 1 Vértice-transitivo	Compuesto 2 celular transitivo	Simetría
2 16 celdas	2 teseractos	[4,3,3], orden 384
25 24 celdas (var)	25 24 celdas (var)	orden 600
100 24 celdas	100 24 celdas	[5,3,3] + , pedido 7200
200 24 celdas	200 24 celdas	[5,3,3], pedido 14400
5 600 celdas	5 120 celdas	[5,3,3] + , pedido 7200
10 600 celdas	10 120 celdas	[5,3,3], pedido 14400

Compuestos estelares parcialmente regulares como pares duales

Compuesto 1 Vértice-transitivo	Compuesto 2 celular transitivo	Simetría
5 {3,3,5 / 2}	5 {5 / 2,3,3}	[5,3,3] + , pedido 7200
10 {3,3,5 / 2}	10 {5 / 2,3,3}	[5,3,3], pedido 14400

Aunque las 5 celdas y las 24 celdas son auto-duales, sus compuestos duales (el compuesto de dos 5 celdas y el compuesto de dos 24 celdas ) no se consideran regulares, a diferencia del compuesto de dos tetraedros y los diversos compuestos de polígono dual, porque no son regulares de vértice ni de celda: no son facetas o estelaciones de ningún 4-politopo regular.

Compuestos euclidianos de 3 espacios

Los únicos panales compuestos euclidianos regulares son una familia infinita de compuestos de panales cúbicos , todos compartiendo vértices y caras con otro panal cúbico. Este compuesto puede tener cualquier número de panales cúbicos. La notación de Coxeter es {4,3,4} [ d {4,3,4}] {4,3,4}.

Cinco dimensiones y compuestos superiores

No hay compuestos regulares en cinco o seis dimensiones. Hay tres compuestos de siete dimensiones conocidos (16, 240 o 480 7-simplices ) y seis conocidos de ocho dimensiones (16, 240 o 480 8-cubos u 8-ortoplexos ). También hay un compuesto de n -simplices en el espacio n -dimensional siempre que n sea ​​uno menos que una potencia de dos, y también dos compuestos (uno de n -cubos y uno dual de n -orthoplexes) en el espacio n -dimensional si n es una potencia de dos.

La notación de Coxeter para estos compuestos es (usando α ⁿ = {3 ^{n −1} }, β ⁿ = {3 ^{n −2} , 4}, γ _n = {4,3 ^{n −2} }:

• 7-simplex: c γ ₇ [16 c α ₇ ] c β ₇ , donde c = 1, 15 o 30
• 8-ortoplejos: c γ ₈ [16 c β ₈ ]
• 8 cubos: [16 c γ ₈ ] c β ₈

Los casos generales (donde n = 2 ^k y d = 2 ^{2 k - k - 1} , k = 2, 3, 4, ...):

• Símplex: γ _{n −1} [ d α _{n −1} ] β _{n −1}
• Ortoplejos: γ _n [ d β _n ]
• Hipercubos: [ d γ _n ] β _n

Compuestos de panal euclidianos

Una familia conocida de panales compuestos euclidianos regulares en cinco o más dimensiones es una familia infinita de compuestos de panales hipercúbicos , todos compartiendo vértices y caras con otro panal hipercúbico. Este compuesto puede tener cualquier número de panales hipercúbicos. La notación de Coxeter es δ _n [ d δ _n ] δ _n donde δ _n = {∞} cuando n = 2 y {4,3 ^{n −3} , 4} cuando n ≥ 3.

Politopos abstractos

Los politopos abstractos surgieron de un intento de estudiar los politopos aparte del espacio geométrico en el que están incrustados. Incluyen las teselaciones del espacio esférico, euclidiano e hiperbólico, las teselaciones de otras variedades y muchos otros objetos que no tienen un espacio bien definido. topología, pero en cambio pueden caracterizarse por su topología "local". Hay infinitos en cada dimensión. Consulte este atlas para obtener una muestra. Algunos ejemplos notables de politopos regulares abstractos que no aparecen en ninguna otra parte de esta lista son los de 11 celdas , {3,5,3}, y los de 57 celdas , {5,3,5}, que tienen poliedros proyectivos regulares como celdas. y figuras de vértice.

Los elementos de un poliedro abstracto son su cuerpo (el elemento máximo), sus caras, aristas, vértices y el politopo nulo o conjunto vacío. Estos elementos abstractos se pueden mapear en el espacio ordinario o se pueden realizar como figuras geométricas. Algunos poliedros abstractos tienen realizaciones bien formadas o fieles , otros no. Una bandera es un conjunto conectado de elementos de cada dimensión, para un poliedro que es el cuerpo, una cara, un borde de la cara, un vértice del borde y el politopo nulo. Se dice que un politopo abstracto es regular si sus simetrías combinatorias son transitivas en sus banderas, es decir, que cualquier bandera puede mapearse sobre cualquier otra bajo una simetría del poliedro. Los politopos regulares abstractos siguen siendo un área activa de investigación.

HSM Coxeter identificó cinco poliedros abstractos regulares de este tipo, que no pueden realizarse fielmente, en su libro Regular Polytopes (1977) y nuevamente por JM Wills en su artículo "Los poliedros combinatoriamente regulares del índice 2" (1987). Todos son topológicamente equivalentes a toroides . Su construcción, al disponer n caras alrededor de cada vértice, puede repetirse indefinidamente como teselaciones del plano hiperbólico . En los siguientes diagramas, las imágenes de mosaico hiperbólico tienen colores correspondientes a los de las imágenes de poliedros.

Poliedro	Triacontaedro rómbico medial	Dodecadodecaedro	Iicosaedro triámbico medial	Dodecadodecaedro Ditrigonal	Dodecaedro excavado
Figura de vértice	{5}, {5/2}	(5,5 / 2) 2	{5}, {5/2}	(5,5 / 3) 3
Caras	30 rombos	12 pentágonos 12 pentagramas	20 hexágonos	12 pentágonos 12 pentagramas	20 hexagramas
Embaldosado	{4, 5}	{5, 4}	{sesenta y cinco}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

Estos ocurren como pares duales de la siguiente manera:

• El triacontaedro rómbico medial y el dodecadodecaedro son duales entre sí.
• El icosaedro triámbico medial y el dodecadodecaedro ditrigonal son duales.
• El dodecaedro excavado es auto-dual.

Ver también

• Polígono
  • Polígono regular
  • Polígono estrella
• Poliedro
  • Poliedro regular (5 sólidos platónicos regulares y 4 sólidos de Kepler-Poinsot )
    • Poliedro uniforme
• 4-politopo
  • 4 politopos regulares (16 4 politopos regulares, 4 convexos y 10 estrellas (Schläfli-Hess))
  • Politopo uniforme 4
• Mosaico
  • Mosaicos de polígonos regulares
  • Nido de abeja uniforme convexo
• Politopo regular
  • Politopo uniforme
• Mapa regular (teoría de grafos)

Notas

Referencias

enlaces externos

• Los sólidos platónicos
• Poliedros de Kepler-Poinsot
• Plegables regulares 4d Polytope
• Glosario multidimensional (busque Hexacosichoron y Hecatonicosachoron )
• Visor de Polytope
• Politopos y empaquetamiento óptimo de p puntos en n esferas dimensionales
• Un atlas de pequeños politopos regulares
• Poliedros regulares a lo largo del tiempo I.Hubard, politopos, mapas y sus simetrías
• Politopos estrella regular , Nan Ma

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	Un n	B n	Yo 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentacoron	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5 simplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
8 politopos uniformes	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplejo • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos

v t mi Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en las dimensiones 2-9
Espacio	Familia	${\ Displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$/ /${\ Displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Azulejos uniformes	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
E 3	Nido de abeja convexo uniforme	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniforme 4 panal	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	Panal de 24 celdas
E 5	Uniforme de 5 panales	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniforme de 6 panales	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniforme de 7 panales	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniforme de 8 panal	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniforme de 9 panales	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Uniforme de 10 panal	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniforme ( n -1) - panal	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21