Polígono estrella - Star polygon

Dos tipos de pentágonos estelares.
{5/2}	\| 5/2 \|
Un pentágono estrella regular , {5/2}, tiene cinco vértices de esquina y aristas que se cruzan, mientras que un decágono cóncavo , \| 5/2 \|, tiene diez aristas y dos conjuntos de cinco vértices. Los primeros se utilizan en las definiciones de poliedros de estrellas y teselaciones uniformes de estrellas , mientras que los segundos se utilizan a veces en teselaciones planas.
Pequeño dodecaedro estrellado	Mosaico

En geometría , un polígono en estrella es un tipo de polígono no convexo y, más comúnmente, un tipo de decágono. Los polígonos de estrellas regulares se han estudiado en profundidad; mientras que los polígonos de estrellas en general parecen no haber sido definidos formalmente, sin embargo, algunos notables pueden surgir a través de operaciones de truncamiento en polígonos regulares simples y en estrella.

Branko Grünbaum identificó dos definiciones principales utilizadas por Johannes Kepler , una es los polígonos de estrellas regulares con bordes que se cruzan que no generan nuevos vértices, y la segunda es polígonos cóncavos isotoxales simples .

El primer uso se incluye en poligramas que incluye polígonos como el pentagrama, pero también figuras compuestas como el hexagrama .

Una definición de polígono en estrella , utilizada en los gráficos de tortugas , es un polígono que tiene 2 o más vueltas ( número de vueltas y densidad ), como en espirolaterales .

Etimología

Los nombres de polígono en estrella combinan un prefijo numérico , como penta- , con el sufijo griego -grama (en este caso, genera la palabra pentagrama ). El prefijo es normalmente un cardenal griego , pero existen sinónimos que usan otros prefijos. Por ejemplo, un polígono o eneagrama de nueve puntas también se conoce como nonagrama , usando el ordinal nona del latín . El sufijo -gram deriva de γραμμή ( grammḗ ) que significa una línea.

Polígono estrella regular

{5/2}	{7/2}	{7/3} ...

Polígonos regulares convexos y en estrella con 3 a 12 vértices etiquetados con sus símbolos de Schläfli

Un "polígono en estrella regular" es un polígono equiangular equilátero que se interseca a sí mismo .

Un polígono de estrella regular se denota por su símbolo de Schläfli { p / q }, donde p (el número de vértices) yq (la densidad ) son primos relativos (no comparten factores) yq ≥ 2. La densidad de un polígono puede También se llama número de giro , la suma de los ángulos de giro de todos los vértices divididos por 360 °.

El grupo de simetría de { n / k } es un grupo diedro D _n de orden 2 n , independiente de k .

Los polígonos de estrellas regulares fueron estudiados sistemáticamente por primera vez por Thomas Bradwardine y más tarde por Johannes Kepler .

Construcción mediante conexión de vértice

Los polígonos en estrella regulares se pueden crear conectando un vértice de un polígono simple, regular, de lados p con otro vértice no adyacente y continuando el proceso hasta que se alcance nuevamente el vértice original. Alternativamente para los números enteros p y q , que puede ser considerado como siendo construido mediante la conexión de cada q ésimo punto de p puntos regularmente espaciados en una colocación circular. Por ejemplo, en un pentágono regular, se puede obtener una estrella de cinco puntas trazando una línea desde el primer al tercer vértice, desde el tercer vértice al quinto vértice, desde el quinto vértice al segundo vértice, desde el segundo vértice. al cuarto vértice, y desde el cuarto vértice al primer vértice.

Si q es mayor que la mitad de p , entonces la construcción resultará en el mismo polígono que p - q ; conectar cada tercer vértice del pentágono producirá un resultado idéntico al de conectar cada segundo vértice. Sin embargo, los vértices se alcanzarán en la dirección opuesta, lo que marca la diferencia cuando se incorporan polígonos retrógrados en politopos de dimensiones superiores. Por ejemplo, un antiprisma formado a partir de un pentagrama progrado {5/2} da como resultado un antiprisma pentagrammico ; la construcción análoga de un "pentagrama cruzado" {5/3} retrógrado da como resultado un antiprisma cruzado pentagrammico . Otro ejemplo es el tetrahemihexaedro , que puede verse como un "triángulo cruzado" {3/2} cuploide .

Polígonos de estrellas regulares degenerados

Si p y q no son primos entre sí, un polígono degenerada dará como resultado con coincidentes vértices y aristas. Por ejemplo, {6/2} aparecerá como un triángulo, pero se puede etiquetar con dos conjuntos de vértices 1-6. Esto debe verse no como dos triángulos superpuestos, sino como un doble devanado de un solo hexágono unicursal.

Construcción mediante estelación

Alternativamente, también se puede obtener un polígono de estrella regular como una secuencia de estelaciones de un polígono de núcleo regular convexo . Las construcciones basadas en estelación también permiten obtener compuestos poligonales regulares en los casos en que la densidad y cantidad de vértices no son coprimeras. Sin embargo, al construir polígonos en estrella a partir de la estelación, si q es mayor que p / 2, las líneas divergirán infinitamente, y si q es igual ap / 2, las líneas serán paralelas, y ambas no darán lugar a más intersecciones en euclidiana. espacio. Sin embargo, puede ser posible construir algunos de estos polígonos en el espacio esférico, de manera similar al monogon y digon ; estos polígonos todavía no parecen haber sido estudiados en detalle.

Polígonos de estrellas isotoxales simples

Cuando se eliminan las líneas de intersección, los polígonos de estrellas ya no son regulares, pero pueden verse como simples cóncavos isotoxales de 2 n- gones, vértices alternos en dos radios diferentes, que no necesariamente tienen que coincidir con los ángulos de polígono de estrellas regulares. Branko Grünbaum en Tilings and Patterns representa estas estrellas como | n / d | que coinciden con la geometría del poligrama {n / d} con una notación {n _α } más generalmente, que representa una estrella de n lados con cada ángulo interno α <180 ° (1-2 / n ) grados. Para | n / d |, los vértices internos tienen un ángulo exterior, β, como 360 ° ( d -1) / n .

Ejemplos de estrellas isotoxales simples
\| n / d \| {n _α }	{3 _{30 °} }	{6 _{30 °} }	\| 5/2 \| {5 _{36 °} }	{4 _{45 °} }	\| 8/3 \| {8 _{45 °} }	\| 6/2 \| {6 _{60 °} }	{5 _{72 °} }
α	30 °		36 °	45 °		60 °	72 °
β	150 °	90 °	72 °	135 °	90 °	120 °	144 °
Estrella isotoxal
Poligramo relacionado {n / d}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		2 {3} figura de estrella	{10/3}

Ejemplos en mosaicos

Estos polígonos se ven a menudo en patrones de mosaico. El ángulo paramétrico α (grados o radianes) se puede elegir para que coincida con los ángulos internos de los polígonos vecinos en un patrón de teselación. Johannes Kepler en su obra Harmonices Mundi de 1619 , que incluye, entre otros mosaicos de época, mosaicos no periódicos como los tres pentágonos regulares y un pentágono de estrella regular (5.5.5.5/2) que puede caber alrededor de un vértice, y está relacionado con los mosaicos modernos de penrose .

Ejemplos de mosaicos con polígonos de estrellas isotoxales
Triángulos de estrellas	Cuadrados de estrellas	Hexágonos de estrella			Octágonos estrella
(3,3^* _α.3.3^** _α)	(8,4^* _{π / 4}.8.4^* _{π / 4})	(6,6^* _{π / 3}.6.6^* _{π / 3})	(3,6^* _{π / 3}.6^** _{π / 3})	(3.6.6^* _{π / 3}.6)	No de borde a borde

Interiores

El interior de un polígono en estrella puede tratarse de diferentes formas. Se ilustran tres de estos tratamientos para un pentagrama. Branko Grünbaum y Geoffrey Shephard consideran dos de ellos, como polígonos de estrellas regulares e isogonales cóncavos de 2 n -gones.

Éstos incluyen:

Cuando ocurre un lado, un lado se trata como exterior y el otro como interior. Esto se muestra en la ilustración de la izquierda y ocurre comúnmente en la representación de gráficos vectoriales por computadora .
El número de veces que la curva poligonal se enrolla alrededor de una región determinada determina su densidad . El exterior recibe una densidad de 0 y cualquier región de densidad> 0 se trata como interna. Esto se muestra en la ilustración central y ocurre comúnmente en el tratamiento matemático de poliedros . (Sin embargo, para los poliedros no orientables, la densidad solo se puede considerar módulo 2 y, por lo tanto, el primer tratamiento a veces se usa en esos casos por razones de coherencia).
Cuando se puede trazar una línea entre dos lados, la región en la que se encuentra la línea se trata como dentro de la figura. Esto se muestra en la ilustración de la derecha y ocurre comúnmente al hacer un modelo físico.

Cuando se calcula el área del polígono, cada uno de estos enfoques produce una respuesta diferente.

En arte y cultura

Los polígonos de estrellas ocupan un lugar destacado en el arte y la cultura. Estos polígonos pueden ser regulares o no, pero siempre son muy simétricos . Ejemplos incluyen:

El pentágono de estrella {5/2} ( pentagrama ) también se conoce como pentalfa o pentangle, e históricamente ha sido considerado por muchos cultos mágicos y religiosos con un significado oculto .
Los polígonos estelares ( heptagramas ) {7/2} y {7/3} también tienen un significado oculto, particularmente en la Cabalá y en la Wicca .
El polígono de estrellas {8/3} ( octagrama ), son motivos geométricos frecuentes en el arte y la arquitectura islámicos de Mughal ; el primero está en el emblema de Azerbaiyán .
Un niño de once estrella señalada llamado el hendecagram se utilizó en la tumba de Shah Nemat ollah Vali.

Un octagrama de {8/3} construido en un octágono regular	Sello de Salomón con círculo y puntos (figura de estrella)

Ver también

Referencias

Cromwell, P .; Poliedros , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . pag. 175
Grünbaum, B. y GC Shephard; Tilings and Patterns , Nueva York: WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
Grünbaum, B .; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993) , ed. T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 404: Politopos en estrella regulares Dimensión 2)
Branko Grünbaum , Metamorfosis de polígonos , publicado en The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , (1994)

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